Checkmate KBN vs K su schede non standard

So vincere il finale con il vescovo e il cavaliere, ma è un processo scivoloso e sembra essere appena una vittoria, con il re nemico che sta quasi per fuggire. Per questo motivo, sono curioso del gioco finale su altre dimensioni della scheda e se sarà ancora possibile nel caso generale di una scheda MxN. Per esempio:

• C'è una vittoria forzata su una tavola 10x10?
• C'è una vittoria forzata su una tavola 7x7, con un vescovo di colore "sbagliato"? (cioè un vescovo che non può attaccare le caselle d'angolo)

Supponiamo che la regola delle 50 mosse non si applichi.

In realtà, il vescovo e il compagno cavaliere non sono così scivolosi come sembra. Ho controllato questo su un programma tablebase che ho scritto. Su una tavola 10x10, il lato con il vescovo e il cavaliere (diciamo bianco) può forzare il compagno al massimo in 47 mosse. Il bianco può persino forzare l'accoppiamento su una tavola 16x16, al massimo in 93 mosse. Credo che il compagno possa essere costretto su una tavola di dimensioni pari arbitrariamente grandi.

Innanzitutto, su una tavola di dimensioni dispari, ho confermato che il bianco non può forzare il compagno se il vescovo ha il colore sbagliato. Il compagno può essere forzato solo in un buon angolo (uno che il vescovo controlla), quindi se non ci sono buoni angoli, il compagno non può essere forzato.

Sulla scheda 10x10, il seguente è un compagno ottimale in 47. La posizione di partenza è W: Ka1, Nb1, Bc1; B: Kc2. 1.Bb2 Kb3 2.Ba3 Kc2 3.Ka2 Kd3 4.Kb3 Ke4 5.Kc4 Ke5 6.Bg9 Kf4 7.Kd5 Kf5 8.Be7 Kf4 9.Ke6 Kg4 10.Ke5 Kf3 11.Kf5 Kg2 12.Kg4 Kf2 13. Kf4 Kg2 14.Nd2 Kh1 15.Kg3 Ki2 16.Nf3 Ki1 17.Kh3 Kh1 18.Bf6 Ki1 19.Nh2 Kh1 20.Bj2 Kg1 21.Ng4 Kf1 22.Kg3 Ke2 23.Nf2 Kd2 24.Bf6 Ke3 25.Bg7 Kd2 26.Kf4 Kc2 27.Ke4 Kd2 28.Bd4 Ke1 29.Nh1 Kf1 30.Kf3 Ke1 31.Be3 Kd1 32.Ke4 Kc2 33.Kd4 Kd1 34.Kd3 Ke1 35.Ng3 Kd1 36.Bc5 Ke1 37.Bd4 Kd1 38. Bc3 Kc1 39.Nf5 Kd1 40.Ne3 Kc1 41.Kc4 Kb1 42.Kb3 Kc1 43.Be1 Kb1 44.Bd2 Ka1 45.Nc2 + Kb1 46.Na3 + Ka1 47.Bc3 #

Dopo 23. Nf2, abbiamo una posizione proprio come quella mostrata nella risposta di Andrew (ma sottosopra: W: Kg3, Bj2, Nf2; B: Ke2). Se creiamo questa scheda 8x8 rimuovendo le colonne a e b (e le righe 9 e 10), sarebbe accoppiato in 14, ma qui è accoppiato in 25. Nella riga ottimale sopra, il re nero non cerca mai di scappare verso l'angolo a10. Diciamo che lo fa, con 23. ... Kd2 24. Bf6 Kc2 . Questa mossa accorcia il compagno di una mossa, con la continuazione 25.Kf3 Kb3 26.Ke4 Ka4 27.Kd5 Kb5 28.Bd4 Ka4 29.Kc4 Ka5 30.Kc5 Ka6 31.Kc6 .

Il re nero può scappare solo fino a a6, e alla fine è ancora intrappolato nel buon angolo a1. Il resto di questa continuazione è 31. ... Ka5 32.Nd3 Ka4 33.Kc5 Ka5 34.Nb4 Ka4 35.Kc4 Ka5 36.Be3 Ka4 37.Bb6 Ka3 38.Nd3 Ka4 39.Nb2 Ka3 40.Kc3 Ka2 41. Kc2 Ka3 42.Ba5 Ka2 43.Bb4 Ka1 44.Nd3 + Ka2 45.Nc1 + Ka1 46.Bc3 #

Ecco il numero di mosse per forzare l'accoppiamento su ogni tavola di dimensioni pari da 4 a 16. 4: 15; 6: 22; 8: 33; 10: 47; 12: 64; 14: 78; 16: 93. Notare che su una tavola di qualsiasi dimensione ci sono alcune posizioni che vengono disegnate perché il nero può vincere immediatamente un pezzo.

Quello che segue è un compagno ottimale in 92 su una scheda 16x16. La posizione di partenza è di nuovo W: Ka1, Nb1, Bc1; B: Kc2.1.Bb2 Kb3 2.Bi9 Ka4 3.Kb2 Kb5 4.Kc3 Kc6 5.Kd4 Kd7 6.Ke5 Ke8 7.Kf6 Kf8 8.Kg6 Kg8 9.Bg11 Kf9 10.Kh7 Ke10 11.Kg8 Kf11 12.Bi9 Ke10 13. Kh9 Kd11 14.Kg10 Ke10 15.Bg11 Kd9 16.Kf9 Kc10 17.Ke10 Kc11 18.Ke11 Kc12 19.Nd2 Kd13 20.Ne4 Ke14 21.Nf6 Kf13 22.Kf11 Ke14 23.Ke12 Kd15 24.Kd13 Ke16 25.Ke14 Kd16 26.Nd7 Kc16 27.Ne9 Kb15 28.Kd15 Kb14 29.Bf10 + Kb15 30.Nd11 Ka16 31.Nc13 Kb16 32.Kd16 Ka15 33.Kc15 Ka16 34.Kc16 Ka15 35.Na12 + Ka16 36.Nb14 Ka15 37.Nd13 Ka14 38. Nc11 Ka13 39.Bc13 Ka14 40.Kc15 Ka13 41.Kc14 Ka14 42.Bd12 Ka13 43.Na10 Ka12 44.Kc13 Kb11 45.Nb12 Ka12 46.Kc12 Ka13 47.Be11 Ka12 48.Bf12 Ka13 49.Bc15 Ka12 50.Nd11 Ka11 51.Bf12 Ka12 52.Nc13 Ka11 53.Kc11 Ka10 54.Nd11 Ka9 55.Nb10 Kb9 56.Kb11 Ka9 57.Kc10 Ka10 58.Bg13 Ka11 59.Be15 Ka10 60.Nd9 Ka9 61.Bh12 Ka10 62.Nc11 + Ka9 63. Kc9 Ka8 64.Nd9 Kb7 65.Nb8 Ka7 66.Kc8 Ka8 67.Bg11 Ka9 68.Be13 + Ka8 69.Nd7 Ka7 70.Bh10 Ka8 71.Nc9 Ka7 72.Kc7 Ka6 73.Kc6 Ka7 74.Bd6 Ka6 75.Bc5 Ka5 76.Ne8 Ka4 77.Kd5 Kb3 78.Kd4 Kc2 79.Bb4 Kb3 80.Kc5 Ka2 81.Kc4 Kb1 82.Kc3 Kc1 83.Nd6 Kd1 84.Kd3 Kc1 85.Nc4 Kd1 86.Ba5 Kc1 87.Bd2 Kb1 88.Kc3 Ka2 89.Kc2 Ka1 90.Kb3 Kb1 91.Na3 + Ka1 92.Bc3 #

È lungo, ma giocarci ha sicuramente aiutato a convincermi che il bianco potesse forzare l'accoppiamento su una tavola arbitrariamente grande. Nella prima fase, il re bianco e il vescovo possono radunare il re nero mentre acquistano tempi per il cavaliere bianco per raggiungerlo. Una volta che il re nero è intrappolato nell'angolo sbagliato (a16 in questo caso), viene mischiato nell'archivio con pochissimo spazio per respirare. Sebbene la procedura sia significativamente più complicata di una manovra W, il bianco sembra avere sempre il controllo completo.

Cominciamo con la domanda 7x7:

C'è una vittoria forzata su una tavola 7x7, con un vescovo di colore "sbagliato"?

Questa sembra essere la più semplice delle due domande a cui rispondere. Innanzitutto, convinciti che questo è l'unico modello di accoppiamento (il re nero potrebbe anche essere sul quadrato scuro immediatamente alla sua sinistra):

Il punto chiave è che non è possibile per il bianco forzare questa posizione. Il re di Black sarebbe stato bloccato nella mossa precedente. In alternativa, se il re del nero viene spostato di un quadrato a sinistra, l'unica mossa legale che il bianco avrebbe potuto giocare sarebbe quella di spostare il vescovo su quella diagonale, consegnando il compagno. Se così fosse, dov'era prima il re dei neri? Sarebbe stato su f2 (due a sinistra, uno in alto). Quindi il nero non è stato costretto a spostarsi in un angolo e avrebbe potuto invece evitare il compagno. Per concludere, non c'è modo di forzare il compagno nell'angolo sbagliato, accorciare il tabellone non cambia questo fatto.

Ora la prima domanda:

C'è una vittoria forzata su una tavola 10x10?

In questo caso, il bianco avrà un angolo corretto, ma supponiamo che il bianco possa forzare il re nero nell'angolo sbagliato. Sulla scheda standard 8x8, il bianco deve rilasciare il re dal lato per alcune mosse nel processo di guida del re verso l'angolo di accoppiamento (vedi Wikipedia per un tutorial completo). Ecco la posizione normale quando il nero fugge dal bordo (temporaneamente):

Il nero di solito gioca ...Kc6e poi dopo che Bd3!il re non ha scampo. Su una scheda 10x10, tuttavia, il nero potrebbe essere ...Kb7seguito da ...Ka7e infine ...Kz6(chiamiamo il primo file a sinistra "z"). Il bianco non ha modo di convincere il re e il cavaliere a impedire al re nero di sfuggire al vincolo. Quindi di nuovo, è una buona cosa che il consiglio sia solo 8x8, altrimenti il ​​vescovo e il cavaliere non avrebbero mai potuto accoppiare il re!

_{Disclaimer: non ho provato nessuna delle mie affermazioni con i tablebase}

Ci sono ovviamente molte vittorie forzate su qualsiasi board in cui M e N sono almeno 8 (inclusi M o N o entrambi infiniti) fintanto che c'è un angolo dello stesso colore della piazza del vescovo.

Se i pezzi sono tutti nella sottoscheda di colore giallo e il re nero non può sfuggire al triangolo d10-j4-j10, la posizione viene vinta anche sulla tavola completa, poiché tali posizioni possono essere (in modo ottimale) vinte su quella sotto- bordo senza lasciare che il re nero sfugga al triangolo. Allo stesso modo per la sotto-scheda verde. Lo stesso vale per una scheda MxN.

Ma le posizioni vinte non sono affatto limitate a tali posizioni. Nella posizione mostrata, ad esempio, il Bianco può accoppiarsi al massimo in 33 mosse contro qualsiasi difesa Nera. Esiste ovviamente una percentuale significativa di posizioni simili.

Non ci sono necessariamente vincite forzate se M e o N sono troppo piccoli. Ad esempio, non ci sono posizioni scacco matto su una scheda 1xN.

Esistono in senso stretto anche un numero relativamente piccolo di vittorie forzate su (sufficientemente grandi, cioè M, N> 2, M + N> 6) che non includono un angolo dello stesso colore del quadrato del vescovo ma includono un angolo del colore opposto. Ciò include la scheda 7x7 con angoli colorati "sbagliati" di cui chiedi. Questo è anche possibile in un angolo "sbagliato" di qualsiasi tavola che include un tale angolo. Ad esempio su una scheda 8x8:

1.Ng6 + Kg8 2.Bd5 #

Non ci sono vittorie su un tabellone che non include angoli, ovvero dove una o entrambe le parti si estendono indefinitamente in entrambe le direzioni.

Ci sono posizioni disegnate su qualsiasi dimensione del tabellone (questo è il caso generale su tabelloni che non hanno angoli dello stesso colore del quadrato del vescovo e su tabelloni dove uno o entrambi di M e N sono troppo piccoli e, credo, su tabelloni dove M e N sono entrambi grandi), un esempio su una scheda 8x8:

1 ... Kf3 ecc.

Le posizioni disegnate sono l'eccezione sulla scheda standard (meno del 10% di tutte le posizioni secondo il GECT Nalimov).

Ma credo che su una tavola 10x10 ci siano anche dei disegni per ripetizione, in cui il re solitario non può forzare la cattura di un pezzo, ma anche il lato con i pezzi non può forzare il compagno. Penso che questo diventi il ​​caso generale di grandi M e N come ovviamente per M e N dispari con il vescovo di colore "sbagliato".

Finché la scacchiera contiene un angolo dello stesso colore della piazza del vescovo e M o N rimane a 8 o meno (ma non è troppo piccolo) il compagno sarà comunque forzato generalmente per grandi valori finiti dell'altro e (in qualche modo irrilevante) in tante posizioni quante non per un valore infinito dell'altro.

Modificare:

Dopo aver letto il post di DanStronger, penso che i miei commenti sui disegni per ripetizione su schede più grandi siano errati. Questi erano basati su un'analisi di 45 anni che ho fatto quando ho imparato a suonare il finale (i cui dettagli sono ora sfocati) ma sono propenso a pensare che l'analisi sia difettosa. In tal caso, la percentuale di pareggi dovrebbe effettivamente diminuire all'aumentare delle dimensioni del tabellone.

Penso che la più grande distinzione che possiamo fare qui sia quante mosse ci vorranno per accoppiare il re. Ci sono molte prove sopra che dimostrano che è possibile accoppiarsi su una tavola quasi infinitamente crescente (supponendo che rimanga un quadrato non rettangolare (per questo non ne ho idea)) In un torneo c'è una regola di 50 mosse per evitare inutilmente lunghi Giochi. È possibile accoppiarsi con questo scenario su una tavola 8x8 entro i confini di 50 mosse ma con poco spazio per l'errore. Più grande è il tabellone, più spazio è necessario per allineare il re nell'angolo, il che si traduce in oltre 90 compagni di movimento.

Riassumendo, fintanto che la tavola è quadrata (Lunghezza = Larghezza) è possibile ottenere un accoppiamento KBN vs K. Non posso rispondere se la lavagna è rettangolare, qualcun altro può rispondere che se lo desidera o potresti modificare la tua domanda!