Da dove viene questa famosa formula della precessione planetaria?

L'equazione seguente (che definirò la formula della precessione planetaria, in breve PPF) apparve notoriamente in una pubblicazione del 1915 di Einstein in cui indicava come si potesse derivare dalla sua teoria della relatività generale (GTR).

$$\epsilon = \frac{24 \, \pi^3a^2}{c^2 T^2(1-e^2)}$$

dove $\epsilon$ è la precessione angolare (anomala, non newtoniana) per orbita, $a$ è l'asse semi-maggiore dell'orbita, $c$ è la velocità della luce, $T$ è il periodo orbitale, $e$ è l'ellitticità dell'orbita.

La formula PPF prevede con precisione la precessione (anomala, non newtoniana) di mercurio e di altri pianeti solari.

La formula era nota negli ambienti scientifici ben prima del 1915. Ad esempio Gerber (1898) la ricava dal suo modello di gravità (ampiamente deriso). Nell'articolo su Internet Gerber's Gravity è scritto che

Divenne un'attività abbastanza popolare nel 1890 per i fisici di proporre vari potenziali gravitazionali basati sulla velocità di propagazione finita al fine di spiegare una parte o tutta la precessione orbitale di Mercurio. Oppenheim pubblicò una revisione di queste proposte nel 1895. Il risultato tipico di tali proposte è un anticipo non newtoniano previsto della perielia orbitale per rivoluzione di ...>

$$k\,\frac {\pi\,m}{L \,c^2} = k \frac{4 \, \pi^3a^2}{c^2 T^2(1-e^2)}.$$

dove $L = a(1 - e^2)$ è il retto semi-latus di un'ellisse, $m$ è una funzione della velocità angolare $\omega$ di un pianeta in orbita: $m = a^3 \omega^2$ con $\omega = 2\pi/T$ e $k$ è una costante che potrebbe derivare dalla teoria.

Chiaramente con $k = 6$ otteniamo la formula PPF indicata sopra.

Vorrei sapere dove $k\pi m/Lc^2$l'espressione viene da. Dall'articolo sembra provenire dal documento di revisione di 28 pagine di Oppenheim, del 1895 che viene scannerizzato qui . Ho passato le scansioni di questo documento ma senza trovare esplicitamente quell'equazione (il documento è in tedesco che conosco molto male, Google Translate aiuta un po 'ma lascia molta ambiguità). È possibile che l'autore anonimo dell'articolo abbia estratto l'espressione da una recensione del documento di Oppenheim o persino degli articoli originali (francese e tedesco), ma non è contattabile. Forse qualcuno qui ha familiarità con questa era di storia astrofisica e può indicarmi la giusta direzione?

Non so dove sia stata pubblicata per la prima volta quella formula, ma Oppenheim almeno fa qualcosa di molto vicino ad essa. Innanzitutto, tieni presente alcuni dei simboli rilevanti in Oppenheim, sebbene siano piuttosto standard: Possiamo vedi che se massaggiamo la notazione, la proporzionalità che stiamo cercando viene dichiarata equivalentemente come:

$$\def\anode{☊}\begin{eqnarray*} k &=& \small\sqrt{G} = \small\text{Gaussian gravitational constant}\\ \anode &=& \small\text{longitude of the ascending node}\\ \omega &=& \small\text{argument of perihelion}\\ \varpi &=& \omega+\anode = \small\text{longitude of perihelion}\\ n &=& \small{k\sqrt{(m_0+m_1)/a^3}} = \small\text{mean motion} \end{eqnarray*}$$ $$\frac{\pi m}{Lc^2} \leadsto \frac{\pi GM}{a(1-e^2)c^2} \leadsto \frac{\pi n^2a^2}{(1-e^2)c^2}\text{.}$$ Poiché il moto medio è , dove è il periodo orbitale, che significa che se vogliamo parlare di un anticipo del perielio di per orbita, equivale a parlare di un termine nella forma Non riesco a trovare dove, se davvero ovunque , Oppenheim considera il fattore mancante di$n\equiv 2\pi/T$$T$ $$\frac{n^3a^2}{c^2} = 2\pi\frac{n^2a^2}{c^2}\frac{1}{T}\text{,}$$ $\delta\varpi \propto \frac{\pi n^2a^2}{(1-e^2)c^2}$ $$\frac{\mathrm{d}\varpi}{\mathrm{d}t} \propto \frac{n^3a^2}{(1-e^2)c^2} = \frac{n^3a^2}{c^2}\left(1+e^2+\mathcal{O}(e^4)\right)\text{.}$$ $(1-e^2)$come appartenente alla anomala precessione, ma per il resto la formula è sicuramente lì. Sospetto che usi solo un'approssimazione dell'orbita circolare, , perché non si trova da nessuna parte nel Sez. IV (teoria di Weber del 1846) ed eseguire il suo calcolo (sans ) mi dà al secolo per Mercurio, in buon accordo con il suo risultato dichiarato di , mentre inserendo un fattore di a mano si ottiene invece .$e^2\approx 0$$1-e^2$$\delta\varpi = 13.72''$$\delta\varpi = 13.65''$$(1-e^2)$$\delta\varpi = 14.32''$

Forse Oppenheim non l'ha considerato esplicitamente e l'autore del ha ritenuto MathPagesovvio che il fattore di eccentricità dovrebbe essere lì. O forse c'è un commento laterale nel testo che non vedo; sfortunatamente, in tedesco non sono abbastanza fluente da capire molto di quello che sta succedendo.