Determinazione dell'effetto della piccola forza variabile sulla precessione del perielio planetario

Esiste una tecnica analitica per determinare l'effetto di una piccola accelerazione trasversale variabile sulla velocità della precessione degli aspidi (rigorosamente non una precessione ma rotazione della linea degli aspidi) di un pianeta che orbita attorno al Sole su un piano 2D secondo la legge di gravità newtoniana ?

Ho modellato tali effetti in un modello reiterativo di computer e vorrei verificare tali misurazioni.

La formula di accelerazione trasversale è

$A t = (K / c^{2}) * V r * V t * A r .$ $At = (K/c^2)*Vr*Vt * Ar.$

Dove:-

c è la velocità della luce,

K è una costante di magnitudo tra 0 e +/- 3, tale che . $K/(c^2) << 1$

Ar è l'accelerazione del pianeta verso il Sole dovuta all'influenza gravitazionale newtoniana del Sole, ( ). $Ar = GM/r^2$

Vr è una componente radiale della velocità del pianeta rispetto al Sole (+ = movimento lontano dal Sole)

Vt è una componente trasversale della velocità del pianeta rispetto al Sole (+ = direzione del moto del pianeta in avanti lungo il suo percorso orbitale). Vectorially Vt = V - Vr dove V è il vettore di velocità istantanea totale del pianeta rispetto al Sole.

Supponiamo che la massa del pianeta sia piccola rispetto al Sole

Nessun altro corpo è nel sistema

Tutti i movimenti e le accelerazioni sono limitati al piano bidimensionale dell'orbita.

AGGIORNARE

Il motivo per cui questo è interessante per me è che un valore di K = +3 nel mio modello di computer produce valori di velocità di rotazione periapse anomali (non newtoniani) molto vicini entro circa l'1% di quelli previsti dalla relatività generale e entro un po 'del quelli osservati dagli astronomi (Le Verrier, aggiornato da Newcomb).

Formula (Einstein, 1915) per rotazione periapse derivata dal GR (radianti per orbita) da http://en.wikipedia.org/wiki/Apsidal_precession

ω = 24. π^{3} . a^{2} . T^{- 2} . c^{- 2} . (1 - e^{2})^{- 1}

$\boldsymbol{\omega}=24.\pi^3.a^2.T^{-2}.c^{-2}.(1-e^2)^{-1}$

AGGIORNAMENTO 4

Ho accettato la risposta di Walter. Non solo ha risposto alla domanda originale (esiste una tecnica ...?) Ma anche la sua analisi produce una formula che non solo conferma gli effetti simulati al computer della formula di accelerazione trasversale (per K = 3) ma che (inaspettatamente per me) è essenzialmente equivalente alla formula di Einstein del 1915.

dal sommario di Walter (nella risposta di Walter in basso): -

: (dall'analisi della peturbazione del primo ordine) l'asse semi-maggiore e l'eccentricità sono invariati, ma la direzione del periapse ruota nel piano dell'orbita alla velocità dove è la frequenza orbitale e con asse semi-maggiore. Si noti che (per ) questo concorda con il tasso di precessione della relatività generale (GR) nell'ordine (dato da Einstein 1915).

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

gravity eccentric-orbit

— steveOw
fonte

Stai ancora cercando una risposta?

— Walter,

@Walter. Sì, lo sono. Ho fatto una domanda simile su physics.stackexchange.com/questions/123685/… ma non ho ancora ricevuto una risposta solida.

— steveOw

@Walter. Ho anche chiesto a math.stackexchange.com/questions/866836/… .

— steveOw

Sì, esistono metodi analitici approssimativi (teoria delle perturbazioni), validi nel limite di . Forse puoi chiarire un po 'la tua domanda. Qual è la direzione dell'accelerazione trasversale (capisco che "trasversale" significhi perpendicolare alla velocità istantanea, ma non è chiaro se l'accelerazione si trovi sul piano dell'orbita o perpendicolare o una miscela).

K ≪ 1

$K\ll1$

— Walter,

C'è una differenza tra la tua domanda qui e quella sulla matematica (e la fisica): qui l'accelerazione trasversale è proporzionale all'accelerazione radiale e è un numero senza dimensioni, lì l'accelerazione radiale non ha alcun effetto sull'accelerazione trasversale e deve essere un accelerazione (anche se parli di un "numero").

K

$K$

K

$K$

— Walter,

Potresti voler usare la teoria delle perturbazioni . Questo ti dà solo una risposta approssimativa , ma consente un trattamento analitico. La vostra forza è considerata una piccola perturbazione all'orbita ellittica kepleriana e le equazioni del moto risultanti sono espanse in potenze di . Per la teoria della perturbazione lineare, vengono mantenuti solo i termini lineari inQuesto porta semplicemente a integrare la perturbazione lungo l'orbita originale non disturbata. Scrivendo la tua forza come vettore, l'accelerazione perturbante è con la velocità radiale ( ) e $K$ $K$

a = K \frac{G M}{r^{2} c^{2}} v_{r} v_{t}

$\boldsymbol{a} = K \frac{GM}{r^2c^2}v_r\boldsymbol{v}_t$

v_{r} = v \cdot \hat{r}

$v_r=\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}$

v \equiv \dot{r}

$\boldsymbol{v}\equiv\dot{\boldsymbol{r}}$

v_{t} = (v - \hat{r} (v \cdot \hat{r}))

$\boldsymbol{v}_t=(\boldsymbol{v}-\hat{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}))$ la componente rotazionale della velocità ( la velocità completa meno la velocità radiale). Qui, il punto sopra indica una derivata del tempo e un cappello il vettore unitario.

Ora, dipende da cosa intendi con " effetto ". Il lavoro di far uscire i cambiamenti del semiasse maggiore orbitale , l'eccentricità , e la direzione del periapse. $a$ $e$

Per riassumere i risultati seguenti : semiasse maggiore ed eccentricità sono invariati, ma la direzione della ruota periapse nel piano dell'orbita al tasso dove è la frequenza orbitale e con asse semi-maggiore. Si noti che (per ) questo concorda con il tasso di precessione della relatività generale (GR) nell'ordine (dato da Einstein 1915 ma non menzionato nella domanda originale).

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

cambio di semiasse maggiore

Dalla relazione (con l'energia orbitale) abbiamo per il cambiamento di dovuto a un esterno accelerazione (non Kepleriana) Inserimento di (notare che con vettore di momento angolare ), otteniamo Poiché la media dell'orbita per qualsiasi funzione (vedi sotto), . $a=-GM/2E$ $E=\frac{1}{2}\boldsymbol{v}^2-GMr^{-1}$ $a$

\dot{a} = \frac{2 a^{2}}{G M} v \cdot a .

$\dot{a}=\frac{2a^2}{GM}\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}.$

a

$\boldsymbol{a}$

v \cdot v_{t} = h^{2} / r^{2}

$\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{v}_t=h^2/r^2$

h \equiv r \land v

$\boldsymbol{h}\equiv\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}$

\dot{a} = \frac{2 a^{2} K h^{2}}{c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{4}} .

$\dot{a}=\frac{2a^2Kh^2}{c^2}\frac{v_r}{r^4}.$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = 0

$\langle v_r f(r)\rangle=0$

f

$f$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

cambiamento di eccentricità

Da , troviamo Sappiamo già che , quindi dobbiamo solo considerare il primo termine. Pertanto, dove ho usato l'identità e il fatto $\boldsymbol{h}^2=(1-e^2)GMa$

e \dot{e} = - \frac{h \cdot \dot{h}}{G M a} + \frac{h^{2} \dot{a}}{2 G M a^{2}} .

$e\dot{e}=-\frac{\boldsymbol{h}{\cdot}\dot{\boldsymbol{h}}}{GMa}+\frac{h^2\dot{a}}{2GMa^2}.$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

e \dot{e} = - \frac{(r \land v) \cdot (r \land a)}{G M a} = - \frac{r^{2} v \cdot a}{G M a} = - \frac{K h^{2}}{a c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{2}},

$e\dot{e}=-\frac{(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}){\cdot}(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GMa} =-\frac{r^2\;\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}}{GMa} =-\frac{Kh^2}{ac^2}\frac{v_r}{r^2},$

(a \land b) \cdot (c \land d) = a \cdot c b \cdot d - a \cdot d b \cdot c

$(\boldsymbol{a}\wedge\boldsymbol{b}){\cdot}(\boldsymbol{c}\wedge\boldsymbol{d}) =\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{d}- \boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{d}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{c}$

r \cdot a_{p} = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}_p=0$ . Ancora una volta e quindi .

⟨ v_{r} / r^{2} ⟩ = 0

$\langle v_r/r^2\rangle=0$

⟨ \dot{e} ⟩ = 0

$\langle\dot{e}\rangle=0$

cambio di direzione del periapse

Il vettore di eccentricità punti (dal centro di gravità) nella direzione del periapse, ha magnitudine , ed è conservato sotto il movimento Kepleriano (convalidare tutto ciò come un esercizio!). Da questa definizione troviamo il suo cambiamento istantaneo dovuto all'accelerazione esterna $\boldsymbol{e}\equiv\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{h}/GM - \hat{\boldsymbol{r}}$ $e$

\dot{e} = \frac{a \land (r \land v) + v \land (r \land a)}{G M} = \frac{2 (v \cdot a) r - (r \cdot v) a}{G M} = \frac{2 K}{c^{2}} \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{K}{c^{2}} \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r}

$\dot{\boldsymbol{e}}= \frac{\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}) +\boldsymbol{v}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GM} =\frac{2(\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a})\boldsymbol{r} -(\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{v})\boldsymbol{a}}{GM} =\frac{2K}{c^2}\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4} -\frac{K}{c^2}\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}$ dove ho usato l'identità e il fatto . Le medie orbitali di queste espressioni sono considerate nell'appendice seguente. Se finalmente mettiamo tutto insieme, otteniamo con [ corretto di nuovo ] Questa è una rotazione del periapse nel piano dell'orbita con frequenza angolare. In particolare

a \land (b \land c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c

$\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{b}\wedge\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$

r \cdot a = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}=0$

\dot{e} = ω \land e

$\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{e}$

ω = Ω K \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} (1 - e^{2})^{- 1} \hat{h} .

$\boldsymbol{\omega}=\Omega K \frac{v_c^2}{c^2} (1-e^2)^{-1}\, \hat{\boldsymbol{h}}.$

ω = | ω |

$\omega=|\boldsymbol{\omega}|$

⟨ e \dot{e} ⟩ = ⟨ e \cdot \dot{e} ⟩ = 0

$\langle e\dot{e}\rangle=\langle\boldsymbol{e}{\cdot}\dot{\boldsymbol{e}}\rangle=0$ in accordo con la nostra precedente scoperta.

Non dimenticare che, a causa del nostro uso della teoria delle perturbazioni del primo ordine, questi risultati sono strettamente veri solo nel limite . Nella teoria delle perturbazioni di secondo ordine, tuttavia, sia che / possono cambiare. Nei tuoi esperimenti numerici, si dovrebbe trovare che i cambiamenti di orbita-media di e sono zero o scalare più forte di lineare con perturbazione di ampiezza . $K(v_c/c)^2\to0$ $a$ $e$ $a$ $e$ $K$

disclaimer Nessuna garanzia che l'algebra sia corretta. Controllalo!

Appendice: medie orbitali

Le medie di con una funzione abitraria (ma integrabile) possono essere calcolate direttamente per qualsiasi tipo di orbita periodica. Sia l'antiderivativo di , cioè , allora la media dell'orbita è: con il periodo orbitale. $v_rf(r)$ $f(r)$ $F(r)$ $f(r)$ $F'\!=f$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v_{r} (t) f (r (t)) d t = \frac{1}{T} {[F (r (t))]}_{0}^{T} = 0

$\langle v_r f(r)\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T v_r(t)\,f\!\left(r(t)\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{T} \left[F\left(r(t)\right)\right]_0^T = 0$

T

$T$

Per le medie dell'orbita richieste in , dobbiamo scavare un po 'più a fondo. Per un'orbita ellittica kepleriana con il vettore di eccentricità e un vettore perpendicolare a e . Qui, è l'anomalia eccentrica, che è collegata all'anomalia media via tale che $\langle\dot{\boldsymbol{e}}\rangle$

r = a ((\cos η - e) \hat{e} + \sqrt{1 - e^{2}} \sin η \hat{k}) and r = a (1 - e \cos η)

$\boldsymbol{r}=a\left((\cos\eta-e)\hat{\boldsymbol{e}}+\sqrt{1-e^2}\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}\right)\qquad\text{and}\qquad r=a(1-e\cos\eta)$

e

$\boldsymbol{e}$

\hat{k} \equiv \hat{h} \land \hat{e}

$\hat{\boldsymbol{k}}\equiv\hat{\boldsymbol{h}}\wedge\hat{\boldsymbol{e}}$

e

$\boldsymbol{e}$

h

$\boldsymbol{h}$

η

$\eta$

ℓ

$\ell$

ℓ = η - e \sin η,

$\ell=\eta-e\sin\eta,$

d ℓ = (1 - e \cos η) d η

$\mathrm{d}\ell=(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta$ e una media dell'orbita diventa Prendendo la derivata del tempo (nota che la frequenza orbitale) di , troviamo per la velocità orbitale istantanea (non disturbata) dove ho introdotto , la velocità dell'orbita circolare con semiasse maggiore . Da questo, troviamo la velocità radiale

⟨ \cdot ⟩ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot d ℓ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot (1 - e \cos η) d η .

$\langle\cdot\rangle = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;\mathrm{d}\ell = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta.$

\dot{ℓ} = Ω = \sqrt{G M / a^{3}}

$\dot{\ell}=\Omega=\sqrt{GM/a^3}$

r

$\boldsymbol{r}$

v = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} \cos η \hat{k} - \sin η \hat{e}}{1 - e \cos η}

$\boldsymbol{v}=v_c\frac{\sqrt{1-e^2}\cos\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}-\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{1-e\cos\eta}$

v_{c} \equiv Ω a = \sqrt{G M / a}

$v_c\equiv\Omega a=\sqrt{GM/a}$

a

$a$

v_{r} = \hat{r} \cdot v = v_{c} e \sin η (1 - e \cos η)^{- 1}

$v_r=\hat{\boldsymbol{r}}{\cdot}\boldsymbol{v}=v_c e\sin\eta(1-e\cos\eta)^{-1}$ e la velocità di rotazione

v_{t} = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} (\cos η - e) \hat{k} - (1 - e^{2}) \sin η \hat{e}}{(1 - e \cos η)^{2}} .

$\boldsymbol{v}_t = v_c\frac{\sqrt{1-e^2}(\cos\eta-e)\,\hat{\boldsymbol{k}}-(1-e^2)\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{(1-e\cos\eta)^2}.$

Con questi, abbiamo [ corretto di nuovo ] in particolare, i componenti in direzione media a zero. Pertanto [ nuovamente corretto ]

⟨ \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e (1 - e^{2})^{3 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = \frac{Ω v_{c}^{2} e}{2 (1 - e^{2})} \hat{k} ⟨ \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e^{2} (1 - e^{2})^{1 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η (\cos η - e)}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = 0,

$\left\langle \frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}\right\rangle = \Omega v_c^2\,\hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e(1-e^2)^{3/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta =\frac{\Omega v_c^2e}{2(1-e^2)}\hat{\boldsymbol{k}} \\ \left\langle \frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle = \Omega v_c^2\, \hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e^2(1-e^2)^{1/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta(\cos\eta-e)}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta=0,$

\hat{e}

$\hat{\boldsymbol{e}}$

⟨ 2 \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = \frac{Ω v_{c}^{2} e \hat{k}}{(1 - e^{2})}

$\left\langle 2\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}-\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle =\frac{\Omega v_c^2e\,\hat{\boldsymbol{k}}}{(1-e^2)}$

— Walter
fonte

I commenti non sono per una discussione estesa; questa conversazione è stata spostata in chat .

— chiamato2voyage