Qual è l'interpretazione fisica del secondo termine nel tensore di stress viscoso nelle equazioni di Navier-Stokes?

Ho cercato questa risposta per un po '. Ho letto numerosi testi e ho persino visto alcune lezioni online, ma spesso questo non viene mai spiegato e dato. Sembra il termine di stress viscoso nelle equazioni di Navier-Stokes

\nabla \cdot τ = \nabla \cdot μ (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^{T})

$\begin{equation} \nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \mu \left(\nabla\vec{u} + (\nabla\vec{u})^T\right) \end{equation}$

Ora il termine è abbastanza facile da capire in quanto è solo diffusione della velocità, ma ho difficoltà a trovare un'interpretazione fisica del termine . Dopo aver ampliato questo termine ho finito con $\nabla \cdot \mu \nabla\vec{u}$ $\nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T$

\nabla \cdot μ (\nabla \vec{u})^{T} = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial X} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{matrix})

$\begin{equation} \nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{pmatrix} \end{equation}$

che sembra implicare che questo effetto non è presente in un campo di velocità privo di divergenze, ma non riesco ancora a trovare o trovare alcuna intuizione fisica su cosa significhi effettivamente questo termine. Qualcuno capisce cosa rappresenta fisicamente questo termine?

mechanical-engineering fluid-dynamics fluid-mechanics

— Adam O'Brien
fonte

Aggiunta: hai ragione nel dire che il termine è assente in un flusso incomprimibile. Sembra che tenga conto della diffusione della quantità di moto dovuta ai gradienti di densità. Due pacchi di fluido adiacenti possono avere la stessa velocità ma un momento diverso, non c'è stress di taglio tra loro ma il momento si diffonderà.

— Dan

Questa domanda è in argomento per l'Ingegneria. Ho rimosso diversi commenti che suggeriscono altri siti per questa domanda. In parte a causa della richiesta di una comprensione applicata dell'equazione, ma anche perché questa è una parte della meccanica del continuum. Ricorda che va bene essere un po 'geloso del tuo sito

Meta discussione correlata: meta.engineering.stackexchange.com/questions/266/…

Il punto su una pendenza del momento presente a causa di un gradiente di densità diverso da zero era buono. Grazie a tutti per le vostre risposte!

— Adam O'Brien,

Risposte:

Non dovresti separare questi due termini nella ricerca dell'interpretazione fisica. Il termine è il tensore della velocità di deformazione . Il flusso di momento (o stress) dovuto al fatto che abbiamo un fluido che scorre è rappresentato dal termine intero . Nell'equazione NS entrambi i termini possono essere considerati densità di forza (forza per unità di volume). Hai ragione, che il secondo termine è zero per flussi incomprimibili (vedi qui ). $\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T$ $\dot{\gamma}$ $\mu\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

AGGIORNAMENTO: la derivazione completa del tensore della velocità di deformazione è complessa e qui potrebbe non rientrare nell'ambito di applicazione. Se sei interessato, ho scoperto che una buona risorsa è Introduzione alla meccanica dei fluidi di Whitaker. In breve, accettiamo che il tensore rappresenti la velocità di deformazione e il solido come il movimento rotazionale. Qualsiasi tensore può essere decomposto nel modo seguente: $\nabla \vec{u}$ Il primo termine è in genere chiamato tensore della velocità di deformazione, è simmetrico e si può dimostrare che non include alcun movimento di rotazione rigido. Il secondo termine è in genere chiamato tensore della vorticità, è inclinato simmetrico e si può dimostrare che non contribuisce al tasso di deformazione e che rappresenta rigido come il movimento rotazionale.

\nabla \vec{u} = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + {(\nabla \vec{u})}^{T}) + \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} - {(\nabla \vec{u})}^{T})

$\nabla \vec{u} = \frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)+\frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}-\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

— Salomon Turgman
fonte

Questo è quello che ho scoperto esaminandolo, ma stavo cercando di trovare qualcosa di simile a una derivazione del tensore della velocità di deformazione prima di impegnarmi in una risposta, per capire perché includesse la matrice regolare e di trasposizione.

— Trevor Archibald,

Grazie, ho suggerito la derivazione del tensore della tensione di deformazione dalla geometria, come mi hai suggerito, e questo mi ha aiutato molto.

— Adam O'Brien,

Concordo con @sturgman non si dovrebbero guardare le singole parti ma cercare di capirlo nel suo contesto.

Guardando la versione molto semplice dell'equazione di Navier-Stokes (usando la notazione di Einstein ):

ρ \frac{D u_{io}}{D t} = ρ K_{io} + \frac{\partial}{\partial X_{io}} (- p + λ^{*} \frac{\partial u_{K}}{\partial X_{K}}) + \underset{\nabla \cdot (η [(\nabla \vec{u}) + (\nabla \vec{u})^{T}])}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial X_{j}} (η [\frac{\partial u_{io}}{\partial X_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial X_{io}}])}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \rho k_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( -p + \lambda^*\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right)}_{\nabla \,\cdot\, (\eta \, \left[ (\nabla\vec{u})+(\nabla\vec{u})^\mathrm{T}\right])}$

La parte sottobracciata nel suo originale può essere riscritta.

\frac{\partial}{\partial X_{j}} (η [\frac{\partial u_{io}}{\partial X_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial X_{io}}]) = η (\frac{\partial^{2} u_{io}}{\partial X_{j} \partial X_{j}} + \frac{\partial}{\partial X_{io}} [\frac{\partial u_{K}}{\partial X_{K}}])

$\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right) = \eta \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial{x_k}} \right]\right)$

Che porta a:

ρ \frac{D u_{io}}{D t} = \underset{io}{\underset{⏟}{ρ K_{io}}} - \underset{II}{\underset{⏟}{\frac{\partial p}{\partial X_{io}}}} + \underset{III}{\underset{⏟}{(λ^{*} + η) \frac{\partial}{\partial X_{io}} [\frac{\partial u_{K}}{\partial X_{K}}]}} + \underset{IV}{\underset{⏟}{η [\frac{\partial^{2} u_{io}}{\partial X_{j} \partial X_{j}}]}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \underbrace{\rho k_i}_{\text{I}} - \underbrace{\frac{\partial p}{\partial x_i}}_{\text{II}} +\underbrace{(\lambda^* + \eta)\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right]}_{\text{III}} + \underbrace{\eta \left[ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j}\right]}_{\text{IV}}$

Nella notazione simbolica questo dovrebbe apparire come:

ρ \frac{D \vec{u}}{D t} = ρ \vec{K} - \nabla p + (λ^{*} + η) \nabla (\nabla \cdot \vec{u}) + η \nabla \cdot \nabla \vec{u}

$\rho\frac{\mathrm{D}\vec{u}}{\mathrm{D}t} = \rho\vec{k} - \nabla p + (\lambda^* + \eta)\nabla(\nabla\cdot\vec{u}) + \eta\nabla\cdot\nabla\vec{u}$

$\text{III}$ $\lambda^*$ $-2/3 \eta$

$\text{III}$ $\text{IV}$ $\text{III}$

— rul30
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Mi dispiace :-( Non era il mio intento.

— Peter - Ripristina Monica il