sfondo

Si può dimostrare che per ogni intero k >= 0, f(k) = tan(atan(0) + atan(1) + atan(2) + ... + atan(k))è un numero razionale.

Obbiettivo

Scrivere un programma o una funzione completi che, se forniti k >= 0, vengono visualizzati f(k)come un'unica frazione ridotta (il numeratore e il denominatore sono coprimi).

Casi test

I primi valori sono

f(0) = (0,1)
f(1) = (1,1)
f(2) = (-3,1)
f(3) = (0,1)
f(4) = (4,1)
f(5) = (-9,19)
f(6) = (105,73)

Regole

• Sono vietate le scappatoie standard .
• L'input e l'output possono essere in qualsiasi formato conveniente. Puoi generare f(k)come stringa numerator/denominator, come una tupla di due numeri interi, una frazione o un oggetto razionale, ecc. Se produci una stringa, dai solo due numeri interi, ovvero output 3/2invece di 1 1/2.
• Questo è code-golf, vince la risposta più breve (in byte).

M , 11 byte

×C÷@+
R0;ç/

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Utilizza la formula OEIS x(n) = (x(n-1)+n)/(1-n*x(n-1))con x(0) = 0.

Mathematica, 28 byte

Fold[+##/(1-##)&,0,Range@#]&

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Un approccio più lungo, ma più interessante (32 byte):

Im@#/Re@#&@Product[1+n I,{n,#}]&

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Python 2 ,76 72 byte

from fractions import*
f=lambda k:Fraction(k and(k+f(k-1))/(1-k*f(k-1)))

Usa l'identità:

tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))

Abbiamo:

f(k) = 0                                    if k = 0
     = (k + f(k - 1)) / (1 - k * f(k - 1))  if k > 0

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Grazie a Luis Mendo, risparmia 4 byte.

APL (Dyalog) , 14 byte

Richiede ⎕FR←1287( 128 bit F loating punto R ePresentation) per piccole ingresso. Prende kcome argomento giusto.

1(∧÷,)3○¯3+.○⍳

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⍳ numeri interi da uno a kzero (zero non è necessario come 0 = arctan 0)

¯3+.○ somma delle tangenti dell'arco

3○ tangente

1(... ) applica la seguente funzione tacita con 1 come argomento di sinistra e quanto sopra come argomento di destra:

 ∧ il minimo comune multiplo (di 1 e l'argomento giusto); dà il numeratore

 ÷ diviso per

 , la concatenazione (di 1 e l'argomento giusto); dà il numeratore e il denominatore

Haskell , 52 byte

Questo utilizza l'espansione della serie OEIS:

import Data.Ratio
f 0=0%1
f n|p<-f$n-1=(p+n)/(1-n*p)

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O una versione senza punti:

(scanl1(\f n->(f+n)/(1-n*f))[0%1..]!!)

JavaScript (ES6), 80 byte

f=n=>n?([a,b]=f(n-1),g=(a,b)=>a?g(b%a,a):b,c=g(d=b*n+a,e=b-n*a),[d/c,e/c]):[0,1]

Restituisce una coppia [numeratore, denominatore]. Spiegazione: Let f(n-1) = a/bthenf(n) = atan(tan(n)+tan(a/b)) = (n+a/b)/(1-n*a/b) = (b*n+a)/(b-n*a) . Resta quindi da ridurre la frazione ai termini più bassi.

Ambiente ES6 online

Pari / GP , 36 byte

n->imag(x=prod(i=0,n,1+i*I))/real(x)

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O la stessa lunghezza:

n->fold((x,y)->(x+y)/(1-x*y),[0..n])

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05AB1E , 33 26 byte

0X)Iƒ©`N*+®`sN*-‚D¿D_i\¤}/

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Spiegazione

0X)                          # initialize stack with [0,1]
   Iƒ                        # for N in range [0 ... input] do:
     ©                       # store a copy of the current pair in the register
      `                      # push the pair separately to the stack
       N*                    # multiply the denominator with N
         +                   # add the numerator
          ®`s                # push the denominator then the numerator to the stack
             N*              # multiply the numerator by N
               -             # subtract it from the denominator
                D¿D          # get 2 copies of the greatest common divisor
                   0Qi  }    # if the gcd equals 0
                      \¤     # replace it with the denominator
                         /   # divide the pair with this number

Ottava , 30 byte

format rat
tan(sum(atan(0:k)))

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Casio-Basic, 35 byte

tExpand(tan(sum(seq(tan⁻¹(n),n,0,k

tan ^-1 deve essere inserito come quello sulla tastiera Trig; o il ^-1 può essere inserito separatamente dalla tastiera abc> Math. Secondo il manuale di fx-CP400, è un singolo carattere a due byte (764).

Funzione, 34 byte per il codice, +1 byte da aggiungere k come argomento.

Spiegazione

seq(tan-1(n),n,0,k) genera tutti i valori per tan-1(n) da 0 a k.

sum li somma tutti insieme, quindi tan esegue la funzione tangente su di essi.

tExpand li trasformerà quindi in un'unica frazione.

Julia 0.6.0 40 byte

k->rationalize(tan(sum(x->atan(x),1:k)))

È una semplice implementazione della domanda. La precisione della razionalizzazione a volte può essere strana ma funziona bene il 99% delle volte.