Anche le stelle nane bianche sono supportate dalla degenerazione dei protoni?

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In generale, i fermioni formano un gas degenerato ad alta densità o temperatura estremamente bassa. È chiaro che le stelle bianche nane sono supportate dalla pressione della degenerazione elettronica. Tuttavia, c'è ancora un numero significativo di protoni in una nana bianca. Sotto quelle alte densità, i protoni formano un gas degenerato?

Inoltre, le nane bianche sono supportate dalla pressione di degenerazione dei protoni tanto quanto lo sono dalla pressione di degenerazione degli elettroni?

— Sir Cumference
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Semplicemente no.

Tanto per cominciare non ci sono quasi protoni liberi all'interno di una nana bianca. Sono tutti rinchiusi in modo sicuro nei nuclei dei nuclei di carbonio e ossigeno (che sono bosonici). Ci sono alcuni protoni vicino alla superficie, ma non in numero sufficiente per essere degenerati.

Supponiamo tuttavia che tu sia stato in grado di costruire un nano bianco a idrogeno che avesse un numero uguale di protoni ed elettroni liberi.

La densità alla quale gli elettroni diventano degeneri è determinata dal requisito che la loro energia (cinetica) di Fermi superi . L'energia di Fermi è data da dove è la densità numerica (che sarebbe la stessa per protoni ed elettroni), ma è la massa di un protone o elettrone, che è diversa da un fattore 1800. $kT$

E_{F} = \frac{p_{F}^{2}}{2 m} = {(\frac{3}{8 π})}^{2 / 3} n^{2 / 3} (\frac{h^{2}}{2 m}),

$E_F = \frac{p_F^{2}}{2m} = \left(\frac{3}{8\pi}\right)^{2/3} n^{2/3} \left(\frac{h^2}{2m}\right),$

n

$n$

m

$m$

Pertanto, per una data temperatura della nana bianca, gli elettroni diventano degeneri a densità numeriche un fattore di volte inferiore rispetto ai protoni. $(m_p/m_e)^{3/2} = 78,600$

Anche se dovessimo comprimere un ipotetico nano bianco di idrogeno al punto in cui anche i protoni erano degenerati (che per una tipica temperatura interna del nano bianco di K, avremmo bisogno di densità di massa considerevolmente superiori a kg / m ), le pressioni di degenerazione (ideali) sarebbero quindi date da e quindi vediamo immediatamente che la pressione di degenerazione dovuta ai protoni sarebbe volte inferiore a quella dovuta alla stessa densità numerica degli elettroni. $10^{7}$ $10^{12}$ $^{3}$

P = \frac{h^{2}}{20 m} {(\frac{3}{π})}^{2 / 3} n^{5 / 3}

$P = \frac{h^2}{20m}\left(\frac{3}{\pi}\right)^{2/3} n^{5/3}$

\sim 1800

$\sim 1800$

Se spingiamo verso densità più elevate, sia i protoni che gli elettroni diventeranno degenerati relativisticamente . In questo caso la pressione diventa indipendente dalla massa delle particelle . Tuttavia, le energie di Fermi delle particelle ora sarebbero abbastanza alte ( GeV!) Per bloccare il decadimento beta e innescare la neutronizzazione. I protoni e gli elettroni iniziano a combinarsi per formare neutroni e si forma un fluido n, p, e dove i neutroni superano ampiamente i protoni e gli elettroni. Ciò in effetti impedisce che i protoni diventino mai relativistici, anche a densità di stelle di neutroni, e il contributo degli elettroni alla pressione è sempre un ordine di grandezza superiore a quello dei protoni. $>1$

Un handwaving modo di comprendere questo è che la pressione di degenerazione dipende dal prodotto della quantità di moto e velocità delle particelle. A sua volta, lo slancio dei fermioni dipende da quanto sono compressi attraverso il principio di incertezza. Per una data densità del numero di particelle, la separazione è la stessa per i protoni e gli elettroni e quindi il principio di incertezza dice che anche il del momento è lo stesso. Questo è un altro modo di dire che lo slancio di Fermi no $\Delta x$ $\Delta p \sim \hbar/\Delta x$ dipende dalla massa del fermione; tuttavia, per un dato momento di fermione, la velocità chiaramente lo fa! Pertanto la pressione di degenerazione deve essere inferiore di circa il rapporto di massa dei fermioni

— Rob Jeffries
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Abbastanza tardi, ma stavo pensando. Hai detto che il numero di protoni ed elettroni non è uguale in una nana bianca. Ciò significa che la stella originale (e la maggior parte delle stelle, per quella materia) hanno significativamente più elettroni che protoni?

— Sir Cumference,

@SirCumference Non l'ho detto. Ho detto che ci sono pochissimi protoni gratuiti. Le nane bianche sono elettricamente neutre.

— Rob Jeffries,

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La degenerazione del protone non è importante, perché il suo effetto è molto più piccolo - molto come in teoria anche le particelle nucleari sono dettate dalla gravità, ma le forze elettromagnetiche e nucleari stanno dominando, poiché sono molto più forti. La degenerazione del protone è più debole della degenerazione degli elettroni a causa della massa molto maggiore del protone rispetto all'elettrone. L'articolo di Wikipedia sulla materia degenerata lo spiega molto bene;

Poiché i protoni sono molto più massicci degli elettroni, lo stesso momento rappresenta una velocità molto più piccola per i protoni che per gli elettroni. Di conseguenza, nella materia con un numero approssimativamente uguale di protoni ed elettroni, la pressione della degenerazione del protone è molto più piccola della pressione della degenerazione degli elettroni e la degenerazione del protone è solitamente modellata come una correzione delle equazioni di stato della materia degenerata dagli elettroni.

— nataliaeire
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