(-a) × (-a) = a × a


121

Sappiamo tutti che (si spera), ma puoi provarlo?(a)×(a)=a×a

Il tuo compito è dimostrare questo fatto usando gli assiomi dell'anello. Quali sono gli assiomi dell'anello? Gli assiomi dell'anello sono un elenco di regole che devono seguire due operazioni binarie su un set. Le due operazioni sono addizione, e moltiplicazione, . Per questa sfida qui ci sono gli assiomi dell'anello in cui e sono operazioni binarie chiuse su alcuni insiemi , è un'operazione unaria chiusa su , e , , sono membri di :+×+×SSabcS

  1. a+(b+c)=(a+b)+c

  2. a+0=a

  3. a+(a)=0

  4. a+b=b+a *

  5. a×(b×c)=(a×b)×c

  6. a×1=a

  7. 1×a=a

  8. a×(b+c)=(a×b)+(a×c)

  9. (b+c)×a=(b×a)+(c×a)

La tua prova dovrebbe essere una serie di uguaglianze ciascuna delle quali è l'applicazione di un assioma.

È possibile applicare gli assiomi all'intera espressione o a qualche sottoespressione. Ad esempio se abbiamo possiamo applicare Axiom 4 solo al termine , al termine o all'intera espressione nel suo insieme. Le variabili possono anche sostituire espressioni arbitrariamente complesse, ad esempio possiamo applicare l'assioma 4 a per ottenere . In ogni fase della dimostrazione puoi applicare solo un assioma a una espressione. Tutti gli assiomi sono bidirezionali, il che significa che la sostituzione può avvenire in entrambe le direzioni. Cose come le seguenti non sono consentite(a+c)+(b+c)(b+c)(a+c)((a×c)+b)+((a)+1)((a)+1)+((a×c)+b)

(a + b) + (c + d) = (a + (b + c)) + d Ax. 1

Questo dovrebbe essere fatto in due passaggi:

(a + b) + (c + d) = ((a + b) + c) + d Ax. 1
                  = (a + (b + c)) + d Ax. 1

I fatti che normalmente potresti dare per scontati ma che non sono elencati nell'elenco degli assiomi non possono essere ipotizzati , ad esempio è vero ma richiede più passaggi per preformarsi.(a)=(1)×a

L'utente Anthony ha gentilmente fornito un validatore di prove online che può essere utilizzato in sostituzione di TIO.

Esempio di prova

Ecco un esempio della prova che con gli assiomi usati etichettati sulla destra di ogni passaggio.(a)=a

 -(-a) = (-(-a)) + 0          Ax. 2
       = 0 + (-(-a))          Ax. 4
       = (a + (-a)) + (-(-a)) Ax. 3
       = a + ((-a) + (-(-a))) Ax. 1
       = a + 0                Ax. 3
       = a                    Ax. 2

Provalo online!

Ti verrà assegnato il compito di provare usando sostituzione successiva come quella mostrata sopra.(a)×(a)=a×a

punteggio

Questo è quindi le tue risposte verranno classificate in numero di passaggi presi per passare da a , con un punteggio più basso migliore.(a)×(a)a×a

lemmi

Alcune risposte hanno scelto di usare i Lemmi nelle loro prove, quindi descriverò come dovrebbe essere assegnato un punteggio per evitare confusione. Per i non iniziati, i lemmi sono prove di fatti che verranno utilizzati in seguito nella prova. In matematica reale possono essere utili per organizzare i tuoi pensieri o trasmettere informazioni in modo chiaro al lettore. In questa sfida l'uso dei lemmi non dovrebbe avere un effetto diretto sul tuo punteggio. (Sebbene l'organizzazione delle prove possa rendere più facile o difficile il golf)

Se scegli di usare i lemmi, costerà tutti i passaggi necessari per dimostrare quel lemma in primo luogo ogni volta che lo usi. Ad esempio, ecco la suddivisione del punteggio di una prova usando i lemmi.

Lemma:
a × 0 = 0

Proof (7 steps):
a × 0 = (a × 0) + 0                        Ax. 2 (1)
      = (a × 0) + ((a × b) + (-(a × b)))   Ax. 3 (1)
      = ((a × 0) + (a × b)) + (-(a × b))   Ax. 1 (1)
      = (a × (0 + b)) + (-(a × b))         Ax. 8 (1)
      = (a × (b + 0)) + (-(a × b))         Ax. 4 (1)
      = (a × b) + (-(a × b))               Ax. 2 (1)
      = 0                                  Ax. 3 (1)

Theorem:
(a × 0) + (b × 0) = 0

Proof (15 steps):
(a × 0) + (b × 0) = 0 + (b × 0)  Lemma (7)
                  = (b × 0) + 0  Ax. 4 (1)
                  = b × 0        Ax. 2 (1)
                  = 0            Lemma (7)

*: È stato sottolineato che questo assioma non è strettamente necessario per dimostrare questa proprietà, tuttavia è ancora consentito utilizzarlo.

†: poiché non appare nell'uguaglianza desiderata, nessuna prova che utilizza questi assiomi non è minima. Cioè questi assiomi non possono fare a meno di provare il fatto desiderato. Sono stati inclusi solo per completezza.1


8
Un programma che scriviamo dovrebbe risolvere questo problema o semplicemente stampare la risposta?
Tahg,

8
@Tahg Dovresti dimostrarlo e inviare la prova come risposta. Questo è diverso dalla maggior parte (se non da tutti) dei problemi che vedrai qui.
HyperNeutrino,

8
Mi sono avvicinato frustrantemente prima di rendermi conto che a * 0 = 0 non è nell'elenco degli assiomi.
Sparr,

8
Ehm ... potrei sbagliarmi, ma non è così fuori tema? Le risposte non dovrebbero contenere codice?
totalmente umano il

35
@icrieverytim se aiuta, pensa alla lista degli assiomi come un linguaggio di programmazione con nove funzioni integrate di sostituzione dei parametri, e questo è un codice golf per una funzione che trasforma un input specifico in un output specifico.
Sparr,

Risposte:


47

18 passaggi

(-a)*(-a) = ((-a)*(-a))+0                                             Axiom 2
          = ((-a)*(-a))+(((a*a)+(a*(-a)))+(-((a*a)+(a*(-a)))))        Axiom 3
          = (((-a)*(-a))+((a*a)+(a*(-a))))+(-((a*a)+(a*(-a))))        Axiom 1
          = (((a*a)+(a*(-a)))+((-a)*(-a)))+(-((a*a)+(a*(-a))))        Axiom 4
          = ((a*a)+((a*(-a))+((-a)*(-a))))+(-((a*a)+(a*(-a))))        Axiom 1
          = ((a*a)+((a+(-a))*(-a)))+(-((a*a)+(a*(-a))))               Axiom 9
          = ((a*a)+(0*(-a)))+(-((a*a)+(a*(-a))))                      Axiom 3
          = ((a*(a+0))+(0*(-a)))+(-((a*a)+(a*(-a))))                  Axiom 2
          = ((a*(a+(a+(-a))))+(0*(-a)))+(-((a*a)+(a*(-a))))           Axiom 3
          = (((a*a)+(a*(a+(-a))))+(0*(-a)))+(-((a*a)+(a*(-a))))       Axiom 8
          = ((a*a)+((a*(a+(-a)))+(0*(-a))))+(-((a*a)+(a*(-a))))       Axiom 1
          = (a*a)+(((a*(a+(-a)))+(0*(-a)))+(-((a*a)+(a*(-a)))))       Axiom 1
          = (a*a)+((((a*a)+(a*(-a)))+(0*(-a)))+(-((a*a)+(a*(-a)))))   Axiom 8
          = (a*a)+(((a*a)+((a*(-a))+(0*(-a))))+(-((a*a)+(a*(-a)))))   Axiom 1
          = (a*a)+(((a*a)+((a+0)*(-a)))+(-((a*a)+(a*(-a)))))          Axiom 9
          = (a*a)+(((a*a)+(a*(-a)))+(-((a*a)+(a*(-a)))))              Axiom 2
          = (a*a)+0                                                   Axiom 3
          = a*a                                                       Axiom 2

Ho scritto un programma per verificare la mia soluzione. Quindi se trovi un errore in questo, allora anche il mio programma è sbagliato.


@Etoplay Solo per curiosità, hai scritto il tuo programma in Prolog?
Jalil Compaoré,

23
Sarebbe bello se tu potessi includere il tuo programma. Potrebbe sicuramente aiutare a verificare altre soluzioni.
Sriotchilism O'Zaic,

2
Come sei arrivato dalla prima riga alla seconda semplicemente applicando un assioma una volta?
SztupY,

4
@SztupY Assioma 3 si v + (-v) = 0lascia v = ((a*a)+(a*(-a))e si ottiene lì in 1 passo.
MT0,


29

18 passaggi

Diverso dalla soluzione già pubblicata in 18 passaggi.

a*a = a*a + 0                                                 A2
    = a*a + ((a*(-a) + a*(-a)) + (-(a*(-a) + a*(-a))))        A3
    = (a*a + (a*(-a) + a*(-a))) + (-(a*(-a) + a*(-a)))        A1
    = (a*a + a*((-a) + (-a))) + (-(a*(-a) + a*(-a)))          A8
    = a*(a + ((-a) + (-a))) + (-(a*(-a) + a*(-a)))            A8
    = a*((a + (-a)) + (-a)) + (-(a*(-a) + a*(-a)))            A1
    = a*(0 + (-a)) + (-(a*(-a) + a*(-a)))                     A3
    = a*((-a) + 0) + (-(a*(-a) + a*(-a)))                     A4
    = a*(-a) + (-(a*(-a) + a*(-a)))                           A2
    = (a + 0)*(-a) + (-(a*(-a) + a*(-a)))                     A2
    = (a + (a + (-a)))*(-a) + (-(a*(-a) + a*(-a)))            A3
    = ((a + a) + (-a))*(-a) + (-(a*(-a) + a*(-a)))            A1
    = ((-a) + (a + a))*(-a) + (-(a*(-a) + a*(-a)))            A4
    = ((-a)*(-a) + (a + a)*(-a)) + (-(a*(-a) + a*(-a)))       A9
    = ((-a)*(-a) + (a*(-a) + a*(-a))) + (-(a*(-a) + a*(-a)))  A9
    = (-a)*(-a) + ((a*(-a) + a*(-a)) + (-(a*(-a) + a*(-a))))  A1
    = (-a)*(-a) + 0                                           A3
    = (-a)*(-a)                                               A2

Interessante vedere qualcuno farlo all'indietro. Tutti i passaggi sono reversibili, quindi questa è una prova eccellente.
Sriotchilism O'Zaic,

Che capovolga è per lo più accidentale. La dimostrazione è in realtà abbastanza simmetrica: uso due sequenze di passaggi simili per passare da entrambe le estremità al medio termine a*(-a) + stuff.
Emil Jeřábek,


28

29 26 passaggi

Niente Lemmi!

Commenta se vedi qualcosa di sbagliato. (È molto facile fare un errore)

(-a) × (-a) = ((-a) + 0) × (-a)                                                  Ax. 2
            = ((-a) + (a + (-a))) × (-a)                                         Ax. 3
            = ((a + (-a)) + (-a)) × (-a)                                         Ax. 4
            = (a + ((-a) + (-a))) × (-a)                                         Ax. 1
            = (a × (-a)) + (((-a) + (-a)) × (-a))                                Ax. 9
            = (a × ((-a) + 0)) + (((-a) + (-a)) × (-a))                          Ax. 2
            = (a × ((-a) + (a + (-a)))) + (((-a) + (-a)) × (-a))                 Ax. 3
            = (a × ((a + (-a)) + (-a))) + (((-a) + (-a)) × (-a))                 Ax. 4
            = (a × (a + ((-a) + (-a)))) + (((-a) + (-a)) × (-a))                 Ax. 1
            = ((a × a) + (a × ((-a) + (-a)))) + (((-a) + (-a)) × (-a))           Ax. 8
            = (a × a) + ((a × ((-a) + (-a))) + (((-a) + (-a)) × (-a)))           Ax. 1
            = (a × a) + (((a × (-a)) + (a × (-a))) + (((-a) + (-a)) × (-a)))     Ax. 8
            = (a × a) + (((a + a) × (-a)) + (((-a) + (-a)) × (-a)))              Ax. 9
            = (a × a) + (((a + a) + ((-a) + (-a))) × (-a))                       Ax. 9
            = (a × a) + ((((a + a) + (-a)) + (-a)) × (-a))                       Ax. 1
            = (a × a) + (((a + (a + (-a))) + (-a)) × (-a))                       Ax. 1
            = (a × a) + (((a + 0) + (-a)) × (-a))                                Ax. 3
            = (a × a) + ((a + (-a)) × (-a))                                      Ax. 2
            = (a × a) + (0 × (-a))                                               Ax. 3
            = (a × a) + ((0 × (-a)) + 0)                                         Ax. 2
            = (a × a) + ((0 × (-a)) + ((0 × (-a)) + (-(0 × (-a)))))              Ax. 3
            = (a × a) + (((0 × (-a)) + (0 × (-a))) + (-(0 × (-a))))              Ax. 1
            = (a × a) + (((0 + 0) × (-a)) + (-(0 × (-a))))                       Ax. 9
            = (a × a) + ((0 × (-a)) + (-(0 × (-a))))                             Ax. 2
            = (a × a) + 0                                                        Ax. 3
            = (a × a)                                                            Ax. 2

Il credito va a Maltysen per 0 × (-a) = 0



14

18 passaggi

Non è la prima prova in 18 passaggi, ma è più semplice delle altre.

(-a)*(-a)
= (-a)*(-a) + 0                             [Axiom 2]
= (-a)*(-a) + ((-a)*a + -((-a)*a))          [Axiom 3]
= ((-a)*(-a) + (-a)*a) + -((-a)*a)          [Axiom 1]
= ((-a)*(-a) + ((-a) + 0)*a) + -((-a)*a)    [Axiom 2]
= ((-a)*(-a) + ((-a)*a + 0*a)) + -((-a)*a)  [Axiom 9]
= (((-a)*(-a) + (-a)*a) + 0*a) + -((-a)*a)  [Axiom 1]
= ((-a)*((-a) + a) + 0*a) + -((-a)*a)       [Axiom 8]
= ((-a)*(a + (-a)) + 0*a) + -((-a)*a)       [Axiom 4]
= ((-a)*0 + 0*a) + -((-a)*a)                [Axiom 3]
= (0*a + (-a)*0) + -((-a)*a)                [Axiom 4]
= ((a + (-a))*a + (-a)*0) + -((-a)*a)       [Axiom 3]
= ((a*a + (-a)*a) + (-a)*0) + -((-a)*a)     [Axiom 9]
= (a*a + ((-a)*a + (-a)*0)) + -((-a)*a)     [Axiom 1]
= (a*a + (-a)*(a + 0)) + -((-a)*a)          [Axiom 8]
= (a*a + (-a)*a) + -((-a)*a)                [Axiom 2]
= a*a + ((-a)*a + -((-a)*a))                [Axiom 1]
= a*a + 0                                   [Axiom 3]
= a*a                                       [Axiom 2]

Convalidare


9
A2: (-a) x (-a) = ((-a) + 0) x (-a)
A3:             = ((-a) + (a + (-a))) x (-a)
A9:             = ((-a) x (-a)) + ((a + (-a)) x (-a))
A4:             = ((-a) x (-a)) + (((-a) + a) x (-a))
A9:             = ((-a) x (-a)) + (((-a) x (-a)) + (a x (-a)))
A1:             = (((-a) x (-a)) + ((-a) x (-a))) + (a x (-a))
A2:             = (((-a) x (-a)) + ((-a) x (-a))) + (a x ((-a) + 0))
A3:             = (((-a) x (-a)) + ((-a) x (-a))) + (a x ((-a) + (a + (-a))))
A8:             = (((-a) x (-a)) + ((-a) x (-a))) + ((a x (-a)) + (a x (a + (-a))))
A8:             = (((-a) x (-a)) + ((-a) x (-a))) + ((a x (-a)) + ((a x a) + (a x (-a))))
A4:             = (((-a) x (-a)) + ((-a) x (-a))) + ((a x (-a)) + ((a x (-a)) + (a x a)))
A1:             = (((-a) x (-a)) + ((-a) x (-a))) + (((a x (-a)) + (a x (-a))) + (a x a))
A8:             = ((-a) x ((-a) + (-a))) + (((a x (-a)) + (a x (-a))) + (a x a))
A8:             = ((-a) x ((-a) + (-a))) + ((a x ((-a) + (-a))) + (a x a))
A1:             = (((-a) x ((-a) + (-a))) + (a x ((-a) + (-a)))) + (a x a)
A9:             = (((-a) + a) x ((-a) + (-a))) + (a x a)
A4:             = ((a + (-a)) x ((-a) + (-a))) + (a x a)
Lemma:          = (0 x ((-a) + (-a))) + (a x a)
A3:             = 0 + (a x a)
A4:             = (a x a) + 0
A2:             = (a x a)

Lemma: 0 = 0 x a

A3: 0 = (0 x a) + (-(0 x a))
A2:   = ((0 + 0) x a) + (-(0 x a))
A9:   = ((0 x a) + (0 x a)) + (-(0 x a))
A1:   = (0 x a) + ((0 x a) + (-(0 x a)))
A3:   = (0 x a) + 0
A2:   = (0 x a)

27 26 passaggi Grazie Funky Computer Man per aver notato una linea duplicata.


1
Benvenuti nel sito! Non sono sicuro del motivo per cui crei un lemma solo per usarlo una volta, ma suppongo che non sia contro le regole.
Sriotchilism O'Zaic

@FunkyComputerMan Grazie! Hai ragione; Non sono sicuro di cosa stavo pensando quando ho scritto quel lemma ^^. E grazie per la tua modifica e il tuo commento.
Jalil Compaoré,

1
@ JalilCompaoré Penso che potresti essere in grado di salvarlo per ultimo A3applicando A2il secondo (-a) anziché il primo. Non ne sono sicuro, dato che non ho il tempo di lavorarci su adesso.
H.Piz,

7

6 + 7 + 7 + 6 + 3 = 29 passi

Spero davvero di non aver rovinato nulla, lasciare un commento se pensi di averlo fatto.

Lemma 1. a*0=0 (6 steps)

0 = a*0 + -(a*0)  axiom 3
= a*(0+0) + -(a*0) axiom 2
= (a*0 + a*0) + -(a*0) axiom 8
= a*0 + (a*0 + -(a*0)) axiom 1
= a*0 + 0 axiom 3
= a*0 axiom 2

Lemma 2. a*(-b) = -(a*b) (7 steps)

a*(-b) = a*(-b) + 0 axiom 2
= a*(-b) + (a*b + -(a*b)) axiom 3
= (a*(-b) + a*b) + -(a*b) axiom 1
= a*(-b+b) + -(a*b) axiom 8
= a*0 + -(a*b) axiom 3
= 0 + -(a*b) lemma 1
= -(a*b) axiom 2

Lemma 3. (-a)*b = -(a*b) (7 steps)
    same as above

Lemma 4. -(-(a)) = a (6 steps)

 -(-a) = (-(-a)) + 0    axiom 2
 = 0 + (-(-a))          axiom 4
 = (a + (-a)) + (-(-a)) axiom 3
 = a + ((-a) + (-(-a))) axiom 1
 = a + 0                axiom 3
 = a                    axiom 2

Theorem. -a*-a=0 (3 steps)

-a*-a = -(a*(-a)) lemma 3
= -(-(a*a)) lemma 2
= a*a lemma 4

Q.E.D.

3
Non penso che tu possa fare i lemmi
HyperNeutrino,

11
"Teorema. -A * -a = 0" dovrebbe essere = a * a?
Sparr,

2
@ H.PWiz Non ho problemi con le persone che usano i lemmi, ma costano tanti passaggi quanti sono lunghi ogni volta che vengono usati. Consiglio di non usarli perché possono ostacolare le ottimizzazioni, ma per quanto mi riguarda questo post va bene.
Sriotchilism O'Zaic,

4
andare da "0 + - (a * b)" a "- (a * b)" in una singola applicazione dell'assioma 2 non è corretto. devi usare l'assioma 4 per scambiare prima i lati del +.
Sparr,

2
Il modo in cui lo leggo è che lemma 2/3 sono 6 passaggi più un'istanza di lemma 1 per 12 passaggi, il lemma 4 è 6 passaggi, per un totale di 30 passaggi. Mi sto perdendo qualcosa qui?
Tahg,

6

23 passaggi

(-a) * (-a) = ((-a) * (-a)) + 0                                 ✔ axiom 2
            = ((-a) * (-a)) + (((-a) * a) + -((-a) * a))        ✔ axiom 3
            = (((-a) * (-a)) + (-a) * a) + -((-a) * a)          ✔ axiom 1
            = (-a) * (-a + a) + -((-a) * a)                     ✔ axiom 8
            = (-a) * (a + (-a)) + -((-a) * a)                   ✔ axiom 4
            = ((-a) * 0) + -((-a) * a)                          ✔ axiom 3
            = (((-a) * 0) + 0) + -((-a) * a)                    ✔ axiom 2
            = ((-a) * 0 + ((-a)*0 + -((-a)*0))) + -((-a) * a)   ✔ axiom 3
            = (((-a) * 0 + (-a)*0) + -((-a)*0)) + -((-a) * a)   ✔ axiom 1
            = ((-a) * (0 + 0) + -((-a)*0)) + -((-a) * a)        ✔ axiom 8
            = ((-a) * 0 + -((-a)*0)) + -((-a) * a)              ✔ axiom 2
            = 0 + -((-a) * a)                                   ✔ axiom 3
            = (0* a) + -(0*a) + -((-a) * a)                     ✔ axiom 3
            = ((0+0)* a) + -(0*a) + -((-a) * a)                 ✔ axiom 2
            = ((0 * a ) + (0*a) + -(0*a)) + -((-a) * a)         ✔ axiom 9
            = ((0 * a ) + ((0*a) + -(0*a))) + -((-a) * a)       ✔ axiom 1
            = ((0 * a ) + 0) + -((-a) * a)                      ✔ axiom 3
            = (0 * a ) + -((-a) * a)                            ✔ axiom 2
            = ((a + -a) * a ) + -((-a) * a)                     ✔ axiom 3
            = ((a * a) + (-a) * a) + -((-a) * a)                ✔ axiom 9
            = (a * a) + (((-a) * a) + -((-a) * a))              ✔ axiom 1
            = (a * a) + 0                                       ✔ axiom 3
            = a * a                                             ✔ axiom 2

Provalo online!

Sì hai letto bene, ho scritto un correttore di bozze per questo puzzle (naturalmente c'è la possibilità che il correttore stesso sia sbagliato)


5

34 passaggi

Lemma 1: 0=0*a (8 steps)
    0
A3: a*0 + -(a*0)
A4: -(a*0) + a*0
A2: -(a*0) + a*(0+0)
A8: -(a*0) + (a*0 + a*0)
A1: (-(a*0) + a*0) + a*0
A3: 0 + a*0
A4: a*0 + 0
A2: a*0

Theorem: -a*-a = a*a (49 steps)

    -a * -a
A2: (-a+0) * -a
A2: (-a+0) * (-a+0)
A3: (-a+(a+-a)) * (-a+0)
A3: (-a+(a+-a)) * (-a+(a+-a))
A8: -a*(-a+(a+-a)) + (a+-a)*(-a+(a+-a))
A8: -a*(-a+(a+-a)) + -a*(-a+(a+-a)) + a*(-a+(a+-a))
A3: -a*(-a+0)      + -a*(-a+(a+-a)) + a*(-a+(a+-a))
A3: -a*(-a+0)      + -a*(-a+0)      + a*(-a+(a+-a))
A8: -a*(-a+0)      + -a*(-a+0)      + a*-a + a*(a+-a)
A8: -a*(-a+0)      + -a*(-a+0)      + a*-a + a*a + a*-a
A2: -a*-a          + -a*(-a+0)      + a*-a + a*a + a*-a
A2: -a*-a          + -a*-a          + a*-a + a*a + a*-a
A8: -a*-a          + (-a+a)*-a             + a*a + a*-a
A3: -a*-a          + 0*-a                  + a*a + a*-a
L1: -a*-a          + 0                     + a*a + a*-a
A2: -a*-a                                  + a*a + a*-a
A4: a*a + -a*-a + a*-a
A8: a*a + (-a+a)*-a
A3: a*a + 0*-a
L1: a*a + 0
A2: a*a

1
Sto notando una mancanza di genitori dopo un po '. Poiché l'associazione costa passaggi, penso che renderebbe più semplice verificare la tua prova se includessi le parentesi.
Sriotchilism O'Zaic,

Sto ancora migliorando e aggiornando. Cercherò di includere tutte le parentesi quando avrò finito.
Sparr,

5

25 passaggi

Nota: in base alla domanda, presumo che le regole della logica (inclusa l'uguaglianza) siano implicite e non contino ai fini del conteggio dei passi totali. Cioè, cose come "if x = y, then y = x" e "if ((P AND Q) AND R) then (P AND (Q AND R))" possono essere utilizzate implicitamente.

Lemma Z [6 passi] : 0*a = 0:

0 = (0*a) + (-(0*a))       | Ax. 3
  = ((0+0)*a) + (-(0*a))   | Ax. 2
  = (0*a + 0*a) + (-(0*a)) | Ax. 9
  = 0*a + (0*a + (-(0*a))) | Ax. 1
  = 0*a + (0)              | Ax. 3
  = 0*a                    | Ax. 2

Lemma M [12 passi] :(-a)*b = -(a*b)

(-a)*b = (-a)*b + 0                | Ax. 2
       = (-a)*b + (a*b + (-(a*b))) | Ax. 3
       = ((-a)*b + a*b) + (-(a*b)) | Ax. 5
       = ((-a)+a)*b + (-(a*b))     | Ax. 9
       = 0*b + (-(a*b))            | Ax. 3
       = 0 + (-(a*b))              | Lem. Z [6]
       = -(a*b)                    | Ax. 2

Teorema [25 passi] :(-a)*(-a) = a*a

(-a)*(-a) = (-a)*(-a) + 0                | Ax. 2
          = 0 + (-a)*(-a)                | Ax. 4
          = (a*a + (-(a*a))) + (-a)*(-a) | Ax. 3
          = a*a + ((-(a*a)) + (-a)*(-a)) | Ax. 1
          = a*a + ((-a)*a + (-a)*(-a))   | Lem. M [12]
          = a*a + ((-a)*(a + (-a)))      | Ax. 8
          = a*a + ((-a)*0)               | Ax. 3
          = a*a + 0                      | Lem. Z [6]
          = a*a                          | Ax. 2

Sento che c'è spazio per miglioramenti qui; ad esempio, uso la proprietà commutativa dell'addizione, anche se sembra che non dovrebbe essere necessario, poiché (-a)*(-a) = a*aè vero nelle strutture algebriche in cui l'addizione non è commutativa. D'altra parte, in quelle strutture, l'identità additiva è commutativa, ed è tutto ciò di cui ho bisogno per la prova. Non so. Più in generale, la struttura della dimostrazione sembra piuttosto priva di direzione; Ho semplicemente risolto il problema finché non ha funzionato, quindi scommetto che c'è qualche ottimizzazione da fare.

È stato divertente - grazie per l'interessante e creativa domanda OP! Non ho mai visto sfide come queste prima d'ora; speriamo che il diventi una cosa!


Vedo come l'approccio usato in Lemma Z potrebbe fare una prova equivalente per 0=(-a)*0in 6 passaggi. Tecnicamente merita il suo Lemma, no?
SmileAndNod

4

22 23 passaggi

Nuova risposta, poiché il mio precedente era imperfetto. Vorrei prima aggiungere alcuni commenti generali:

  • Il problema non consente di aggiungere termini su entrambi i lati di un'equazione; piuttosto, possiamo solo modificare una stringa iniziale.
  • La moltiplicazione non è considerata commutativa.
  • Ci viene data un'unità 1 , ma non gioca alcun ruolo nel puzzle perché è coinvolta esclusivamente nelle regole che la definiscono.

Ora per la prova (nota che definisco n = (-a) per semplificare la lettura):

(-a)×(-a) :=
n×n =
n×n + 0 =                                [Ax. 2]
n×n + [n×a + -(n×a)] =                   [Ax. 3]
[n×n + n×a] + -(n×a) =                   [Ax. 1]
[n×(n+a)] + -(n×a) =                     [Ax. 8]
[n×(n+a) + 0] + -(n×a) =                 [Ax. 2]
[n×(n+a) + (n×a + -(n×a))] + -(n×a) =    [Ax. 3]
[(n×(n+a) + n×a) + -(n×a)] + -(n×a) =    [Ax. 1]
[n×((n+a) + a) + -(n×a)] + -(n×a) =      [Ax. 8]
[n×((a+n) + a) + -(n×a)] + -(n×a) =      [Ax. 4]
[n×(0 + a) + -(n×a)] + -(n×a) =          [Ax. 3]
[n×(a + 0) + -(n×a)] + -(n×a) =          [Ax. 4]
[n×a + -(n×a)] + -(n×a) =                [Ax. 2]
[(n+0)×a + -(n×a)] + -(n×a) =            [Ax. 2]
[(0+n)×a + -(n×a)] + -(n×a) =            [Ax. 4]
[((a+n)+n)×a + -(n×a)] + -(n×a) =        [Ax. 3]
[((a+n)×a+n×a) + -(n×a)] + -(n×a) =      [Ax. 9]
[(a+n)×a+(n×a + -(n×a))] + -(n×a) =      [Ax. 1]
[(a+n)×a + 0] + -(n×a) =                 [Ax. 3]
[(a+n)×a] + -(n×a) =                     [Ax. 2]
[a×a+n×a] + -(n×a) =                     [Ax. 9]
a×a+[n×a + -(n×a)] =                     [Ax. 1]
a×a+0 =                                  [Ax. 3]
a×a                                      [Ax. 2]

@ H.PWiz perché non puoi passare da na 0 + nin un solo passaggio? Non è solo A2? Le regole dicono che le variabili possono anche rappresentare espressioni arbitrariamente complesse
jq170727

@ jq170727 Axiom 2 afferma solo che a + 0 = anon è quello 0 + a = a. Avete bisogno di un passo commutativa supplementare per ottenere da na 0 + n.
Sriotchilism O'Zaic,

@ H.PWiz non riesci a leggere l'assioma al contrario?
jq170727,

1
@ jq170727 No, per questo è necessario utilizzare la commutatività.
Jalil Compaoré,

4

304 gradini

Wiki della comunità perché questa dimostrazione è generata dalla funzione FindEquationalProof di Mathematica .

La prova è piuttosto lunga. Mathematica non sa come giocare a golf.

Questo è il codice Mathematica che genera la prova (richiede Mathematica 11.3), dove p, t, nmezzi +, ×, -rispettivamente:

ringAxioms = {ForAll[{a, b, c}, p[a, p[b, c]] == p[p[a, b], c]],
   ForAll[a, p[a, 0] == a],
   ForAll[a, p[a, n[a]] == 0],
   ForAll[{a, b}, p[a, b] == p[b, a]],
   ForAll[{a, b, c}, t[a, t[b, c]] == t[t[a, b], c]],
   ForAll[a, t[a, 1] == a], ForAll[a, t[1, a] == a],
   ForAll[{a, b, c}, t[a, p[b, c]] == p[t[a, b], t[a, c]]],
   ForAll[{a, b, c}, t[p[b, c], a] == p[t[b, a], t[c, a]]]};

proof = FindEquationalProof[t[n[a], n[a]] == t[a, a], ringAxioms];

proof["ProofNotebook"]

Non è facile contare i passi direttamente, quindi lo calcolo dal numero di percorsi dagli assiomi alla conclusione nel "grafico di prova".

graph = proof["ProofGraph"];
score = Sum[
  Length[FindPath[graph, axiom, "Conclusion 1", Infinity, 
    All]], {axiom, 
   Select[VertexList[graph], StringMatchQ["Axiom " ~~ __]]}]

Provalo online!

Questa è la prova generata dal codice:

Axiom 1

We are given that:

x1==p[x1, 0]

Axiom 2

We are given that:

x1==t[x1, 1]

Axiom 3

We are given that:

x1==t[1, x1]

Axiom 4

We are given that:

p[x1, x2]==p[x2, x1]

Axiom 5

We are given that:

p[x1, p[x2, x3]]==p[p[x1, x2], x3]

Axiom 6

We are given that:

p[x1, n[x1]]==0

Axiom 7

We are given that:

p[t[x1, x2], t[x3, x2]]==t[p[x1, x3], x2]

Axiom 8

We are given that:

p[t[x1, x2], t[x1, x3]]==t[x1, p[x2, x3]]

Axiom 9

We are given that:

t[x1, t[x2, x3]]==t[t[x1, x2], x3]

Hypothesis 1

We would like to show that:

t[n[a], n[a]]==t[a, a]

Critical Pair Lemma 1

The following expressions are equivalent:

p[0, x1]==x1

Proof

Note that the input for the rule:

p[x1_, x2_]\[TwoWayRule]p[x2_, x1_]

contains a subpattern of the form:

p[x1_, x2_]

which can be unified with the input for the rule:

p[x1_, 0]->x1

where these rules follow from Axiom 4 and Axiom 1 respectively.

Critical Pair Lemma 2

The following expressions are equivalent:

p[x1, p[n[x1], x2]]==p[0, x2]

Proof

Note that the input for the rule:

p[p[x1_, x2_], x3_]->p[x1, p[x2, x3]]

contains a subpattern of the form:

p[x1_, x2_]

which can be unified with the input for the rule:

p[x1_, n[x1_]]->0

where these rules follow from Axiom 5 and Axiom 6 respectively.

Critical Pair Lemma 3

The following expressions are equivalent:

t[p[1, x1], x2]==p[x2, t[x1, x2]]

Proof

Note that the input for the rule:

p[t[x1_, x2_], t[x3_, x2_]]->t[p[x1, x3], x2]

contains a subpattern of the form:

t[x1_, x2_]

which can be unified with the input for the rule:

t[1, x1_]->x1

where these rules follow from Axiom 7 and Axiom 3 respectively.

Critical Pair Lemma 4

The following expressions are equivalent:

t[x1, p[1, x2]]==p[x1, t[x1, x2]]

Proof

Note that the input for the rule:

p[t[x1_, x2_], t[x1_, x3_]]->t[x1, p[x2, x3]]

contains a subpattern of the form:

t[x1_, x2_]

which can be unified with the input for the rule:

t[x1_, 1]->x1

where these rules follow from Axiom 8 and Axiom 2 respectively.

Critical Pair Lemma 5

The following expressions are equivalent:

t[p[1, x1], 0]==t[x1, 0]

Proof

Note that the input for the rule:

p[x1_, t[x2_, x1_]]->t[p[1, x2], x1]

contains a subpattern of the form:

p[x1_, t[x2_, x1_]]

which can be unified with the input for the rule:

p[0, x1_]->x1

where these rules follow from Critical Pair Lemma 3 and Critical Pair Lemma 1 respectively.

Critical Pair Lemma 6

The following expressions are equivalent:

t[0, 0]==t[1, 0]

Proof

Note that the input for the rule:

t[p[1, x1_], 0]->t[x1, 0]

contains a subpattern of the form:

p[1, x1_]

which can be unified with the input for the rule:

p[x1_, 0]->x1

where these rules follow from Critical Pair Lemma 5 and Axiom 1 respectively.

Substitution Lemma 1

It can be shown that:

t[0, 0]==0

Proof

We start by taking Critical Pair Lemma 6, and apply the substitution:

t[1, x1_]->x1

which follows from Axiom 3.

Critical Pair Lemma 7

The following expressions are equivalent:

t[x1, 0]==t[p[x1, 1], 0]

Proof

Note that the input for the rule:

t[p[1, x1_], 0]->t[x1, 0]

contains a subpattern of the form:

p[1, x1_]

which can be unified with the input for the rule:

p[x1_, x2_]\[TwoWayRule]p[x2_, x1_]

where these rules follow from Critical Pair Lemma 5 and Axiom 4 respectively.

Critical Pair Lemma 8

The following expressions are equivalent:

t[0, p[1, x1]]==t[0, x1]

Proof

Note that the input for the rule:

p[x1_, t[x1_, x2_]]->t[x1, p[1, x2]]

contains a subpattern of the form:

p[x1_, t[x1_, x2_]]

which can be unified with the input for the rule:

p[0, x1_]->x1

where these rules follow from Critical Pair Lemma 4 and Critical Pair Lemma 1 respectively.

Critical Pair Lemma 9

The following expressions are equivalent:

t[p[x1, 1], p[1, 0]]==p[p[x1, 1], t[x1, 0]]

Proof

Note that the input for the rule:

p[x1_, t[x1_, x2_]]->t[x1, p[1, x2]]

contains a subpattern of the form:

t[x1_, x2_]

which can be unified with the input for the rule:

t[p[x1_, 1], 0]->t[x1, 0]

where these rules follow from Critical Pair Lemma 4 and Critical Pair Lemma 7 respectively.

Substitution Lemma 2

It can be shown that:

t[p[x1, 1], 1]==p[p[x1, 1], t[x1, 0]]

Proof

We start by taking Critical Pair Lemma 9, and apply the substitution:

p[x1_, 0]->x1

which follows from Axiom 1.

Substitution Lemma 3

It can be shown that:

p[x1, 1]==p[p[x1, 1], t[x1, 0]]

Proof

We start by taking Substitution Lemma 2, and apply the substitution:

t[x1_, 1]->x1

which follows from Axiom 2.

Substitution Lemma 4

It can be shown that:

p[x1, 1]==p[x1, p[1, t[x1, 0]]]

Proof

We start by taking Substitution Lemma 3, and apply the substitution:

p[p[x1_, x2_], x3_]->p[x1, p[x2, x3]]

which follows from Axiom 5.

Critical Pair Lemma 10

The following expressions are equivalent:

t[0, x1]==t[0, p[x1, 1]]

Proof

Note that the input for the rule:

t[0, p[1, x1_]]->t[0, x1]

contains a subpattern of the form:

p[1, x1_]

which can be unified with the input for the rule:

p[x1_, x2_]\[TwoWayRule]p[x2_, x1_]

where these rules follow from Critical Pair Lemma 8 and Axiom 4 respectively.

Critical Pair Lemma 11

The following expressions are equivalent:

t[p[1, 0], p[x1, 1]]==p[p[x1, 1], t[0, x1]]

Proof

Note that the input for the rule:

p[x1_, t[x2_, x1_]]->t[p[1, x2], x1]

contains a subpattern of the form:

t[x2_, x1_]

which can be unified with the input for the rule:

t[0, p[x1_, 1]]->t[0, x1]

where these rules follow from Critical Pair Lemma 3 and Critical Pair Lemma 10 respectively.

Substitution Lemma 5

It can be shown that:

t[1, p[x1, 1]]==p[p[x1, 1], t[0, x1]]

Proof

We start by taking Critical Pair Lemma 11, and apply the substitution:

p[x1_, 0]->x1

which follows from Axiom 1.

Substitution Lemma 6

It can be shown that:

p[x1, 1]==p[p[x1, 1], t[0, x1]]

Proof

We start by taking Substitution Lemma 5, and apply the substitution:

t[1, x1_]->x1

which follows from Axiom 3.

Substitution Lemma 7

It can be shown that:

p[x1, 1]==p[x1, p[1, t[0, x1]]]

Proof

We start by taking Substitution Lemma 6, and apply the substitution:

p[p[x1_, x2_], x3_]->p[x1, p[x2, x3]]

which follows from Axiom 5.

Substitution Lemma 8

It can be shown that:

p[x1, p[n[x1], x2]]==x2

Proof

We start by taking Critical Pair Lemma 2, and apply the substitution:

p[0, x1_]->x1

which follows from Critical Pair Lemma 1.

Critical Pair Lemma 12

The following expressions are equivalent:

n[n[x1]]==p[x1, 0]

Proof

Note that the input for the rule:

p[x1_, p[n[x1_], x2_]]->x2

contains a subpattern of the form:

p[n[x1_], x2_]

which can be unified with the input for the rule:

p[x1_, n[x1_]]->0

where these rules follow from Substitution Lemma 8 and Axiom 6 respectively.

Substitution Lemma 9

It can be shown that:

n[n[x1]]==x1

Proof

We start by taking Critical Pair Lemma 12, and apply the substitution:

p[x1_, 0]->x1

which follows from Axiom 1.

Critical Pair Lemma 13

The following expressions are equivalent:

x1==p[n[x2], p[x2, x1]]

Proof

Note that the input for the rule:

p[x1_, p[n[x1_], x2_]]->x2

contains a subpattern of the form:

n[x1_]

which can be unified with the input for the rule:

n[n[x1_]]->x1

where these rules follow from Substitution Lemma 8 and Substitution Lemma 9 respectively.

Critical Pair Lemma 14

The following expressions are equivalent:

t[x1, x2]==p[n[x2], t[p[1, x1], x2]]

Proof

Note that the input for the rule:

p[n[x1_], p[x1_, x2_]]->x2

contains a subpattern of the form:

p[x1_, x2_]

which can be unified with the input for the rule:

p[x1_, t[x2_, x1_]]->t[p[1, x2], x1]

where these rules follow from Critical Pair Lemma 13 and Critical Pair Lemma 3 respectively.

Critical Pair Lemma 15

The following expressions are equivalent:

t[x1, x2]==p[n[x1], t[x1, p[1, x2]]]

Proof

Note that the input for the rule:

p[n[x1_], p[x1_, x2_]]->x2

contains a subpattern of the form:

p[x1_, x2_]

which can be unified with the input for the rule:

p[x1_, t[x1_, x2_]]->t[x1, p[1, x2]]

where these rules follow from Critical Pair Lemma 13 and Critical Pair Lemma 4 respectively.

Critical Pair Lemma 16

The following expressions are equivalent:

p[1, t[x1, 0]]==p[n[x1], p[x1, 1]]

Proof

Note that the input for the rule:

p[n[x1_], p[x1_, x2_]]->x2

contains a subpattern of the form:

p[x1_, x2_]

which can be unified with the input for the rule:

p[x1_, p[1, t[x1_, 0]]]->p[x1, 1]

where these rules follow from Critical Pair Lemma 13 and Substitution Lemma 4 respectively.

Substitution Lemma 10

It can be shown that:

p[1, t[x1, 0]]==1

Proof

We start by taking Critical Pair Lemma 16, and apply the substitution:

p[n[x1_], p[x1_, x2_]]->x2

which follows from Critical Pair Lemma 13.

Critical Pair Lemma 17

The following expressions are equivalent:

t[t[x1, 0], 0]==t[1, 0]

Proof

Note that the input for the rule:

t[p[1, x1_], 0]->t[x1, 0]

contains a subpattern of the form:

p[1, x1_]

which can be unified with the input for the rule:

p[1, t[x1_, 0]]->1

where these rules follow from Critical Pair Lemma 5 and Substitution Lemma 10 respectively.

Substitution Lemma 11

It can be shown that:

t[x1, t[0, 0]]==t[1, 0]

Proof

We start by taking Critical Pair Lemma 17, and apply the substitution:

t[t[x1_, x2_], x3_]->t[x1, t[x2, x3]]

which follows from Axiom 9.

Substitution Lemma 12

It can be shown that:

t[x1, 0]==t[1, 0]

Proof

We start by taking Substitution Lemma 11, and apply the substitution:

t[0, 0]->0

which follows from Substitution Lemma 1.

Substitution Lemma 13

It can be shown that:

t[x1, 0]==0

Proof

We start by taking Substitution Lemma 12, and apply the substitution:

t[1, x1_]->x1

which follows from Axiom 3.

Critical Pair Lemma 18

The following expressions are equivalent:

t[x1, t[0, x2]]==t[0, x2]

Proof

Note that the input for the rule:

t[t[x1_, x2_], x3_]->t[x1, t[x2, x3]]

contains a subpattern of the form:

t[x1_, x2_]

which can be unified with the input for the rule:

t[x1_, 0]->0

where these rules follow from Axiom 9 and Substitution Lemma 13 respectively.

Critical Pair Lemma 19

The following expressions are equivalent:

p[1, t[0, x1]]==p[n[x1], p[x1, 1]]

Proof

Note that the input for the rule:

p[n[x1_], p[x1_, x2_]]->x2

contains a subpattern of the form:

p[x1_, x2_]

which can be unified with the input for the rule:

p[x1_, p[1, t[0, x1_]]]->p[x1, 1]

where these rules follow from Critical Pair Lemma 13 and Substitution Lemma 7 respectively.

Substitution Lemma 14

It can be shown that:

p[1, t[0, x1]]==1

Proof

We start by taking Critical Pair Lemma 19, and apply the substitution:

p[n[x1_], p[x1_, x2_]]->x2

which follows from Critical Pair Lemma 13.

Critical Pair Lemma 20

The following expressions are equivalent:

t[0, t[0, x1]]==t[0, 1]

Proof

Note that the input for the rule:

t[0, p[1, x1_]]->t[0, x1]

contains a subpattern of the form:

p[1, x1_]

which can be unified with the input for the rule:

p[1, t[0, x1_]]->1

where these rules follow from Critical Pair Lemma 8 and Substitution Lemma 14 respectively.

Substitution Lemma 15

It can be shown that:

t[0, x1]==t[0, 1]

Proof

We start by taking Critical Pair Lemma 20, and apply the substitution:

t[x1_, t[0, x2_]]->t[0, x2]

which follows from Critical Pair Lemma 18.

Substitution Lemma 16

It can be shown that:

t[0, x1]==0

Proof

We start by taking Substitution Lemma 15, and apply the substitution:

t[x1_, 1]->x1

which follows from Axiom 2.

Critical Pair Lemma 21

The following expressions are equivalent:

t[n[1], x1]==p[n[x1], t[0, x1]]

Proof

Note that the input for the rule:

p[n[x1_], t[p[1, x2_], x1_]]->t[x2, x1]

contains a subpattern of the form:

p[1, x2_]

which can be unified with the input for the rule:

p[x1_, n[x1_]]->0

where these rules follow from Critical Pair Lemma 14 and Axiom 6 respectively.

Substitution Lemma 17

It can be shown that:

t[n[1], x1]==p[n[x1], 0]

Proof

We start by taking Critical Pair Lemma 21, and apply the substitution:

t[0, x1_]->0

which follows from Substitution Lemma 16.

Substitution Lemma 18

It can be shown that:

t[n[1], x1]==n[x1]

Proof

We start by taking Substitution Lemma 17, and apply the substitution:

p[x1_, 0]->x1

which follows from Axiom 1.

Critical Pair Lemma 22

The following expressions are equivalent:

t[n[1], t[x1, x2]]==t[n[x1], x2]

Proof

Note that the input for the rule:

t[t[x1_, x2_], x3_]->t[x1, t[x2, x3]]

contains a subpattern of the form:

t[x1_, x2_]

which can be unified with the input for the rule:

t[n[1], x1_]->n[x1]

where these rules follow from Axiom 9 and Substitution Lemma 18 respectively.

Substitution Lemma 19

It can be shown that:

n[t[x1, x2]]==t[n[x1], x2]

Proof

We start by taking Critical Pair Lemma 22, and apply the substitution:

t[n[1], x1_]->n[x1]

which follows from Substitution Lemma 18.

Critical Pair Lemma 23

The following expressions are equivalent:

t[x1, n[1]]==p[n[x1], t[x1, 0]]

Proof

Note that the input for the rule:

p[n[x1_], t[x1_, p[1, x2_]]]->t[x1, x2]

contains a subpattern of the form:

p[1, x2_]

which can be unified with the input for the rule:

p[x1_, n[x1_]]->0

where these rules follow from Critical Pair Lemma 15 and Axiom 6 respectively.

Substitution Lemma 20

It can be shown that:

t[x1, n[1]]==p[n[x1], 0]

Proof

We start by taking Critical Pair Lemma 23, and apply the substitution:

t[x1_, 0]->0

which follows from Substitution Lemma 13.

Substitution Lemma 21

It can be shown that:

t[x1, n[1]]==n[x1]

Proof

We start by taking Substitution Lemma 20, and apply the substitution:

p[x1_, 0]->x1

which follows from Axiom 1.

Critical Pair Lemma 24

The following expressions are equivalent:

n[t[x1, x2]]==t[x1, t[x2, n[1]]]

Proof

Note that the input for the rule:

t[x1_, n[1]]->n[x1]

contains a subpattern of the form:

t[x1_, n[1]]

which can be unified with the input for the rule:

t[t[x1_, x2_], x3_]->t[x1, t[x2, x3]]

where these rules follow from Substitution Lemma 21 and Axiom 9 respectively.

Substitution Lemma 22

It can be shown that:

t[n[x1], x2]==t[x1, t[x2, n[1]]]

Proof

We start by taking Critical Pair Lemma 24, and apply the substitution:

n[t[x1_, x2_]]->t[n[x1], x2]

which follows from Substitution Lemma 19.

Substitution Lemma 23

It can be shown that:

t[n[x1], x2]==t[x1, n[x2]]

Proof

We start by taking Substitution Lemma 22, and apply the substitution:

t[x1_, n[1]]->n[x1]

which follows from Substitution Lemma 21.

Substitution Lemma 24

It can be shown that:

t[a, n[n[a]]]==t[a, a]

Proof

We start by taking Hypothesis 1, and apply the substitution:

t[n[x1_], x2_]->t[x1, n[x2]]

which follows from Substitution Lemma 23.

Conclusion 1

We obtain the conclusion:

True

Proof

Take Substitution Lemma 24, and apply the substitution:

n[n[x1_]]->x1

which follows from Substitution Lemma 9.
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