Ignorando l'espansione dell'universo, l'entropia, le orbite in decomposizione e l'interferenza da parte di corpi che si scontrano o interferiscono in altro modo con le loro orbite , gli otto pianeti noti nel nostro sistema solare si allineeranno mai?

Qual è il "periodo" dei pianeti; quanto spesso si allineano perfettamente? E in base alle loro posizioni attuali, quanto è lontano nel futuro il loro prossimo allineamento teorico?

Questa è una risposta di bassa precisione, ma semplice

Ti permette di calcolare solo la configurazione di allineamento radiale dei pianeti.

Se desideri un'approssimazione, diciamo, approssimi la posizione dei pianeti come lancette in un orologio, potresti elaborare la matematica con qualcosa del genere.

Assumi è l'angolo iniziale per il pianeta al tempo - misurato da una posizione arbitraria ma fissa, e è la lunghezza dell'anno - in giorni - per il pianeta . i t 0 l i$\theta_i$$i$$t_0$$l_i$$i$

Quindi riprende a risolvere questo sistema di equazioni:

$$x \equiv \theta_i \left( \ mod\ l_i\right)$$

Da qui applicheresti semplicemente il teorema del resto cinese .

Trovare la minima x, ti darà l'angolo che il pianeta che in aveva angolo avrebbe viaggiato fino al raggiungimento di una configurazione di allineamento . Supponendo che tu scelga la Terra come il pianeta menzionato, quindi dividi quell'angolo per una rivoluzione completa ( ) e otterrai il numero di anni per raggiungere quella configurazione - dalla configurazione .θ i = 0 360 o t $t_0$$\theta_i = 0$$360^{o}$$t_0$

I diversi in gradi per tutti i pianeti il ​​01 gennaio 2014: puoi usarli come :t $\theta_i$$t_0$

$$\begin{align} Mercury &\quad 285.55 \\Venus &\quad 94.13 \\Earth &\quad 100.46 \\Mars &\quad 155.60 \\Jupiter &\quad 104.92 \\Saturn &\quad 226.71 \\Uranus &\quad 11.93 \\Neptune &\quad 334.90 \end{align}$$

fonte

I diversi in giorni per tutti i pianeti:$l_i$

$$\begin{align} Mercury &\quad 88 \\Venus &\quad 224.7 \\Earth &\quad 365.26 \\Mars &\quad 687 \\Jupiter &\quad 4332.6 \\Saturn &\quad 10759.2 \\Uranus &\quad 30685.4 \\Neptune &\quad 60189 \end{align}$$

Infine, sotto un approssimazione di valori interi e usando questo solutore online per il sistema di equazioni la risposta è che divisa per ti dà approssimativamente 360 o 1.1218 × 10 $x = 4.0384877779832565 \times 10^{26}$$360^{o}$

$$1.1218 \times 10^{24} \quad\text{years}$$

Modifica 1

Ho appena trovato questo sito con cui potresti giocare. È un'applicazione flash interattiva con la posizione accurata dei pianeti.

So anche che tutte le informazioni possono essere ottenute da questa pagina della NASA e che è il più preciso possibile, ma per ora è incomprensibile per me. Proverò a rivederlo più tardi quando troverò il tempo.

Anche questo libro di Jean Meeus intitolato Algoritmi astronomici copre tutte le euqazioni e le formule fondamentali, ma non ha nulla a che fare con gli algoritmi di programmazione.

Modifica 2

Visto che sei un programmatore, potrebbe valere la pena di visitare il sito della NASA che ho menzionato sopra, è possibile accedere ai dati di tutti i pianeti tramite . O questo sito di Sourceforge in cui hanno implementazioni per molte delle equazioni descritte nel libro sopra menzionato.$\tt{telnet}$

La risposta corretta è " mai ", per diversi motivi. In primo luogo , come sottolineato nel commento di Florin, le orbite del pianeta non sono complanari e quindi non possono allinearsi, anche se ogni pianeta potrebbe essere collocato arbitrariamente nel suo piano orbitale. In secondo luogo , anche il puro allineamento radiale non accade mai perché i periodi del pianeta sono incommensurabili - i loro rapporti non sono numeri razionali. Infine , le orbite dei pianeti si evolvono nel tempo di milioni di anni, principalmente a causa della reciproca attrazione gravitazionale. Questa evoluzione è (debolmente) caotica e quindi imprevedibile per tempi molto lunghi.

La risposta sbagliata di harogaston essenzialmente si avvicina ai periodi orbitali con i numeri commensurabili più vicini, producendo un tempo molto lungo (sebbene abbia sbagliato di un fattore di solo ).$10^{16}$

Una domanda molto più interessante (e forse quella a cui eri realmente interessato) è quanto spesso gli 8 pianeti si allineano quasi radialmente . Qui, " quasi " potrebbe semplicemente significare " entro visto dal Sole$10^\circ$ ". In tale occasione, l'attrazione gravitazionale reciproca dei pianeti si allineerà e determinerà quindi cambiamenti orbitali più forti della media.

C'è un modo molto più semplice per farlo.

1) Cercare la lunghezza dell'anno solare nei giorni terrestri

2) moltiplicare la lunghezza degli anni in questo modo: Anno di mercurio * Anno di Venere * Anno della Terra * Anno marziano * Anno gioviano * Anno di Saturno * Anno di Urano * Anno di Nettuno

3) Dividi per 365 anni terrestri.

E hai un tempo in cui si allineeranno di nuovo longitudinalmente (nel senso che gli angoli saranno diversi ma da una vista dall'alto formerebbero una linea). Non si allineerà con una frequenza superiore perché alcuni di questi pianeti hanno un numero decimale di giorni terrestri nel loro anno.

Tecnicamente il vero modo per trovare il periodo tra l'allineamento di tutti e 8 i pianeti è quello di trovare il LCM di tutti e 8 gli anni.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Comprendo che si tratta di una stima approssimativa poiché sono arrotondati al numero intero più vicino, ma danno una buona idea del numero di giorni Prenderei.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. Sono quanti anni.

Qualsiasi stima del periodo comune di più di due pianeti (vale a dire, dopo quanto tempo si allineano di nuovo approssimativamente in longitudine eliocentrica?) Dipende fortemente da quanta deviazione dall'allineamento perfetto è accettabile.

Se il periodo del pianeta è e se la deviazione accettabile nel tempo è (nelle stesse unità di ), allora il periodo combinato di tutti gli pianeti è approssimativamente quindi ridurre la deviazione accettabile di un fattore 10 significa aumentare il periodo comune di un fattore di$i$$P_i$$b$$P_i$$P$$n$

$$P \approx \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$ $10^{n-1}$, che per 8 pianeti è un fattore di 10.000.000. Quindi, non ha senso citare un periodo comune se non si specifica anche quanta deviazione era accettabile. Quando la deviazione accettabile scende a 0 (per ottenere un "allineamento perfetto"), il periodo comune aumenta all'infinito. Ciò corrisponde a diverse dichiarazioni dei commentatori secondo cui non esiste un periodo comune perché i periodi non sono commisurati.

Per i periodi dei pianeti elencati da harogaston, quando i sono misurati in anni giuliani di 365,25 giorni ciascuno, quindi il periodo comune in anni è circa se viene misurata anche in anni. Se i periodi sono approssimati al giorno più vicino, allora anni e anni. Se i periodi sono approssimati al giorno 0,01 più vicino, e anni.$\prod_i P_i \approx 1.35\times10^6$$P_i$

$$P \approx \frac{1.35\times10^6}{b^7}$$ $b$$b \approx 0.00274$$P \approx 1.2\times10^{24}$$b \approx 2.74\times10^{-5}$$P \approx 1.2\times10^{38}$

La derivazione della formula sopra è la seguente:

Approssimare i periodi dei pianeti per multipli di un'unità base : dove è un numero intero. Quindi il periodo comune è al massimo uguale al prodotto di tutto . Tale prodotto è ancora misurato in unità di ; dobbiamo moltiplicare per per tornare alle unità originali. Quindi, il periodo comune è approssimativamente$b$$P_i \approx p_i b$$p_i$$p_i$$b$$b$

$$P \approx b \prod_i p_i \approx b \prod_i \frac{P_i}{b} = b \frac{\prod_i P_i}{b^n} = \frac{\prod_i P_i}{b^{n-1}}$$

La derivazione precedente non tiene conto del fatto che potrebbe avere fattori comuni in modo che l'allineamento avvenga prima di quanto suggerito da . Tuttavia, se due qualsiasi abbiano o meno fattori comuni dipende fortemente dal periodo base scelto , quindi è effettivamente una variabile casuale e non influisce sulla dipendenza globale di su .∏ i p i p i b P $p_i$$\prod_i p_i$$p_i$$b$$P$$b$

Se esprimi la deviazione accettabile in termini di angolo anziché di tempo , mi aspetto che otterrai risposte che dipendono dalla dimensione della deviazione accettabile con la stessa forza della formula sopra.

Vedi http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html per un grafico di in funzione di per tutti i pianeti incluso Plutone.$P$$b$

MODIFICARE:

Ecco una stima con deviazione accettabile in termini di angolo . Vogliamo che tutti i pianeti si trovino entro un raggio di longitudine di larghezza centrato sulla longitudine del primo pianeta; la longitudine del primo pianeta è libera. Partiamo dal presupposto che tutti i pianeti si muovono nella stessa direzione in orbite circolari complanari attorno al Sole.$δ$

Poiché i periodi dei pianeti non sono commisurati, tutte le combinazioni di lunghezze dei pianeti si verificano con la stessa probabilità. La probabilità che in un determinato momento temporale la longitudine del pianeta sia all'interno del segmento di larghezza centrato sulla longitudine del pianeta 1 è uguale a$q_i$$i > 1$$δ$

$$q_i = \frac{δ}{360°}$$

La probabilità che i pianeti da 2 a siano tutti all'interno dello stesso segmento di longitudine centrato sul pianeta 1 è quindi$q$$n$

$$q = \prod_{i=2}^n q_i = \left( \frac{δ}{360°} \right)^{n-1}$$

Per tradurre quella probabilità in un periodo medio, dobbiamo stimare per quanto tempo tutti i pianeti sono allineati (entro ) ogni volta che sono tutti allineati.$δ$

I primi due pianeti a perdere il reciproco allineamento sono i pianeti più veloci e lenti. Se il loro periodo sinodico è , allora saranno in allineamento per un intervallo e quindi fuori allineamento per un po 'di tempo prima di rientrare nuovamente in allineamento. Pertanto, ogni allineamento di tutti i pianeti dura circa un intervallo e tutti questi allineamenti insieme coprono una frazione di tutti i tempi. Se il periodo medio dopo il quale si verifica un altro allineamento di tutti i pianeti è , allora dobbiamo avere , quindi$P_*$

$$A = P_* \frac{δ}{360°}$$ $A$$q$$P$$qP = A$ $$P = \frac{A}{q} = P_* \left( \frac{360°}{δ} \right)^{n-2}$$

Se ci sono solo due pianeti, allora indipendentemente da , che è come previsto.$P = P_*$$δ$

Se ci sono molti pianeti, allora il pianeta più veloce è molto più veloce di quello più lento, quindi è quasi uguale al periodo orbitale del pianeta più veloce.$P_*$

Anche qui, la stima del tempo medio tra allineamenti successivi è molto sensibile al limite di deviazione scelto (se sono coinvolti più di due pianeti), quindi non ha senso citare un periodo così combinato se non si menziona anche cosa la deviazione era consentita.

È anche importante ricordare che (se ci sono più di due pianeti) questi (quasi) allineamenti di tutti loro non si verificano a intervalli regolari.

Ora inseriamo alcuni numeri. Se vuoi che tutti e 8 i pianeti siano allineati entro 1 grado di longitudine, allora il tempo medio tra due di questi allineamenti è approssimativamente uguale alle orbite di del pianeta più veloce. Per il Sistema Solare, Mercurio è il pianeta più veloce, con un periodo di circa 0,241 anni, quindi il tempo medio tra due allineamenti di tutti gli 8 pianeti entro 1 grado di longitudine è di circa anni.$P = 360^6 = 2.2×10^{15}$$5×10^{14}$

Se sei già soddisfatto di un allineamento entro 10 gradi di longitudine, allora il periodo medio tra due di tali allineamenti è approssimativamente uguale a orbite di mercurio, che è di circa 500 milioni di anni.$P = 36^6 = 2.2×10^9$

Qual è il miglior allineamento che possiamo aspettarci nei prossimi 1000 anni? 1000 anni sono circa 4150 orbite di mercurio, quindi , quindi . In un intervallo di 1000 anni scelto a caso, c'è in media un allineamento di tutti e 8 i pianeti all'interno di un segmento di 90 °.$(360°/δ)^6 \approx 4150$$δ \approx 90°$