Quante posizioni ci sono? (scacchi / scacco matto)

Sono interessato a questo tipo di posizione:

Ci sono solo 4 pezzi sulla scacchiera. Se i bianchi vanno per primi, possono dare scacco matto in una mossa. Se i neri vanno per primi, possono dare scacco matto in una mossa. Per esempio:

La domanda è: quante posizioni ci sono?

Trovo 3 posizioni principali:

Ognuno di loro ci dà altre 6 posizioni. Possiamo spostare la posizione iniziale della Regina nera su altri 6 quadrati. Quindi abbiamo 21 posizioni di base.

Ci sono altre posizioni di base?

Per ogni posizione di base possiamo:

1) cambia colore x2

2) ruotare la scheda x4

3) posizione specchio x2

Quindi una posizione di base genera 2x4x2 = 16 posizioni. E la risposta finale è: ci sono 16x21 = 336 di tali posizioni.

È giusto?

La tua seconda posizione di base consente altre 4 varianti oltre a quelle già fornite, indicate dal seguente diagramma:

Ciò porta il conteggio per "posizioni di base" a 25. Se quell'aggiunta renda esaustiva la lista o no non sono del tutto sicuro (anche se penso che lo faccia).

In ogni caso, qualunque sia il numero di posizioni di base, la tua estrapolazione del numero totale di posizioni da lì (x2 per l'interruttore colore e x8 per le trasformazioni della scacchiera) è corretta poiché il gruppo di simmetria della scacchiera ha effettivamente un ordine 8 , come confermato a p.334 di questo capitolo dal Manuale di Programmazione dei vincoli , ad esempio. (Bisogna però fare attenzione a non contare troppo qui; vedi sotto.) Quindi al momento ipotizzerei che la risposta sia 25 x 16 = 400.

Sto aggiungendo questa digressione matematica perché vedo dal tuo profilo che sei interessato a proseguire un ulteriore studio di matematica. Potrei non dire nulla qui di cui non sei già a conoscenza, ma qui va comunque.

Nota che ci sono alcune posizioni degli scacchi che risulteranno identiche in diverse simmetrie della scacchiera. Ad esempio, considera l'atto di riflettere attraverso la diagonale a1-h8. Quella simmetria del consiglio cambierà generalmente una data posizione, ad es

diventa

Ma ovviamente alcune posizioni (ovvero quelle che hanno solo pezzi sulla diagonale a1-h8) non cambiano in quella simmetria, ad esempio la posizione

rimane invariato quando riflettiamo su quella diagonale.

A causa di questo tipo di comportamento, generalmente si deve fare attenzione a non esagerare in questo tipo di problema di conteggio. Per il tuo problema, ciò significa essere sicuri che nessuna delle tue posizioni di base si ripete in nessuna delle simmetrie (non identità), in modo che la nostra "x 16" quando si ottiene il numero totale di posizioni dal numero di posizioni di base non sia sovrastima. Nella fattispecie, le tue posizioni di base sono abbastanza complicate / asimmetriche che è intuitivamente chiaro che nessuna di esse verrà ripetuta sotto queste simmetrie, quindi non c'è nulla di cui preoccuparsi, ma in matematica è spesso quando le cose sono "intuitivamente chiare" che bisogna essere più preoccupato per gli errori. (In effetti, si dice che se si desidera trovare errori in una prova matematica, iniziare da qualsiasi parte che dice "È chiaro che ...")