Modelli binari (Probit e Logit) con un offset logaritmico

Qualcuno ha una derivazione di come funziona un offset in modelli binari come probit e logit?

Nel mio problema, la finestra di follow-up può variare in lunghezza. Supponiamo che i pazienti ricevano un colpo profilattico come trattamento. Lo scatto avviene in momenti diversi, quindi se il risultato è un indicatore binario del verificarsi di riacutizzazioni, è necessario adeguarsi al fatto che alcune persone hanno più tempo per mostrare i sintomi. Sembra che la probabilità di una riacutizzazione sia proporzionale alla durata del periodo di follow-up. Matematicamente non è chiaro per me come un modello binario con un offset catturi questa intuizione (diversamente dal Poisson).

L'offset è un'opzione standard sia in Stata (p.1666) che in R , e posso facilmente vederlo per un Poisson , ma il caso binario è un po 'opaco.

Ad esempio, se abbiamo questo è algebricamente equivalente a un modello in cui che è il modello standard con il coefficiente su vincolato a . Questo si chiama offset logaritmico . Ho problemi a capire come funziona se sostituiamo con o .

\frac{E [y | x]}{Z} = \exp {x^{'} β},

$\begin{equation} \frac{E[y \vert x]}{Z}=\exp\{x'\beta\}, \end{equation}$

E [y | x] = \exp {x^{'} β + \log Z},

$\begin{equation}E[y \vert x]=\exp\{x'\beta+\log{Z}\}, \end{equation}$

\log Z

$\log Z$

1

$1$

\exp {}

$\exp\{\}$

Φ ()

$\Phi()$

Λ ()

$\Lambda()$

Aggiornamento n. 1:

Il caso logit è stato spiegato di seguito.

Aggiornamento n. 2:

Ecco una spiegazione di quello che sembra essere l'uso principale degli offset per i modelli non poisson come probit. L'offset può essere utilizzato per condurre test del rapporto di verosimiglianza sui coefficienti delle funzioni dell'indice. Innanzitutto, stimare il modello non vincolato e archiviare le stime. voler verificare l'ipotesi che . Quindi si crea la variabile , si adatta il modello rilasciando e usando come offset non logaritmico. Questo è il modello vincolato. I test LR confrontano i due ed è un'alternativa al solito test Wald. $\beta_x=2$ $z=2 \cdot x$ $x$ $z$

— Dimitriy V. Masterov
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Risposte:

Puoi sempre includere un offset in qualsiasi GLM: è solo una variabile predittiva il cui coefficiente è fissato a 1. La regressione di Poisson è solo un caso d'uso molto comune.

Si noti che in un modello binomiale, l'analogo dell'esposizione del registro come offset è solo il denominatore binomiale, quindi di solito non è necessario specificarlo esplicitamente. Proprio come è possibile modellare un camper Poisson come conteggio con esposizione log come offset o come rapporto con esposizione come peso, è possibile modellare allo stesso modo un camper binomiale come conteggi di successi e fallimenti o come frequenza con prove come un peso.

In una regressione logistica, interpretereste un offset in termini di rapporti di probabilità: una variazione proporzionale in determina una data variazione proporzionale in . $\log Z$ $Z$ $p/(1-p)$

\begin{aligned} \log (p / (1 - p)) & = β^{'} X + \log Z \\ p / (1 - p) & = Z \exp (β^{'} X) \end{aligned}

$\begin{equation}\begin{split} \log (p/(1-p)) &= \beta' \mathrm{X} + \log Z \\ p/(1-p) &= Z \exp(\beta' \mathrm{X}) \end{split}\end{equation}$

Ma questo non ha alcun significato particolare come fa l'esposizione al tronco in una regressione di Poisson. Detto questo, se la tua probabilità binomiale è abbastanza piccola, un modello logistico si avvicinerà a un modello di Poisson con log link (poiché il denominatore su LHS si avvicina a 1) e l'offset può essere trattato come un termine di esposizione log.

(Il problema descritto nella tua domanda R collegata era piuttosto idiosincratico.)

— Hong Ooi
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La parte di ponderazione mancava dalla mia comprensione dell'equivalenza dei due. È stato molto utile. Sono ancora un po 'confuso su come si possa trasformare qualcosa come in un'affermazione sulla probabilità che una riacutizzazione sia proporzionale a la durata del periodo di follow-up , anche se posso vedere come sta aumentando in .

Pr (Y = 1 | X) = Φ (x^{'} β + \ln (t))

$\Pr(Y=1 \vert X)=\Phi(x'\beta+\ln(t))$

t

$t$

t

$t$

— Dimitriy V. Masterov,

Non è la probabilità, ma il rapporto di probabilità. Speriamo che la modifica lo renda più chiaro.

— Hong Ooi,

Esprimere il problema in termini di odds ratio lo rende molto chiaro. E il probit?

— Dimitriy V. Masterov,

Non mi aspetto che questo funzioni per probit, o almeno abbia un'interpretazione chiara, poiché non è un collegamento canonico e una variabile binaria dipendente con probit non rientra nella famiglia esponenziale.

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

— StasK,

@StasK Sembra giusto, ma allora perché esistono queste opzioni in Stata e R? Cosa realizzano?

— Dimitriy V. Masterov

Riformulando questo come un problema di time-to-event, un modello logistico con un offset ln (tempo) non ti impegnerebbe effettivamente in una funzione di sopravvivenza parametrica che potrebbe o non potrebbe adattarsi bene ai dati?

p / (1-p) = Z * exp (xbeta)

p = [Z * exp (xbeta)] / [1 + Z * exp (xbeta)]

Sopravvivenza prevista al momento Z = 1- [Z * exp (xbeta)] / [1 + Z * exp (xbeta)]

— Eric
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