Modifica: questo non funziona perché ho dimenticato i controlli rilevati. Tuttavia, penso che questo progresso sia notevole, quindi lascerò la risposta qui.
La ripetizione è impossibile.
Innanzitutto, ovviamente non possono esserci mosse di pedone, arroccamenti o catture.
Successivamente, sostengo che non ci possono essere mosse del re. Per dimostrarlo, nota che una mossa del re può dare un controllo solo se si tratta di un controllo scoperto. Quindi, affinché una mossa del re dia un controllo, i due re devono essere in linea, sia verticale, orizzontale o diagonale. Data la posizione di uno dei re, l'insieme di quadrati su cui può trovarsi l'altro re in modo che possa dare un controllo è l'insieme di quadrati nella stessa linea con il re e non lo stesso quadrato del re o dei quadrati accanto quella piazza. Non ci sono due di questi quadrati adiacenti, quindi il re non può spostarsi da uno di questi quadrati all'altro in una mossa. Nota che i quadrati A e B sono in una linea se e solo se i quadrati B e A sono in una linea, quindi una volta che uno dei re si muove, non sono più in una linea, quindi nessuna ulteriore mossa del re può dare un controllo. Quindi, c'è al massimo una mossa del re nel ciclo,
Pertanto, non ci possono essere controlli del cavaliere, altrimenti il re dovrebbe muoversi o il cavaliere dovrebbe essere catturato.
Pertanto, tutte le mosse sono mosse per pezzi, il che significa che devono bloccare tutti i controlli precedenti.
Per qualsiasi metrica sul set di quadrati della scacchiera, supponiamo che sia vero che, per qualsiasi set di posizioni per i re K1 e K2 e qualsiasi quadrato A che si trova in una linea (verticale, orizzontale o diagonale) con il re, qualsiasi quadrato di blocco B non può aumentare la somma delle distanze dal quadrato a ciascuno dei re (cioè, d (A, K1) + d (A, K2)> = d (B, K1) + d (B, K2 )). Quindi la somma delle distanze per ciascuno dei quadrati dei re deve rimanere costante per tutto il ciclo.
È facile verificare che le seguenti metriche soddisfino quella proprietà: d (A, B) = | row (A) -row (B) | d (A, B) = | colonna (A) -colonna (B) | d (A, B) = | pendenza1diagonale (A) -slope1diagonale (B) | (Con questo intendo numerare le diagonali che sono parallele alla diagonale A1H8 da 1-15) d (A, B) = | pendenza-1diagonale (A) -slope-1diagonale (B) | (Come il precedente, ma parallelo all'altro diagonale)
In effetti, è facile vedere che, per una qualsiasi delle metriche di cui sopra, se il quadrato di blocco non si trova all'interno delle due linee parallele di tali metriche (ad esempio per la prima metrica, all'interno del rettangolo con i lati ricavati dalle righe di ciascuna di i re e le colonne ai lati del tabellone), quindi la somma delle distanze diminuirà con il quadrato di blocco successivo. Quale sarebbe una contraddizione, quindi i quadrati di blocco sono limitati ad essere all'interno di ciascuna delle linee parallele limitanti.
Se i due re si trovano sulla stessa riga, colonna o diagonale, usare l'argomento del paragrafo precedente mostra che tutti i quadrati di blocco devono essere in quella riga, colonna o diagonale, chiaramente impossibili.
Pertanto, se consideriamo le posizioni del re come due vertici opposti di un rettangolo con lati paralleli ai lati del tabellone, usando le prime due metriche, tutti i quadrati di blocco devono trovarsi nel o sul rettangolo di delimitazione. L'uso delle altre due metriche ci consente di ridurlo a un parallelogramma limite.
Nota che gli unici quadrati di blocco possibili sono quelli che sono intersezioni di righe, colonne e diagonali attraverso ciascuno dei quadrati dei re perché devono dare un controllo all'altro re e bloccare un controllo. È facile vedere che ci sono sempre 2 possibili quadrati di blocco nel parallelogramma di delimitazione: gli altri due vertici del parallelogramma. Ma poi, se abbiamo un pezzo di controllo in ciascuno (che è necessario), allora non ci sono quadrati da spostare per dare controllo, contraddizione.