chiarimento del meccanismo Kozai

Come dice Wikipedia ,

Nella meccanica celeste, il meccanismo di Kozai, o meccanismo di Lidov-Kozai, è una perturbazione dell'orbita di un satellite a causa della gravità di un altro corpo in orbita più lontana, causando la librazione (oscillazione su un valore costante) dell'argomento dell'orbita del pericentro. Come le librerie dell'orbita, c'è uno scambio periodico tra la sua inclinazione e la sua eccentricità.

Le mie domande sono:

Domanda A
Qual è l'oggetto meno massiccio? L'oggetto terziario, qual è l'oggetto più lontano, o il satellite nel binario interno? Sembra che non sia necessario che l'oggetto terziario sia il meno massiccio, il che viola ciò che dice Wikipedia.

Domanda B
Come si evolve il sistema a tre corpi?

C'è uno scambio periodico tra la sua inclinazione e la sua eccentricità.

Di chi è l'inclinazione e di chi eccentricità? Si prega di specificarli usando m0, m1 o m2 nella figura seguente.

L'orbita del binario interno dovrebbe diventare e più circolare. Può diventare circolare, eccentrico, circolare, eccentrico?

Domanda C
Il binario interno perderà energia durante l'intero processo, giusto?

Il modello Lidov-Kozai più semplice è quello di un oggetto senza massa ( nel diagramma) che ruota un oggetto enorme ( ), che è esso stesso in un'orbita con un altro oggetto massiccio ( ).$m_1$$m_0$$m_2$

Questo è un sistema gerarchico a 3 corpi ( si presume che sia sempre abbastanza lontano da e ). È più facile guardare come due orbite a 2 corpi:$m_2$$m_0$$m_1$

Orbita interna - e$m_0$$m_1$

Orbita esterna - e +$m_2$$m_1$$m_0$

Poiché è privo di massa, l'orbita esterna non ne è influenzata ed è una semplice orbita di Keplero di 2 corpi ( e ) con parametri fissi. Per questo motivo, l'orbita esterna definisce il sistema di coordinate e giace sul piano XY, con il suo momento angolare . Quello che abbiamo davvero qui è un movimento di una particella di test ( aka perturbato) attorno a un oggetto massiccio ( ) in un sistema binario (con ). L'orbita interna può essere vista come un'orbita di Keplero con una perturbazione dovuta a (alias la perturbatrice). I suoi parametri cambiano nel tempo e sono descritti dal meccanismo Lidov-Kozai.$m_1$$m_0$$m_2$$\vec{L}_{out}=L_{out}\hat{z}$$m_1$$m_0$$m_2$$m_2$

Utilizzando questo modello (che è probabilmente quello che stai chiedendo):

Domanda A

L'oggetto meno massiccio è l'oggetto senza massa$m_1$

Domanda B

Quali sono i parametri dell'orbita interna ( e ) che si evolvono : eccentricità, inclinazione, momento angolare ecc. Come? in modo periodico. Il cambiamento periodico nell'eccentricità significa letteralmente che l'orbita interna diventa più circolare, quindi più eccentrica, quindi più circolare ancora e ancora. Il cambiamento di eccentricità-inclinazione è più facile da vedere a causa della seguente costante di movimento:$m_0$$m_1$

$$\sqrt{1-e^2}\cos i = const.$$

(Non è esattamente , ma una versione in scala di esso . essendo rispettivamente la massa ridotta e totale dell'orbita interna)$L_z$$\frac{L_z}{\mu\sqrt{GMa_{in}}}$$\mu,M$

Il fatto che questa sia costante non è facile da vedere, ma se dato come un fatto e il fatto che è periodico, puoi vedere che l'inclinazione è periodica.$e$$i$

Domanda C

Quando si ricava questo modello, si sta "calcolando la media" (per un intero periodo) l'anomalia vera (la posizione esatta della massa all'interno dell'orbita) di attorno a -> che significa che ci riferiamo all'orbita interna come un "anello ellittico" e lo stesso vale per l'orbita esterna. Inoltre non assumiamo alcuno scambio di energia tra le due orbite (anelli), quindi sono fissi anche entrambi gli assi semi-maggiori interni / esterni (dalla relazione , dove M è la massa totale dell'orbita )$m_1$$m_0$$E=-\frac{GM}{2a}$

In generale (senza una media) - questo è ancora un caotico problema a 3 corpi e tutto può succedere - l'orbita interna potrebbe essere completamente distrutta dal fatto che m1 venga espulso dal sistema, per esempio.

Qual è l'oggetto meno massiccio?

Citando Wikipedia,

Nel problema gerarchico a tre corpi limitato, si presume che il satellite abbia una massa trascurabile rispetto agli altri due corpi (il "primario" e il "perturbatore"). . .

Questo è il caso studiato a Kozai (1962) , in particolare, il caso degli asteroidi è disturbato da Giove. Sebbene non sia priva di massa, la differenza di massa è abbastanza grande da rendere trascurabile la massa dell'asteroide.

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Come si evolve il sistema a tre corpi? . . . Di chi è l'inclinazione e di chi eccentricità?

Wikipedia è di nuovo piuttosto diretta in questo, affermando che la quantità conservata dipende dall'eccentricità e dall'inclinazione dell'orbita del satellite: Poiché la massa del satellite è trascurabile, non avrà alcun significativo effetto sul suo perturbatore.L z = $L_z$

$$L_z=\sqrt{1-e^2}\cos i$$

Può diventare circolare, eccentrico, circolare, eccentrico?

Questo in sostanza sta chiedendo se l'eccentricità (e quindi l'inclinazione) possa essere descritta da una funzione periodica. Ancora una volta, questo è dato nell'articolo di Wikipedia. Una xpresison leggermente diversa ma altrettanto semplice è data in Takeda & Rasio (2005) : Nell'approssimazione discussa sopra, in caso di differenza di massa estrema, .mperturbata→

$$\text{Kozai Period}=P_{\text{perturbed}}\left(\frac{m_{\text{star}}+m_{\text{perturbed}}}{m_{\text{perturber}}}\right)\left(\frac{a_{\text{perturber}}}{a_{\text{perturbed}}}\right)^3(1-e_{\text{perturber}}^2)^{3/2}$$ $m_{\text{perturbed}}\to0$

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Il binario interno perderà energia durante l'intero processo, giusto?

Il tutto è periodico, quindi non si perde energia.