Differenza tra trasformata di Fourier a tempo discreto e trasformata di Fourier a tempo discreto

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Ho letto molti articoli su DTFT e DFT ma non sono in grado di discernere la differenza tra i due tranne alcune cose visibili come DTFT che va all'infinito mentre DFT è solo fino a N-1. Qualcuno può spiegare la differenza e quando usare cosa? Dice Wiki

Il DFT differisce dalla trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) in quanto le sue sequenze di input e output sono entrambe finite; si dice quindi che sia l'analisi di Fourier delle funzioni a tempo discreto di dominio finito (o periodico).

È l'unica differenza?

Modifica: questo articolo spiega bene la differenza

discrete-signals fourier-transform

— BaluRaman
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Il DTFT è una funzione continua della frequenza, ma il DFT è una funzione discreta della frequenza.

— Giovanni,

Il punto chiave è:DFT is sampled version of DFT and the rate is the length of DFT

— nmxprime,

@nmxprime Vuoi dire che DFT è la versione campionata di DTFT?

— endolith,

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@endolith Yes.it è

— nmxprime,

L'articolo che hai collegato (pagina 2) afferma che "CTFT ci ha fornito uno spettro di frequenza discreto". Non è sbagliato? Pensavo che la frequenza fosse continua in quel caso di segnale aperiodico a tempo continuo sottoposto alla Trasformata di Fourier.

— Aditya P,

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La trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) è la trasformata (convenzionale) di Fourier di un segnale a tempo discreto. La sua uscita è continua in frequenza e periodica. Esempio: per trovare lo spettro della versione campionata di un segnale a tempo continuo possibile utilizzare il DTFT. $x(kT)$ $x(t)$

La trasformata discreta di Fourier (DFT) può essere vista come la versione campionata (nel dominio della frequenza) dell'uscita DTFT. Viene utilizzato per calcolare lo spettro di frequenza di un segnale a tempo discreto con un computer, poiché i computer possono gestire solo un numero finito di valori. Direi che l'output della DFT è limitato. È anche periodico e può quindi essere continuato all'infinito.

Riassumendo:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) Una proprietà matematica della DFT è che sia il suo ingresso e di uscita sono periodiche con la lunghezza DFT . Cioè, sebbene il vettore di input al DFT sia in pratica finito, è corretto affermare che il DFT è lo spettro campionato se si ritiene che l'ingresso DFT sia periodico. $N$

— Deve
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non voleva dire che l'ingresso DTFT è in finita?

— Dr. Lutz Lehmann,

@LutzL Può essere infinito in generale, sì. Lo cambierò. Che dire dell'output DFT: preferiresti definirlo finito o periodico ?

— Deve

penso che l'output di DFT sia una sequenza N periodica, finita

— BaluRaman,

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Nel DFT, molto dipende dall'interpretazione. Dal punto di vista tecnico, trasforma il finito in finito. Dal punto di vista che calcola i coefficienti di un polinomio trigonometrico, si potrebbe dire che trasforma un periodico discreto infinito in finito. Ma si può spostare la finestra delle frequenze usate per rappresentare l'ingresso, e le ampiezze su tutte le frequenze possibili formano nuovamente una sequenza periodica.

— Dr. Lutz Lehmann,

Per essere più coerente, metterei "periodico" anziché "finito" per l'input del DFT. Questa è una conseguenza diretta del fatto che il DFT (output) è discreto.

— Matt L.

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va bene, risponderò con una discussione che gli "oppositori" alla mia rigida posizione nazista riguardo alla DFT hanno.

prima di tutto, la mia posizione rigida, simile a quella nazista : la serie DFT e Discreta di Fourier è la stessa cosa. il DFT mappa una sequenza infinita e periodica, $x[n]$ con il periodo $N$ nel dominio "tempo" su un'altra sequenza infinita e periodica, $X[k]$ , sempre con il periodo $N$ , nel dominio "frequenza". e l'iDFT lo mappa indietro. e sono "iniettivi" o "invertibili" o "uno a uno".

DFT:

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$

iDFT:

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$

questo è fondamentalmente ciò che è il DFT. è intrinsecamente una cosa periodica o circolare.

ma ai negazionisti della periodicità piace dire questo sulla DFT. è vero, non cambia nulla di quanto sopra.

quindi, supponiamo di avere una sequenza di lunghezza finita $x[n]$ di lunghezza $N$ e, invece di estenderla periodicamente (che è ciò che fa intrinsecamente il DFT), aggiungi questa sequenza di lunghezza finita con zeri infinitamente sia a sinistra che a destra. così

\hat{x} [n] ≜ {\begin{cases} x [n] & for 0 \leq n \leq N - 1 \\ 0 & otherwise \end{cases}

$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

ora, questo non ripetibile sequenza infinita ha un DTFT:

\hat{X} (e^{j ω}) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j ω n}

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ è la trasformata z divalutati sul cerchio unitario $\hat{x}[n]$ $z=e^{j\omega}$ $\omega$ $\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ $N$ $z=e^{j\omega}=1$

\begin{aligned} \hat{X} (e^{j ω}) |_{ω = 2 π \frac{k}{N}} & = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j ω n} |_{ω = 2 π \frac{k}{N}} \\ = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \hat{x} [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = \sum_{n = 0}^{N - 1} \hat{x} [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π k n / N} \\ = X [k] \end{aligned}

$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$

questo è esattamente il modo in cui DFT e DTFT sono correlati. campionare il DTFT ad intervalli uniformi nelle cause dominio "frequenza", nel dominio "tempo", la sequenza originale da ripetere e spostato di tutti multipli di $\hat{x}[n]$ $N$ $\hat{x}[n]$ $0$ $0 \le n \le N-1$ $\hat{x}[n]$ $x[n]$

— Robert Bristow-Johnson
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La risposta accettata è stata buona, ma ho trovato la tua risposta più perspicace. Grazie per aver fornito l'effettiva connessione matematica tra DTFT e DFT ... in particolare il campionamento degli spettri che causa periodicità nel dominio del tempo. Questo è un punto che dimentico sempre.

— rayryeng - Ripristina Monica il

Il tuo secondo paragrafo sembra implicare che i DFT accettano sequenze di input di lunghezza infinita. Qualcuno ha mai eseguito un DFT di lunghezza infinita?

— Richard Lyons,

ehi Rick, è bello vederti qui da comp.dsp . Ricordo di essere stato accolto da @PeterK quando ho migrato per la prima volta (ma non lascerò mai comp.dsp ). comunque, nella stessa misura in cui il DFS accetta una sequenza di input di lunghezza infinita è il grado in cui il DFT accetta un input di lunghezza infinita. sto solo dicendo che il DFT e il DFS sono la stessa cosa.

— robert bristow-johnson,

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@robert bristow-johnson. questa è stata una bella spiegazione. la mia domanda potrebbe essere sbagliata ma, con serie discrete di Fourier, ti riferisci al caso in cui l'ingresso è una funzione periodica continua che si estende all'infinito in entrambe le direzioni, giusto? Da quello che ricordo di aver letto, dalla lettura del libro di dover di George Silov, se si aumenta il numero di coefficienti di Fourier abbastanza grande usando una griglia di frequenze abbastanza fine, la serie di Fourier può riprodurre arbitrariamente una funzione continua del periodo. questo è il fs a cui ti riferisci, quando dici che è lo stesso di DFT, giusto? grazie.

— Mark

X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$

x [n]

$x[n]$

X [k]

$X[k]$

N

$N$

x [n + N] = x [n] \forall n \in Z

$x[n+N] = x[n] \qquad \forall n \in \mathbb{Z}$

X [k + N] = X [k] \forall k \in Z

$X[k+N] = X[k] \qquad \forall k \in \mathbb{Z}$

N

$N$

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Poiché l'output DTFT è continuo, non può essere elaborato con i computer. Quindi dobbiamo convertire questo segnale continuo in forma discreta. Non è altro che DFT come ulteriore avanzamento su FFT per ridurre i calcoli.

— gaurav singhal
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Se ho ragione, anche se l'input DFT è periodico, anche se il numero di campioni è finito, la matematica che sta dietro lo considera come una sequenza infinita che inizia periodicamente i Ncampioni dopo la sua conclusione. Perfavore, correggimi se sbaglio.

— ubuntu_noob
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alcuni a comp.dsp con cui ho avuto discussioni potrebbero "correggerti", ma si sbagliano. non c'è alcuna differenza tra il DFT e la Discreta serie Fourier. Assolutamente no.

— robert bristow-johnson,

Per aiutarmi a capire cosa viene detto qui, ho una domanda sull'output dell'operazione che chiamate "serie discreta di Fourier". Questo produce una sequenza di numeri o una funzione continua (un'equazione)?

— Richard Lyons,

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X [k] = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π n k / N}

$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$

x [n] = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N - 1} X [k] e^{j 2 π n k / N}

$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$

— user25761
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Utilizza il markup Latex in modo che la tua matematica sia leggibile e spiega un po 'di più del processo che hai seguito, in modo che la tua risposta possa effettivamente aiutare l'OP.

— MBaz,