Perché le orbite sono ellittiche anziché circolari?

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Perché i pianeti ruotano attorno a una stella in un'orbita ellittica specifica con la stella su uno dei suoi fuochi? Perché l'orbita non è un cerchio?

star orbit planet

— Devgeet Patel
fonte

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La risposta di Eduardo ne riassume la maggior parte. Sebbene tu possa vedere la mia risposta a una domanda simile su Physics SE. physics.stackexchange.com/questions/56657/…

— Cheeku

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Le orbite circolari sono un caso speciale di orbite ellittiche.

— asawyer,

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Supponiamo che il pianeta abbia una massa trascurabile rispetto alla stella, che entrambi siano sfericamente simmetrici (quindi la legge di gravitazione di Newton regge, ma ciò accade normalmente con un'ottima approssimazione) e che non vi sono forze oltre la gravità tra loro . Se la prima condizione non regge, l'accelerazione di ciascuna sarà verso il baricentro del sistema, come se il baricentro li stesse attraendo una forza gravitazionale con una certa massa ridotta, quindi il problema è matematicamente equivalente.

Prendi la stella per essere all'origine. Secondo la legge di gravitazione di Newton, la forza è , dove è il vettore per il pianeta, è la sua massa e è il parametro gravitazionale standard della stella. $\mathbf{F} = -\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{r}$ $\mathbf{r}$ $m$ $\mu = GM$

Leggi di conservazione

Poiché la forza è puramente radiale , il momento angolare viene conservato: Se la velocità iniziale è diversa da zero e la stella è all'origine , quindi in termini di posizione iniziale e velocità, l'orbita deve essere limitata al piano di tutti i punti con vettori dall'origine che soddisfano $(\mathbf{F}\parallel\mathbf{r})$ $\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$

\dot{L} = \frac{d}{d t} (r \times p) = m (\dot{r} \times \dot{r}) + r \times F = 0 .

$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = m(\dot{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\text{.}$

x

$\mathbf{x}$

L \cdot x = 0

$\mathbf{L}\cdot\mathbf{x} = 0$ . Se la velocità iniziale è zero, allora il movimento è puramente radiale e possiamo prendere uno qualsiasi dei infiniti piani che contengono il baricentro e la posizione iniziale.

L'energia orbitale totale è data da dove la parte del primo termine è l'energia cinetica e il il secondo termine è l'energia potenziale gravitazionale del pianeta. La sua conservazione, così come il fatto che invoca la corretta energia potenziale, può essere dimostrata dal teorema fondamentale del calcolo per gli integrali di linea.

E = \frac{p^{2}}{2 m} - \frac{m μ}{r},

$\mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\mu}{r}\text{,}$

Definisci il vettore Laplace-Runge-Lenz come Viene anche conservato:

A = p \times L - \frac{m^{2} μ}{r} r .

$\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{L} - \frac{m^2\mu}{r}\mathbf{r}\text{.}$

\begin{array}{rcl} \dot{A} & = & F \times L + p \times \dot{L} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3}} (p \cdot r) r \\ = & - \frac{m μ}{r^{3}} \underset{(r \cdot p) r - r^{2} p}{\underset{⏟}{(r \times (r \times p))}} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3}} (p \cdot r) r \\ = & 0 . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{A}} &=& \mathbf{F}\times\mathbf{L} + \mathbf{p}\times\dot{\mathbf{L}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& -\frac{m\mu}{r^3}\underbrace{\left(\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\right)}_{(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - r^2\mathbf{p}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& \mathbf{0}\text{.} \end{eqnarray*}$

Infine, prendiamo anche , che ha le stesse unità di e poiché , giace lungo il piano orbitale. Dato che è un vettore conservato ridimensionato da uno scalare conservato, è facile dimostrare che anche è conservato, purché . $\mathbf{f} = \mathbf{A}/(m\mathcal{E})$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{L}\cdot\mathbf{f} = 0$ $\mathbf{f}$ $\mathcal{E}\neq 0$

Semplificare

Utilizzando il prodotto triple vector, possiamo scrivere il cui quadrato normale è facile da avviare: dove stato usato dappertutto per alternare tra termini cinetici e potenziali.

\begin{array}{rcl} \frac{1}{m} UN & = & \frac{1}{m} [p^{2} r - (p \cdot r) p] - \frac{m μ}{r} r \\ = & (E + \frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p \\ E (f - r) & = & (\frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\mathbf{A} &=& \frac{1}{m}\left[p^2\mathbf{r}-(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{p}\right] -\frac{m\mu}{r}\mathbf{r}\\ &=& \left(\mathcal{E}+\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\\ \mathcal{E}(\mathbf{f}-\mathbf{r}) &=& \left(\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\text{,} \end{eqnarray*}$

E^{2} | f - r |^{2} = {(E + \frac{m μ}{r})}^{2} r^{2},

$\mathcal{E}^2|\mathbf{f}-\mathbf{r}|^2 = \left(\mathcal{E} + \frac{m\mu}{r}\right)^2r^2\text{,}$

E

$\mathcal{E}$

Perché le ellissi?

Poiché è energia relativa all'infinito, per avere un'orbita legata abbiamo bisogno di . Pertanto, dalla sezione precedente, e quindi che definisce un'ellisse con foci e asse maggiore . $\mathcal{E}$ $\mathcal{E}<0$ $|\mathbf{f}-\mathbf{r}| = -\mathcal{E}^{-1}\left(\mathcal{E}r + m\mu\right)$

| f - r | + | r | = - \frac{m μ}{E},

$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| + |\mathbf{r}| = -\frac{m\mu}{\mathcal{E}}\text{,}$

0, f

$\mathbf{0},\,\mathbf{f}$

2 a = - m μ / E

$2a=-m\mu/\mathcal{E}$

Why Not Circles?

Il cerchio è un caso speciale in cui i fuochi sono lo stesso punto, , che può essere riformulato come In altre parole, le orbite circolari richiedono che l'energia orbitale sia negativa dell'energia cinetica. Questo è possibile, ma quasi certo di non reggere esattamente. Poiché qualsiasi valore di è consentito per le orbite legate, ci sono molti altri modi per avere orbite ellittiche. (Anche se alcuni di loro si schianterebbero davvero perché la stella e il pianeta hanno dimensioni positive.) $\mathbf{f} = \mathbf{0}$

E = - \frac{1}{2} \frac{m μ}{r} = - \frac{p^{2}}{2 m} .

$\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\frac{m\mu}{r} = -\frac{p^2}{2m}\text{.}$

E < 0

$\mathcal{E}<0$

Nota che le orbite iperboliche hanno , e possiamo ancora trovare i fuochi usando il metodo sopra, pur facendo attenzione ai segni. Per , il secondo focus non è definito perché si tratta di un'orbita parabolica e le parabole hanno solo un focus a una distanza finita dal centro. $\mathcal{E}>0$ $\mathcal{E}=0$ $\mathbf{f}$

Inoltre, il vettore di eccentricità è una scelta alternativa per il vettore LRL; come suggerisce il nome, la sua grandezza è l'eccentricità orbitale. $\mathbf{e} = \mathbf{A}/(m^2\mu)$

— Stan Liou
fonte

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È possibile che un pianeta abbia un'orbita circolare, un cerchio, dopo tutto, è un'ellisse in cui entrambi i fuochi si trovano nello stesso posto; questo è noto per avere un'eccentricità di 0 . L'eccentricità è definita nel modo seguente: dove è l'apnea (punto più lontano nell'orbita dal centro di massa) e è la periapsi (la distanza più vicina). Solo per costruire un po 'di intuizione qui, se l'apnea è due volte la distanza della periapsi, l'eccentricità sarà .

e = \frac{r_{un'} - r_{p}}{r_{un'} + r_{p}}

$e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}$

r_{a}

$r_{a}$

r_{p}

$r_{p}$

e = 0.333

$e=0.333$

Da tutti i pianeti del sistema solare, Venere , con un'eccentricità di 0,007, ha l'orbita più circolare.

Per quanto riguarda il motivo per cui tutte le orbite non sono rotonde, si tratta di energia cinetica . L'energia cinetica è proporzionale al quadrato della velocità. Nel piano orbitale e in coordinate polari attorno alla stella, possiamo scomporre questo in una combinazione di velocità radiale e velocità angolare : Poiché i cerchi hanno raggi costanti, affinché l'orbita sia circolare attorno alla stella, la velocità radiale del pianeta deve essere esattamente zero. Inoltre, la velocità angolare deve essere tale che la forza centrifuga nel telaio corotante bilanci esattamente la forza gravitazionale - un po 'più o un po' meno, lo squilibrio cambierà la velocità radiale, rovinando il cerchio. $\dot{r}$ $\dot{\phi}$

v^{2} = {\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{φ}}^{2} .

$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\text{.}$

Dato che le velocità variano per un gran numero di ragioni, non c'è da meravigliarsi che solo poche orbite finiscano per essere circolari, e considerando che le orbite effettive cambiano con il tempo , sappiamo che non possono rimanere così a lungo.

Se stai cercando una prova matematica, questo link condivide alcuni dettagli al riguardo .

Ecco un'immagine che mostra l'eccentricità di alcuni corpi nel sistema solare estratti da qui :

Alcuni corpi del sistema solare e le loro eccentricità

— Eduardo Serra
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Questo è completamente sbagliato: "Affinché l'orbita sia rotonda, la velocità del pianeta deve essere esattamente il minimo necessario per essere in orbita; ... un po 'meno e si schianterebbe sul pianeta in orbita". Il paragrafo è anche piuttosto confuso su cosa orbita cosa. Ovviamente, minimizzano la velocità radiale , ma questo è diverso e non si collega alla discussione sull'energia cinetica. Scomponendo l'energia cinetica in parti radiali e angolari, le orbite circolari minimizzano anche il potenziale effettivo se il momento angolare viene tenuto fisso.

— Stan Liou,

@Stan puoi proporre una modifica o dare la tua risposta. Potresti entrare nei dettagli sul perché questa affermazione è sbagliata? Se un satellite sta descrivendo un'orbita circolare e tu la rallenti, si schianterà contro il pianeta; se lo acceleri, si forma e orbita ellittica.

— Eduardo Serra,

r_{a} = r_{p}

$r_a = r_p$

r_{p}^{'}

$r'_p$

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@EduardoSerra - Rallenta un oggetto in un'orbita circolare e sarà in un'orbita ellittica con l'ex raggio dell'orbita circolare che ora è la distanza apofocale.

— David Hammen,

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Preferisco sempre le risposte che cercano di evitare qualsiasi formula e rispondo invece sull'argomentazione. Per quanto riguarda la parte della domanda sul perché non tutte le orbite sono circolari, un'argomentazione sarebbe questa:

Considera una stella stazionaria e un pianeta in movimento. Per ogni impulso che il pianeta può avere, è possibile prevedere una curva per il suo ulteriore movimento. Se questo impulso è diretto esattamente ortogonale alla linea dalla stella al pianeta e se la velocità ha la quantità esatta , allora questa curva di movimento può essere un cerchio esatto.

Ma per ogni devianza di questo unico impulso esatto, la curva risultante non può essere un cerchio:

Se la velocità è troppo bassa, il pianeta cadrà verso la stella (nel caso estremo di un impulso di zero, questa caduta sarà in linea retta).
Se la velocità è troppo alta, il pianeta otterrà la distanza dalla stella (simile a una fionda).
Se l'impulso non è direttamente ortogonale alla linea della stella, il primo movimento si sposterà verso o dalla stella, quindi la curva non sarà più un cerchio.

Quindi, si può semplicemente argomentare, un cerchio è un caso molto speciale per la curva che un pianeta può assumere attorno a una stella.

— Alfe
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(1) L'argomento iniziale di ortogonalità è un buon inizio. (2) Ma le considerazioni "la velocità è troppo [bassa / alta]" sono ingiustificate: come si può sapere che le orbite circolari a velocità multiple non sono consentite per la stessa distanza? Si può discutere contro la possibilità di velocità multiple bilanciando le forze gravitazionali e centrifughe, ma poi sia (1) che (2) si trasformano esattamente in ciò che è delineato nella risposta di Eduardo Serra.

— Stan Liou,

Quindi vuoi dire che si potrebbe avere l'impressione che la forza gravitazionale potrebbe essere come una corda tesa, nel senso che applicherà più forza sul pianeta verso la stella quando è "necessaria" più forza per mantenere il pianeta su un percorso circolare ? Hmm ... sì, a seconda dello sfondo del profano questo potrebbe essere quello che ci si aspetta. Grazie per l'idea; forse posso migliorare la mia risposta anche per risolvere questo problema!

— Alfe,