L'NPI è contenuto in P / poly?

$\mathsf{NP} \nsubseteq \mathsf{P}/\text{poly}$P ≠ N P N P I : = N P ∖ ( N P C ∪ P ) ≠ ∅ P / poly N P I ⊂ P / poly N P ⊂ N P C ∪ P /$\mathsf{PH} = \Sigma_2$$\mathsf{P} \ne \mathsf{NP}$$\mathsf{NPI} := \mathsf{NP} \setminus(\mathsf{NPC} \cup \mathsf{P}) \ne \emptyset$$\mathsf{P}/\text{poly}$$\mathsf{NPI} \subset \mathsf{P}/\text{poly}$$\mathsf{NP} \subset \mathsf{NPC} \cup \mathsf{P}/\text{poly}$

Supponendo $\mathsf{NP} \nsubseteq \mathsf{P}/\text{poly}$ (o anche che la gerarchia polinomiale non collassi a nessun livello), è $\mathsf{NPI} \subset \mathsf{P}/\text{poly}$ noto per essere vero o falso? Quali prove si possono mettere a favore e contro?

Ecco una possibile alternativa a un argomento di imbottitura, basato sulla generalizzazione di Schöning del teorema di Ladner. Per capire l'argomento, devi avere accesso a questo documento (che sfortunatamente sarà dietro un muro di paga per molti):

Uwe Schöning. Un approccio uniforme per ottenere set diagonali in classi di complessità. Theoretical Computer Science 18 (1): 95-103, 1982.

il teorema principale di quel documento per e come lingue e e come classi di complessità come segue:A 2 C 1 C$A_1$$A_2$$\mathsf{C}_1$$\mathsf{C}_2$

• $A_1 = \varnothing$ (o qualsiasi lingua in )$\mathsf{P}$
• $A_2 = \text{SAT}$
• $\mathsf{C}_1 = \mathsf{NPC}$
• $\mathsf{C}_2 = \mathsf{NP} \cap \mathsf{P/poly}$

Per motivi di chiarezza, il fatto che dimostreremo è implica .N P I ⊈ P / p o l $\mathsf{NP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$$\mathsf{NPI} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

dal presupposto che abbiamo e . È chiaro che e sono chiusi con variazioni finite. Il documento di Schöning include una prova che è presentabile in modo ricorsivo (la definizione precisa può essere trovata nel documento) e la parte più difficile dell'argomento è dimostrare che è presentabile in modo ricorsivo.A 1 ∉ C 1 A 2 ∉ C 2 C 1 C 2 C 1 C$\mathsf{NP} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$$A_1\not\in\mathsf{C}_1$$A_2\not\in\mathsf{C}_2$$\mathsf{C}_1$$\mathsf{C}_2$$\mathsf{C}_1$$\mathsf{C}_2$

In base a questi presupposti, il teorema implica che esiste una lingua che non è né in né in ; e dato che , sostiene che è Karp-riducibile ad , e quindi . Dato che è in ma non è né completo né in , ne consegue che .C 1 C 2 A 1 ∈ P A A 2 A ∈ N P A N P N P N P ∩ P / p o l y N P I ⊈ P / p o l $A$$\mathsf{C}_1$$\mathsf{C}_2$$A_1\in\mathsf{P}$$A$$A_2$$A\in\mathsf{NP}$$A$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{P/poly}$$\mathsf{NPI} \not\subseteq \mathsf{P/poly}$

Resta da dimostrare che è presentabile in modo ricorsivo. Fondamentalmente questo significa che esiste una descrizione esplicita di una sequenza di macchine Turing deterministiche che si fermano su tutti gli input e sono tali che . Se c'è un errore nel mio argomento, probabilmente è qui e se hai davvero bisogno di usare questo risultato, vorrai farlo con attenzione. Ad ogni modo, collegandosi su tutte le macchine di Turing non deterministiche a tempo polinomiale (che possono essere simulate in modo deterministico perché non ci interessa il tempo di esecuzione di ogniM 1 , M 2 , … N P ∩ P / p o l y = { L ( M k ) : k = 1 , 2 , … } M k M k M $\mathsf{NP} \cap \mathsf{P/poly}$$M_1, M_2, \ldots$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{P/poly} = \{L(M_k):k=1,2,\ldots\}$$M_k$) e tutti i polinomi, che rappresentano i limiti superiori delle dimensioni di una famiglia di circuiti booleani per un determinato linguaggio, credo che non sia difficile ottenere un elenco che funzioni. In sostanza, ogni può verificare che il suo corrispondente NTM a tempo polinomiale sia d'accordo con una famiglia di circuiti di dimensioni polinomiali fino alla lunghezza della stringa di input che viene data cercando su tutti i possibili circuiti booleani. Se c'è un accordo, viene come farebbe NTM, altrimenti rifiuta (e di conseguenza rappresenta un linguaggio finito).$M_k$$M_k$

L'intuizione di base dietro l'argomento (che è nascosto nel risultato di Schöning) è che non si possono mai avere due "belle" classi di complessità (cioè, quelle con presentazioni ricorsive) che sono disgiunte e sedute l'una contro l'altra. La "topologia" di classi complesse non lo consentirà: è sempre possibile costruire correttamente una lingua tra le due classi alternando in qualche modo tra le due per tratti estremamente lunghi di lunghezze di input. Il teorema di Ladner lo mostra per e e la generalizzazione di Schöning ti consente di fare lo stesso per molte altre classi.N P $\mathsf{P}$$\mathsf{NPC}$

Vorrei solo scrivere una versione di un argomento di riempimento come descritto nei commenti. Non vedo perché sia ​​necessario un divario. Vogliamo dimostrare che se NP non è contenuto in P / poly, allora c'è un problema intermedio NP non contenuto in P / poly.

Esiste una funzione illimitata tale che SAT non ha circuiti di dimensioni inferiori a , e quindi esiste una funzione che non ha limiti, aumenta e . Lasciate che SAT 'denoti la lingua ottenuta riempiendo le stringhe SAT di lunghezza da a . Poi:n f ( n ) g g ( n ) = o ( f ( n ) ) n n g ( n $f$$n^{f(n)}$$g$$g(n)=o(f(n))$$n$$n^{g(n)}$

• SAT 'è in NP (vedi sotto!)
• SAT 'non è in P / poli: dati i circuiti di dimensione per SAT', otteniamo circuiti di dimensione per SAT, ma questo è inferiore a per alcuni .n g ( n ) k n f ( n )$n^k$$n^{g(n)k}$$n^{f(n)}$$n$
• Non vi è alcuna riduzione di P / poli da SAT a SAT ': supponiamo per contraddizione che ci siano circuiti di dimensione per SAT, che consentono porte SAT'. Scegliere abbastanza grande che e lasciate . Ogni gate SAT in ha al massimo input. Rimuovendo gli input di padding possiamo tagliare le porte SAT in a una porta SAT con meno di input, che possiamo simulare usando - le porte SAT risultanti hanno al massimo input. Ripetendo questo e trattando a mano, SAT avrebbe circuiti di circa dimensionin k N g ( $C_n$$n^k$$N$n>NCnnkCn$g(\sqrt{N}) > 2k$$n>N$$C_n$$n^k$$C_n$ C$\sqrt{n}$$C_{\sqrt{n}}$$n^{k/2}$$C_N$$O(n^k n^{k/2} n^{k/4} \dots) \approx O(n^{2k})$ che è inferiore a per alcuni .$n^{f(n)}$$n$

Modificare:

La scelta di è leggermente complicata. Se sei felice di mettere SAT 'nella versione promessa di NP, questo bit non è necessario.$g$

Definire come intero massimo in modo tale che non vi sia alcun circuito di dimensioni per la lunghezza stringhe per SAT. Definisci con un algoritmo che calcola per e si arresta dopo il tempo o quando e restituisce il pavimento della radice quadrata del valore più alto trovato in questo tempo . Quindi non ha limiti e e possono essere calcolati nel tempo . Ora si noti che gli argomenti di cui sopra si basano solo su SAT che non ha circuiti di dimensione per infinitamente molti$f(n)$$n^{f(n)}$$n$$g(n)$$f(m)$$m=1,2,\dots$$n$$m=n$$g(n)$$\liminf g(n)/f(n)=0$$g(n)$$n$$n^{f(n)}$$n$.

Troverei anche interessante vedere una prova facendo buchi in SAT come in http://blog.computationalcomplexity.org/media/ladner.pdf . Senza il requisito NP questo è abbastanza semplice: esiste una sequenza tale che nessuna dimensione del circuito rileva stringhe SAT di lunghezza ; limita SAT a stringhe di lunghezza per alcuni .( n k ) k n n 2 2 i$n_1<n_2<\dots$$(n_k)^k$$n$$n_{2^{2^i}}$$i$

(NPI P / poly) (P NP)$\nsubseteq$$\implies$$\neq$