Qual è la forma (lungo il piano, non su-giù) delle orbite stellari in galassie a spirale piatte

Quello che voglio dire è che con le orbite di massa centrale sono relativamente semplici, ma le orbite attorno alla galassia sono diverse, in sostanza quando la stella orbita attraverso l'alone della materia oscura, più si allontana dal centro della galassia, maggiore è il campo gravitazionale , quindi mentre le orbite tendono a rallentare mentre l'energia cinetica si trasforma in energia potenziale, le stelle orbitano effettivamente attorno a più massa quanto più sono lontane dal centro della galassia, il che potrebbe accelerarle. Le aree uguali nel tempo uguale sembrano non essere più applicabili.

Quindi, ignorando il movimento su e giù rispetto al piano della galassia, esiste una forma comune per le orbite galattiche? C'è una formula? Penso che l'eccentricità si applicherebbe ancora, ma non credo che le orbite sarebbero ellissi, quindi sarebbe un diverso tipo di eccentricità. Queste orbite tenderanno a circolare (in una nuvola di materia oscura ideale, ignorando le perturbazioni. Ovviamente le perturbazioni porterebbero, in senso pratico, a orbite imprevedibili, non a formule pulite e ordinate. Raccolgo da uno spettacolo che ho colto sul canale scientifico che il Anche il campo magnetico della Via Lattea svolge un ruolo nel formare i suoi bracci a spirale, ma sto chiedendo in un ideale ideale matematico, quale forma avrebbe orbite attraverso una galassia, da un punto di vista 2D, ignorando il movimento su e giù.

Aggiornare

Mi è venuto in mente che la domanda potrebbe essere più semplicemente posta da un buco nero in effetti "in orbita" attraverso un pianeta o persino un neutrino a bassa velocità (se ci sono neutrini a bassa velocità). L'interno di un'orbita planetaria è abbastanza diverso dall'orbita di Keplero, perché la gravità aumenta quando l'oggetto si allontana dal centro. L'orbita complessiva potrebbe essere ancora in qualche modo simile a un'ellisse ma le leggi per tale orbita sarebbero diverse, vedresti l'accelerazione più alta nei punti più lontani dal centro anche se probabilmente vedresti ancora la velocità più alta nel punto più vicino al centro.

Ad ogni modo, sono per lo più solo curioso di sapere se quella forma è stata elaborata e come appare.

Questa è una domanda interessante e così spesso a domande interessanti non è possibile rispondere facilmente con le conoscenze attuali, ma a questa si può rispondere in una certa misura. Esaminerò le basi della teoria orbitale e descriverò come possono applicarsi alle galassie e in che modo differisce dai sistemi di Keplerian. Dovresti avere una ragionevole comprensione della fisica newtoniana (dopo che tutte le orbite derivano precisamente dalle leggi di Newton) e una forte conoscenza della matematica. Se non hai queste cose, vai alla fine di ogni sezione in cui proverò a riassumere i punti importanti dietro la matematica.

Una breve nota sulla notazione matematica che userò. Un punto sopra un simbolo indica una derivata del tempo (ad esempio, ) e i simboli in grassetto non in corsivo sono quantità vettoriali (ad esempio, ). Andiamo al sodo.$\dot{a}$$\bf F$

L'equazione orbitale del movimento

Considera una massa come una posizione e muoviti con un movimento descritto da . Questa massa sperimenta una forza che è solo una funzione della distanza radiale, , dal centro del sistema di coordinate. L'obiettivo qui è determinare l'equazione del movimento che può descrivere l'orbita della massa dovuta a questa forza. Questa equazione può quindi essere utilizzata per risolvere . Secondo la legge di Newton, l'equazione del moto può essere inizialmente definita come$m$$\bf r$$\bf \dot{r}$$\textbf{F}(r)$$r$$r(\theta)$

$$\textbf{F}(r) = m\textbf{a} = m\Big(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2\Big)$$

Si noti che in questo caso è semplicemente la componente radiale di e è l'angolo azimutale del corpo in un sistema di coordinate sferiche. Lascerò a te determinare come suddividere l'accelerazione nei due componenti sopra, sotto il sistema di coordinate appropriato. Proviamo a rimuovere la nostra dipendenza modo che abbiamo solo una funzione di . Ciò può essere ottenuto utilizzando la conservazione del momento angolare. Il momento angolare per unità di massa è dato da modo che . Questo da$r$$\bf r$$\theta$$\theta$$r$$\ell = r^2\dot{\theta}$$\dot{\theta} = \ell/r^2$

$$\textbf{F}(r) = m\big(\ddot{r} - \ell^2/r^3\big)$$

Questa è ora un'equazione differenziale che ci consente di risolvere per , ma vogliamo quindi dobbiamo fare qualche conversione. Riconfiguriamo definendo (la ragione diventerà chiara tra poco) e determinando in termini di e .$r(t)$$r(\theta)$$u \equiv 1/r$$\ddot{r}$$u$$\theta$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{1}{u}\bigg)=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\frac{\dot{\theta}}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}=-\ell\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}$$

Nota la sostituzione di . Ora differenzia nuovamente per determinare .$\ell=r^2\dot{\theta}=\dot{\theta}/u^2$$\ddot{r}$

$$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}(r)=-\ell\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg)=-\ell\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg) = \ell\dot{\theta}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}=-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}$$

Mettendo questo nella nostra espressione per l'equazione del moto e facendo la trasformazione che finalmente dà$r=1/u$

$$\textbf{F}(1/u) = m\Big(-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} - \ell^2 u^3\Big)$$

Scrivendo in una forma più conveniente arriviamo finalmente a

$$\boxed{\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{\textbf{F}(1/u)}{m\ell^2u^2}}$$

Ricorda che, è la massa del corpo, , è il momento angolare per unità di massa, è una forza puramente radiale che agisce sul corpo e e sono le posizioni delle coordinate radiali e azimutali della massa.$m$$u(\theta) \equiv 1/r(\theta)$$\ell$$\bf F$$r$$\theta$

Punchline : il risultato finale qui è un'equazione generale di movimento per un corpo in orbita secondo una forza arbitraria. Potrebbe trattarsi di gravità, elettromagnetica, forza elastica o qualsiasi altra cosa decidiamo. È volutamente derivato da ipotesi generali e non costrittive e si spera che tu possa vedere che può essere usato per comprendere il movimento orbitale di una stella in orbita in una galassia a disco. L'obiettivo di questa equazione dovrebbe essere quello di collegare la tua forza (qualunque essa sia) e risolvere per te . Da lì è facile determinare .$u(\theta)$$r(\theta)$

Moto Kepleriano

Prima di andare a guardare il movimento orbitale in una galassia, diamo un'occhiata al moto Kepleriano standard in modo da avere qualcosa da confrontare. Il moto kepleriano deriva dall'ipotesi che la nostra massa sia in orbita attorno a una singola massa simile a un punto e sotto l'influenza della gravità semplice. In tal caso, possiamo scrivere la nostra forza come e quindi , dove è una costante, definita qui per semplicità matematica. Si noti che è la costante gravitazionale. L'equazione orbitale generale, sotto questa forza, ora diventa$m$$M$$F(r) = kr^{-2}$$F(1/u) = ku^2$$k\equiv GMm$$G$

$$\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{k}{m\ell^2}$$

Questa è un'equazione differenziale standard non omogenea di secondo ordine con una funzione di forzatura costante. Se conosci il tuo Diff EQ, dovresti conoscere la soluzione quasi immediatamente.

$$u(\theta) = \frac{k}{m\ell^2} + A\cos (\theta - \theta_0)$$

In questa equazione, è una costante sconosciuta e rappresenta l'angolo iniziale dell'orbita, che possiamo scegliere arbitrariamente di essere zero. Il nostro obiettivo finale è ottenere quindi facciamolo. Ho intenzione di fare alcuni passi in uno e ti lascio elaborare la matematica che interviene. per e il momento angolare come dove è la massa ridotta del nostro sistema . Dirò anche, senza prove, che dove è l'eccentricità dell'orbita.$A$$\theta_0$$r(\theta)$$k = GMm$$L = \ell\mu$$\mu$$e = A(m\ell^2/k)$$e$

$$\boxed{r(\theta) = \frac{L^2/GM\mu^2}{1+e\cos (\theta)}}$$

Battuta finale : Abbiamo trovato un'equazione finale che rappresenta il moto orbitale di una massa sotto l'influenza di densità dovuta ad una puntiforme di massa . Se conosci le tue cose, vedrai che questa equazione descrive con precisione le sezioni coniche, a seconda del valore di . Se , ottieni un movimento circolare (poiché diventa una costante). Se , si ottiene un movimento ellittico, è movimento parabolico ed è iperbolico.$M$$e$$e = 0$$r(\theta)$$0 < e <1$$e=1$$e > 1$

Come previsto, il moto di Keplerian (cioè, avendo una forza centrale tale che ) ha portato a coniche, che è precisamente la prima legge di Keplero. La seconda e la terza legge di Keplero derivano più o meno dalle stesse ipotesi. È logico quindi che qualsiasi sistema in cui non segua nessuna delle leggi di Keplero. Le orbite non sono coniche perfette (ad esempio, ellissi, cerchi, ecc.), Non spazzano aree uguali in tempi uguali e lo standard non si applica certamente.$F\propto r^{-2}$$F \not \propto r^{-2}$$P^2 \propto a^3$

Movimento orbitale in una galassia

La tua domanda descrive correttamente la situazione delle stelle (o qualsiasi cosa realmente) in orbita in una galassia. Le stelle non stanno orbitando attorno a masse centrali simili a punti. Sono incorporati sia nella materia barionica che nella materia oscura che comprende la galassia e stanno orbitando attraverso di essa. È un concetto ben noto in fisica che le distribuzioni di massa sfericamente simmetriche non hanno una spinta gravitazionale netta sugli oggetti interni a quella distribuzione, il che significa che per le stelle in una galassia, la massa che colpisce la sua orbita è la massa interna al suo raggio. Se quel raggio cambia, la massa cambia!

La forza centrale sulla nostra stella sarà ancora la gravità, ma la massa che agisce su di essa sarà tutta la massa interna in un certo raggio, indicata da . Possiamo vedere che . Se vogliamo determinare la forza che agisce sulla nostra stella (e quindi l'orbita esatta, tramite l'equazione differenziale sopra), dobbiamo prima capire qual è l'interno di massa in un certo raggio. Ciò può essere ottenuto utilizzando l' equazione di continuità di massa .$M_r$$F(r) = GM_r(r)m/r^2$

$$\frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2 \rho(r)$$

Puoi essenzialmente capire tutta la massa interna di integrando tutta la densità di massa in funzione di . Qui ovviamente, hai bisogno di una buona equazione per . Un profilo di densità semplice ma fisicamente irrealistico è la sfera isotermica singolare (SIS), mentre un'equazione più realistica, ma matematicamente complessa potrebbe essere il profilo NFW o il profilo di Einasto .$r$$r$$\rho(r)$

Ora ho esposto tutti i passaggi necessari per capire il movimento orbitale in una galassia, ma devo dire che non è carino. Tuttavia, possiamo esaminare parte del caso più semplice, quello del SIS.

Sfera isotermica singola

Per la sfera isotermica singlar, hai quella , dove è la velocità di rotazione della tua stella. Questo profilo si basa su un fatto cruciale delle galassie del disco loro profilo di rotazione è piatto! Ciò è stato ben consolidato, ad esempio da Ruben et al. 1978 . Ho riprodotto una figura di questo documento in basso che mostra la curva di rotazione per diverse galassie. Il punto importante qui è che questo mostra è costante e non dipende dal raggio! (Supponendo che non siamo vicini al rigonfiamento o al centro galattico. Questa è una bestia completamente diversa.)$\rho(r) = v^2/(4\pi Gr^2)$$v$$-$$v$

Con questa informazione cruciale, possiamo risolvere per integrando (che lascerò a voi). Il risultato è quello$M_r$$\rho(r)$

$$M_r = \frac{v^2r}{G}$$

Questo significa che la tua forza è data da

$$F(r) = \frac{v^2rm}{r^2} = \frac{v^2m}{r}\Rightarrow F(1/u) = v^2mu\propto ku$$

Potete vedere qui che, diversamente dal caso Kepleriano, la nostra forza è proporzionale a anziché a . Puoi fare questo processo con altri profili di densità (come NFW o Einasto I sopra elencati), ma finirai con lo stesso risultato.$r^{-1}$$r^{-2}$

Se sei così incline, potresti scegliere di collegarlo all'equazione orbitale del movimento sopra e risolverlo, ma ora stai lavorando con un'equazione differenziale non lineare e le cose possono diventare rapidamente disordinate.

Punchline : non sono sicuro che questo risponda effettivamente alla tua domanda o meno. Ti ho condotto in parte nella tana del coniglio, ma spero che tu possa apprezzare la complessità che diventa rapidamente. Tutto il lavoro di cui sopra utilizzava ipotesi e semplificazioni generali. Suppongo che la risposta breve a tutto ciò sia che le stelle orbitano attorno alle galassie in un'orbita complessa ma chiusa che non è facilmente descritta con precisione (anche per la nostra galassia) tramite equazioni calcolabili. Possiamo approssimare e fare del nostro meglio per lavorare attraverso la matematica, ma alla fine è un'approssimazione. Nelle approssimazioni più grossolane, tuttavia, puoi anche considerare un'orbita come la nostra stella come circolare e farla finita.