In che modo Keplero "indovinava" la sua terza legge dai dati?

È sorprendente che Keplero abbia determinato le sue tre leggi guardando i dati, senza una calcolatrice e usando solo carta e penna. È concepibile come abbia dimostrato che le sue leggi descrivono i dati dopo averli già congetturati, ma quello che non capisco è come li abbia indovinati in primo luogo.

Mi concentrerò in particolare sulla terza legge di Keplero, secondo la quale il quadrato del periodo orbitale di un pianeta è proporzionale al cubo dell'asse semi-maggiore dell'orbita.

Presumo che Keplero stesse lavorando con dati relativi solo ai pianeti, oltre alla nostra luna e al sole. Assumo questo perché non credo che Keplero avesse dati su altre lune, comete o asteroidi, che non erano ancora stati osservati dal telescopio. Se questo è vero, sapendo che Nettuno, Urano e Plutone non erano ancora stati scoperti quando Keplero era in vita, ciò significa che Keplero aveva meno di 9 punti dati con cui lavorare.

Il mio amico afferma che è assolutamente comprensibile come Keplero abbia indovinato questa relazione (anche se non fornisce alcun metodo su come Keplero avrebbe potuto farlo), e anche che le osservazioni di Keplero "non sono così difficili". Come sfida, ho dato al mio amico una tabella di dati con una colonna etichettata , l'altra e 9 coordinate che si adattano alla relazione . Ho detto "si prega di trovare il rapporto tra e ", e, come ci si potrebbe aspettare non è riuscito a farlo.y ( x , y ) x 4 = y 3 x $x$$y$$(x,y)$$x^4=y^3$$x$$y$

Per favore, spiegami come ha fatto Keplero a indovinare questa relazione lavorando con così pochi punti dati. E se la mia ipotesi che il numero di punti dati che Kepler avesse a sua disposizione fosse piccola, è sbagliato, allora continuo a pensare che sia abbastanza difficile indovinare questa relazione senza una calcolatrice.

La terza legge di Keplero è banale (secondo me) rispetto alla sua prima legge. Sono abbastanza impressionato dal fatto che sia stato in grado di dedurre che le orbite erano ellissi. Per ottenere ciò, ha dovuto andare avanti e indietro per tracciare la direzione di Marte dalla Terra e la direzione della Terra da Marte. Conosceva la durata degli anni di entrambi i pianeti, quindi le osservazioni distanti un anno da Marte sarebbero diverse solo perché la Terra si era mossa.

Ma forse non è così banale. Ha pubblicato le sue prime due leggi nel 1609. La terza legge non è arrivata fino a dieci anni dopo, nel 1619. Con dieci anni di lavoro su di essa, alla fine si troveranno anche le relazioni più oscure.

Per scoprire una relazione del rapporto di poteri, traccia i logaritmi dei numeri. Nel tuo esempio con , i registri verrebbero tracciati su una linea retta con una pendenza di . 3 /$x^4 = y^3$$3/4$

Il tempismo è giusto. Napier pubblicò il suo libro sui logaritmi nel 1614. Keplero potrebbe aver applicato per capriccio questo brillante nuovo strumento matematico ai suoi vecchi dati croccanti.

Il principale ostacolo era che all'epoca c'erano solo sei pianeti conosciuti, quindi non aveva un'abbondanza di punti dati e quelli che aveva non erano affatto precisi.

L'altro problema di Keplero è che nessuna delle sue leggi aveva alcun senso per lui. Si adattano ai dati, ma non aveva idea del perché. Non aveva le leggi del moto di Newton su cui lavorare, non aveva comprensione della forza, del momento, del momento angolare e certamente non della gravità. Per quanto ne sapeva, i pianeti si muovevano come loro perché Dio l'aveva decretato e gli angeli avevano il compito di spingere i pianeti lungo le loro orbite. I pianeti esterni si muovevano più lentamente perché venivano spinti da angeli minori.

(Feynman fa il commento che ora capiamo molto di più. Ora sappiamo che gli angeli sono all'esterno spingendo verso il Sole.)

Il racconto di Keplero su come è nata la terza legge è il seguente (Caspar p.286; enfasi sulla mia):

L'8 marzo di quest'anno, nel 1618, se si desideravano informazioni precise sull'ora, apparvero nella mia testa. Ma sono stato sfortunato quando l'ho inserito nel calcolo e l'ho rifiutato come falso. Alla fine, il 15 maggio, venne di nuovo e con un nuovo inizio conquistò l'oscurità della mia mente, dove seguì un accordo così eccellente tra i miei diciassette anni di lavoro alle osservazioni ticoniche e la mia attuale deliberazione che all'inizio credetti di aver ha sognato e assume la ricerca richiesta nelle prove a sostegno. Ma è del tutto certo ed esatto che la proporzione tra i tempi periodici di due pianeti sia precisamente una volta e mezza la proporzione delle distanze medie .

Sebbene Keplero non descriva effettivamente l'ispirazione che lo ha portato a crederci, il curioso fraseggio fornisce un indizio molto forte se combinato con alcune informazioni biografiche di base:

1. John Napier pubblicò Mirifici Logarithmorum Canonis Descripto nel 1614, che conteneva la nuova invenzione dei logaritmi. Keplero era a conoscenza del lavoro di Napier nel 1617 (Caspar p. 308), forse prima.
2. Joost Bürgi pubblicò lavori sui logaritmi quasi contemporaneamente a Napier, e Keplero era altrettanto consapevole di Bürgi, lodando persino le sue abilità matematiche come sorpassando la maggior parte dei professori di matematica.

Pertanto, l'affermazione di Keplero equivale a dire che i dati fanno una pendenza di 1,5 su un grafico log-log, che è una relazione lineare molto semplice su questa scala.

Riferimenti:

1. Caspar, Max, Kepler , (Dover, New York, 1993).