Immagina un fiume dritto e una strada che attraversa il fiume n volte attraverso i ponti. La strada non si snoda su se stessa ed è infinitamente lunga. Questa strada sarebbe considerata un meandro aperto. Un meandro aperto è una curva aperta, che non si interseca e si estende all'infinito su entrambe le estremità, che si interseca una linea n volte.

Un meandro valido può essere descritto interamente dall'ordine dei punti di intersezione che visita.

Il numero di modelli distinti di intersezione con n intersezioni che un meandro può essere è l' ennesimo numero medio . Ad esempio, n = 4:

I primi numeri di questa sequenza sono:

1, 1, 1, 2, 3, 8, 14, 42, 81, 262, 538, 1828, 3926, 13820, 30694, 110954...

Questa è la sequenza OEIS A005316 .

Sfida

Scrivi un programma / funzione che accetta un intero positivo n come input e stampa l' ennesimo numero medio .

specificazioni

• Si applicano le regole I / O standard .
• Sono vietate le scappatoie standard .
• La tua soluzione può essere 0 indicizzata o 1 indicizzata ma specifica quale.
• Questa sfida non riguarda la ricerca dell'approccio più breve in tutte le lingue, ma piuttosto la ricerca dell'approccio più breve in ciascuna lingua .
• Il tuo codice verrà assegnato un punteggio in byte , di solito nella codifica UTF-8, se non diversamente specificato.
• Le funzioni integrate che calcolano questa sequenza sono consentite ma è incoraggiata l'inclusione di una soluzione che non si basa su un incorporato.
• Le spiegazioni, anche per le lingue "pratiche", sono incoraggiate .

Casi test

Questi sono indicizzati 0. Nota che non è necessario gestire numeri così grandi se la tua lingua non è in grado di default.

Input      Output

1          1
2          1
11         1828
14         30694
21         73424650
24         1649008456
31         5969806669034

In alcuni formati migliori:

1 2 11 14 21 24 31
1, 2, 11, 14, 21, 24, 31

Python 3 , 208 188 187 184 180 177 171 byte

lambda n:sum(all(i-j&1or(x<a<y)==(x<b<y)for(i,(a,b)),(j,(x,y))in d(enumerate(map(sorted,zip((0,)+p,p+(n,)))),2))for p in d(range(n)))
from itertools import*;d=permutations

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Ora 1-indicizzato (era precedentemente 0-indicizzato ma 1-indicizzazione salvava un byte a causa di una stranezza fortunata riguardo al comportamento dei meandri).

Spiegazione

Questo potrebbe essere lo stesso del link pubblicato da Jenny_mathy , ma non ho finito per leggere il documento, quindi questa è solo la logica alla base del mio metodo.

Userò la seguente illustrazione fornita su OEIS per visualizzare i risultati.

Ogni meandro valido può essere descritto interamente dall'ordine dei punti di intersezione che visita. Questo può essere banalmente osservato nell'immagine; il segmento di immissione è sempre dalla stessa parte (altrimenti il ​​numero sarebbe doppio). Possiamo rappresentare la tendenza di entrambi i segmenti di entrata e di uscita nei rispettivi infiniti semplicemente aggiungendo ad ogni ordine un punto su entrambi i lati - vale a dire, l'ordine (2, 1, 0)diventerebbe (-1, 2, 1, 0, 3).

Con questo in mente, il compito è trovare il numero di ordini, o permutazioni dell'intervallo fino a n, che non si intersecano con se stessi. Le intersezioni sono solo un problema tra coppie di punti per i quali il segmento di collegamento si trova sullo stesso lato. Per ogni coppia di punti consecutivi in ​​una permutazione i cui segmenti condividono un lato, indipendentemente dal fatto che si intersecano, è equivalente al fatto che uno, e solo uno, dei punti di una coppia si trovi tra i due elementi dell'altra coppia. Come tale, possiamo determinare se un ordine è valido se non ci sono coppie con un punto contenuto da un'altra coppia con un segmento sullo stesso lato.

Infine, dopo aver determinato la validità di ciascuna permutazione, l'output della funzione si riduce al numero di permutazioni ritenute valide.

Haskell , 199 byte

1!x=x
-1!(-1:x)=1:x
n!(i:x)=i:(n-i)!x
0#([],[])=1
0#_=0
n#(a,b)=sum$((n-1)#)<$>(-1:a,-1:b):[(a,-i:b)|i:a<-[a]]++[(-j:a,b)|j:b<-[b]]++[(j!a,i!b)|i:a<-[a],j:b<-[b],i+j>=0]
f n=n#([],[-1,1])+n#([1],[1])

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Basato su un'estensione delle idee di Iwan Jensen, Enumerazioni di meandri aerei , 1999 al caso di meandri aperti. Questo passa attraverso n = 1,…, 16 in circa 20 secondi su TIO.

APL (Dyalog Classic) , 127 115 byte

⊃⊃⌽{↓⍉(⊃,/c),∘(+/)⌸(≢¨c←{1↓¨⍳¨⍨0,¨((×2↑¯1⌽⍵)/¯1 1⌽¨⊂⍵),(⊂∊#⍵#),(××/m,≠/m)/⊂1↓¯1↓(⊢-⍵×~)⍵∊m←2↑¯1⌽⍵}¨⊃⍵)/⊃⌽⍵}⍣⎕⌽1,⊂⍳2

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