Come faccio a sapere, matematicamente piuttosto che dall'osservazione, se una luna è piena?

Conosco le equazioni per descrivere l'orbita di una luna attorno a un pianeta. Conosco l'asse semi-maggiore e l'eccentricità della luna, e lo stesso per il suo mondo ospite con la stella che orbitano.

C'è qualche equazione che mi dice quanta parte della luna è illuminata di notte e forse quanto luminosa, vista dal pianeta?

Le fasi lunari possono essere definite dall'angolo di fase tra Sole, Luna e Terra; ad esempio, a 0 °, la Luna è definita come piena e a 180 ° è definita come nuova. Se vuoi sapere quanto è luminosa la Luna ad un determinato angolo, useremmo l'angolo di fase per trovare le magnitudini apparenti e assolute della Luna.

$H$

$$m = H + 2.5 \log_{10}{\left(\frac{d_{BS}^2 d_{BO}^2}{p(\chi) d_0^4}\right)}\!\,$$

Dove $d_0$$\chi$$p(\chi)$$d_{BO}$$d_{BS}$$d_{OS}$

$$p(\chi) = \frac{2}{3} \left( \left(1 - \frac{\chi}{\pi}\right) \cos{\chi} + \frac{1}{\pi} \sin{\chi} \right)$$ $\chi$$H_{Moon} = +0.25$$d_{OS} = d_{BS} = 1$$d_{BO} = 0.00257$

$$m_{Moon} = 0.25 + 2.5 \log_{10}{\left(\frac{0.00257^2}{p(\chi)}\right)}$$

Quindi ora abbiamo una formula che approssima la magnitudine apparente della Luna ad ogni dato angolo di fase. Tuttavia, anche se ciò fornisce un'approssimazione ravvicinata, non è preciso al 100%. Gli astronomi usano relazioni derivate empiricamente per prevedere le magnitudini apparenti quando è richiesta precisione.

Ecco un breve script che ho scritto per calcolare la grandezza apparente, dato qualsiasi angolo di fase: https://jsfiddle.net/fNPvf/33429/

Ecco un approccio pratico: l'algoritmo e le equazioni sono impacchettati come una libreria software.

Installa PyEphem:

http://rhodesmill.org/pyephem/

Eseguirlo:

$ python
Python 2.7.12 (default, Jun 29 2016, 14:05:02) 
[GCC 4.2.1 Compatible Apple LLVM 7.3.0 (clang-703.0.31)] on darwin
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> import ephem
>>> moon = ephem.Moon(ephem.now())
>>> print moon.phase
32.316860199
>>> print(ephem.next_new_moon(ephem.now()))
2016/9/1 09:03:05
>>> print(ephem.next_full_moon(ephem.now()))
2016/9/16 19:05:05
>>> 

'fase' è tra 0 (luna nuova) e 100 (luna piena).

Più dettagli:

http://rhodesmill.org/pyephem/tutorial.html