Conoscendo semplicemente il numero di denti di una corona possiamo determinare un diametro preciso?

Una corona è un poligono regolare n-side dove n è il numero di denti. La lunghezza laterale s del poligono è la distanza da punta a punta di ciascun dente della corona.

La formula per il raggio di un poligono regolare è:

_{(fonte: mathopenref.com )}

Usando i 12,75 mm di zenbike sopra per s , otteniamo 107,61 per il raggio o 215,22 mm per il diametro, che è molto vicino alla sua approssimazione.

Il confronto tra le due formule mostra che il termine, come previsto, può essere eliminato. Questo ci lascia con:

1 / sin ( pi / n ) vs. n / pi

Per n grande , quei termini convergono, introducendo un errore di soli .12mm quando n = 53. È un po 'più grande quando n diventa più piccolo, differendo di .64mm per n = 11.

Per tutti gli scopi pratici, userei solo s * n / pi , anche per il più piccolo ingranaggio che incontrerai sarà entro un millimetro.

Se conosci solo il passo della catena (standard per la maggior parte delle biciclette) e il numero di denti, puoi descrivere completamente il cerchio (e n-gon) solo attraverso i centri dei pin . Farò del mio meglio per fare le formule matematiche in modo leggibile con il testo, ma descriverò completamente ciascuno dei quattro cerchi / n-gon:

Permettere:

n = numero di denti

L = passo della catena (lunghezza del collegamento) (12,7 mm per la maggior parte delle biciclette)

Vedi sotto per le misurazioni della valle, del rullo e del dente. Si noti che le parti superiori dei denti può variare fra i fornitori e si variano per tutta la durata del ring. Il metodo alternativo in basso è probabilmente il metodo più semplice da utilizzare per il gioco del telaio.

Dato che conosci il passo della catena (1/2 "o 12.7mm è una catena della serie 40 tipicamente usata su una bicicletta), i perni di catena formeranno un normale n-gon (un poligono con n-lati di uguale lunghezza) , con ciascun lato uguale a 12,7 mm. La formula per il perimetro di questo n-gon è piuttosto semplice (sotto) e andrebbe bene per la maggior parte delle approssimazioni. Si noti che questo è anche uguale alla lunghezza della catena che verrebbe avvolta attorno al anello (la catena seguirà l'n-gon, non il cerchio).

Perimetro di n-gon realizzato da centri di perno

Perimetro di n-gon = L * n = 12,7 * n mm

Tuttavia, ciò non è del tutto esatto per descrivere il cerchio attraverso i centri dei pin. Le formule più accurate sono di seguito:

Cerchia attraverso i centri dei perni

circonferenza = pi * L / (sin (180 / n)) = 39.8982 / (sin (180 / n)) mm

raggio = L / (2 sin (180 / n)) = 6.35 / sin (180 / n) mm = 'pcRad' (raggio centro perno)

diametro = L / sin (180 / n) = 12.7 / sin (180 / n) mm = 'pcD' (diametro centrale del perno)

Ora avremo bisogno di ulteriori informazioni per descrivere i due cerchi / n-gon correlati:

Per i fondovalle e le parti superiori dei rulli, è necessario conoscere il raggio o il diametro del rullo catena attorno al perno. Secondo http://en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain , una catena serie 40 ha un diametro del rullo di 0,312 "(7,92 mm). Poiché la distanza dal centro del perno al fondo della valle è il raggio di il rullo:

Cerchio / n-gon sui fondovalle

rRad = raggio del rullo (3,96 mm per la maggior parte delle biciclette)

Perimetro di n-gon dei fondovalle = 2 * n * (pcRad - rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad - 3.96) * sin (180 / n) mm

floorRadius = pcRad - rRad = pcRad - 3,96 mm

floorDiameter = 2 * fRad = pcD - 2 * rRad = pcD - 7,92 mm

Cerchio / n-gon delle parti superiori dei rulli della catena

Perimetro di n-gon di tapparelle = 2 * n * (pcRad + rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad + 3.96) * sin (180 / n) mm

rollerTopRadius = pcRad + rRad = pcRad + 3.96 mm

rollerTopDiameter = 2 * rtRad = pcD + 2 * rRad = pcD + 7.92 mm

rollerTopCircumference = pi * rtD = pi * (pcD + 2 * rRad) = pi * (pcD + 7.92) mm

Ora, per descrivere il cerchio finale / n-gon, abbiamo bisogno dell'altezza del dente sopra i centri del perno. Mi aspetto che questo sia positivo su un nuovo anello della catena e negativo su uno consumato:

Cerchio / n-gon delle punte dei denti

t = altezza della punta del dente sopra i centri del perno (negativo se sotto)

Perimetro di n-gon delle punte dei denti = 2 * n * (pcRad + t) * sin (180 / n)

tipRadius = pcRad + t

tipDiameter = 2 * tRad = pcD + 2 * t

tipCircumference = pi * tD = pi * (pcD + 2 * t)

In alternativa, per rendere questo calcolo un po 'più semplice (ma leggermente meno preciso su un anello a catena usurato), puoi misurare la tua spaziatura individuale dei denti. Idealmente sarebbero leggermente più lunghi del passo della catena, ma questo cambierà quando la catena si consuma:

Cerchio / n-gon delle punte dei denti - Alternativo

tSpacing = distanza media tra le punte dei denti

Perimetro di n-gon delle punte dei denti = n * t Spaziatura

tipRadius = tSpacing / (2 sin (180 / n))

tipDiameter = 2 * tRad = tSpacing / sin (180 / n)

tipCircumference = pi * tD = pi * tSpacing / (sin (180 / n))

MODIFICARE:

Ho pubblicato questa domanda su math.se e ho ottenuto una risposta interessante , che sostanzialmente conferma la risposta di Lantius come modello matematico più accurato, e la mia come approssimazione pratica per il mondo delle biciclette.

Con solo il numero di denti, no.

Ma dato il numero di denti e la spaziatura richiesta da punta a punta di ogni dente per abbinare la catena per la marca dell'anello della catena utilizzata, è possibile determinare facilmente la circonferenza.

Con la circonferenza, è semplice la matematica per determinare il diametro.

Dividi il diametro per Pi (3.14159 al 5 decimale)

C = D / 3.14159

Quindi, se il numero di denti è 53 e la distanza è 12,75 mm, abbiamo una circonferenza di 675,75 millimetri.

675,75 millimetri divisi per 3.14159 danno un diametro di 215,1 millimetri. Convertito e arrotondato in 2 posizioni, è 8,46 pollici.

Ho misurato il diametro di un anello per catena Shimano a 53 denti, ed è di 8,51 pollici. Quindi credo che la mia matematica dovrebbe essere accurata come le tolleranze nelle mie misurazioni.