Esiste un modello di calcolo non completo di Turing il cui problema di arresto è indecidibile?

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Non riesco a pensare a un tale modello, forse a qualche forma di calcolo lambda tipizzato? qualche automa cellulare elementare?

Ciò confuterebbe quasi il "Principio dell'equivalenza computazionale" di Wolfram:

Quasi tutti i processi che non sono ovviamente semplici possono essere visti come calcoli di raffinatezza equivalente

— Diego de Estrada
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Puoi facilmente costruire modelli artificiali che non sono completi di Turing ma il problema di arresto per loro è indecidibile. Ad esempio, prendi tutte le TM che non si fermano su nulla tranne . $0$

Per quanto riguarda la dichiarazione:

Non puoi confutare un'affermazione che non è abbastanza precisa. Quasi nessuna delle parole dell'istruzione è ben definita (fornire la definizione se non è così).

— Kaveh
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diciamo che un modello è Turing completo se può simulare un UTM.

— Diego de Estrada,

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Penso che il principio di equivalenza di Wolfram sia più vicino alla fisica che alla logica. I logici sembrano voler attaccarlo per vari motivi: non è preciso, non è stato dimostrato, possiamo organizzare le cose quindi è falso, ecc. Ma in realtà Wolfram sta facendo notare, a modo suo, un fatto molto interessante sul calcolo , poiché sorge "in natura".

— Andrej Bauer,

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Non conosco la raccolta delle ciliegie, il libro mi sembra abbastanza completo, specialmente tutte quelle note. Esiste una ragione a priori per non consentire modifiche alle definizioni standard? Stai misurando con il metro sbagliato qui. Wolfram non sta facendo matematica, almeno non nel senso tradizionale della parola.

— Andrej Bauer,

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@Andrej, il mio problema principale è che l'affermazione è così vaga che non vedo come possa fare previsioni verificabili / confutabili. E sì, se qualcuno sta modificando le definizioni standard solo per essere in grado di interpretare ciò che non sarebbe un supporto per un reclamo come supporto per il reclamo, allora penso che sia problematico.

— Kaveh,

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L'affermazione è vaga, ma allora? Non è logica o matematica. È un'osservazione, supportata da un folto libro pieno di esempi, che in natura i "sistemi computazionali" tendono ad essere banalmente semplici o estremamente sofisticati e "equivalenti" tra loro. Invece di criticare Wolfram per non aver parlato del gergo della logica e della matematica, sarebbe più produttivo vedere che ha un punto, e quindi formularlo in qualunque formalismo desideri il tuo cuore. Ma ovviamente, se il tuo cuore non desidera nulla del genere, non lo farai.

— Andrej Bauer,

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Sono abbastanza sicuro che l'argomento della diagonalizzazione si applica a qualsiasi modello di calcolo che:

può rappresentare se stesso come una stringa e
può simulare un'altra macchina, vista la rappresentazione sopra

Se avessimo un modello che violasse una delle condizioni di cui sopra, il suo potere computazionale sarebbe estremamente limitato.

— gabgoh
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\forall x . f (x) \neq x

$\forall x. f(x) \neq x$

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Non sono sicuro della connessione esatta, ma questo sembra correlato al teorema di Friedberg-Muchnik (vedi qui ): esiste un re-set il cui grado di Turing è inferiore al problema di arresto. Questo risultato ha risposto a una domanda influente di Post e ha portato all'introduzione del "metodo prioritario" nella calcolabilità.

— Super0
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Probabilmente. Ci sono molti problemi matematici che probabilmente includono alcuni tra loro, che sono indecidibili, cioè la risposta è "sì" ma non esiste alcuna prova di ciò. Ad esempio, il problema Collatz 3x + 1 viene in mente come candidato. Oppure la domanda se pi contiene stringhe arbitrariamente lunghe di 9s consecutivi. Qualsiasi problema del genere potrebbe essere considerato un "modello di calcolo" presumibilmente molto meno potente di un UTM, ma sarebbe ancora indecidibile se "si ferma" o se "si ferma sempre".

— Warren D. Smith
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Non penso che questo approccio potrebbe funzionare. Vedi: per ogni affermazione fissa, esiste un algoritmo che decide se è "vero" o "falso" in un tempo finito, anche quando è indecidibile in ZFC (rif: en.wikipedia.org/wiki/Busy_beaver #Applicazioni ). D'altra parte, se si considera come modello di calcolo il problema "data un'affermazione, decidere se ha una prova in ZFC", penso che il modello sia Turing-completo.

— Diego de Estrada,