9

Problema

Dato un valore n, immagina un paesaggio montano inscritto in un riferimento da (0, 0) a (2n, 0). Non ci devono essere spazi bianchi tra i pendii e anche la montagna non deve scendere al di sotto dell'asse x. Il problema da risolvere è: dato n (che definisce la dimensione del paesaggio) e il numero k di picchi (k sempre inferiore o uguale a n), quante combinazioni di montagne sono possibili con k picchi?

Ingresso

n che rappresenta la larghezza del paesaggio e k che è il numero di picchi.

Produzione

Solo il numero di combinazioni possibili.

Esempio

Dato n = 3 e k = 2 la risposta è 3 combinazioni.

Solo per fare un esempio visivo, sono i seguenti:

   /\     /\      /\/\
/\/  \   /  \/\  /    \

sono le 3 combinazioni possibili usando 6 (3 * 2) posizioni e 2 picchi.

Modifica: - altri esempi -

n  k  result
2  1  1
4  1  1
4  3  6
5  2  10

Condizioni vincenti

Si applicano le regole standard del code-golf . Vince l'invio più breve in byte.

code-golf combinatorics recursion

— combinationsD
fonte

4

È lo stesso di "trova il numero di espressioni di ncoppie di parentesi corrispondenti che contengono esattamente kistanze di ()"?

— xnor

4

https://oeis.org/A001263 ?

— xnor

@xnor sì lo è.

— Jonathan Allan,

4

Potresti voler aggiornare la sfida con un titolo più esplicito come Calcola numeri Narayana .

— Arnauld,

Potresti confermare se kdeve essere gestito o meno un input con zero? In tal caso, è necessario gestire un input nuguale a zero (con kanche zero per definizione)?

— Jonathan Allan,

7

Python, 40 byte

f=lambda n,k:k<2or~-n*n*f(n-1,k-1)/~-k/k

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Utilizza la ricorrenza , . $a_{n,1} = 1$ $a_{n,k} = \frac{n(n-1)}{k(k-1)}a_{n-1,k-1}$

— Anders Kaseorg
fonte

6

Gelatina , 7 byte

cⱮṫ-P÷⁸

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Accetta input come nallora k. Usa la formula

$N(n,k)=\frac{1}{n}\binom{n}{k}\binom{n}{k-1}$

che ho trovato su Wikipedia .

cⱮṫ-P÷⁸
c        Binomial coefficient of n and...
 Ɱ       each of 1..k
  ṫ-     Keep the last two. ṫ is tail, - is -1.
    P    Product of the two numbers.
     ÷   Divide by
      ⁸  n.

7 byte

Ogni riga funziona da sola.

,’$c@P÷
c@€ṫ-P÷

Accetta input come kallora n.

7 byte

cⱮ×ƝṪ÷⁸

Grazie a Jonathan Allan per questo.

— dylnan
fonte

Aspetta ... la coda viene automaticamente definita come 2 numeri? (Non conosco affatto Jelly, solo una domanda sciocca)

— Quintec,

@Quintec Ci sono due funzioni di coda. Uno ( Ṫ) che accetta solo l'ultimo elemento di un singolo argomento e quello che ho usato ( ṫ) che accetta due argomenti. L'argomento pugno è un elenco e il secondo è un numero (Nel mio caso -1rappresentato da una -nel codice) che ti dice quanti elementi salvare. Avere -1dato due elementi è stato il modo più golfoso di definireṫ

— Dylnan,

Grazie, grazie! Vedo come è stata costruita la gelatina per il golf ... hehe

— Quintec,

1

Un'altra variante per 7 f (n, k):cⱮ×ƝṪ÷⁸

— Jonathan Allan,

4

JavaScript (ES6), 33 30 byte

Salvato 3 byte grazie a @Shaggy

Accetta input come (n)(k).

n=>g=k=>--k?n*--n/-~k/k*g(k):1

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Implementa la definizione ricorsiva utilizzata da Anders Kaseorg .

JavaScript (ES7), 59 58 49 45 byte

Accetta input come (n)(k).

n=>k=>k/n/(n-k+1)*(g=_=>k?n--/k--*g():1)()**2

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Calcola:

{un'}_{n, K} = \frac{1}{K} (\binom{n - 1}{K - 1}) (\binom{n}{K - 1}) = \frac{1}{n} (\binom{n}{K}) (\binom{n}{K - 1}) = \frac{1}{n} {(\binom{n}{K})}^{2} \times \frac{K}{n - K + 1}

$a_{n,k}=\frac{1}{k}\binom{n-1}{k-1}\binom{n}{k-1}=\frac{1}{n}\binom{n}{k}\binom{n}{k-1}=\frac{1}{n}\binom{n}{k}^2\times\frac{k}{n-k+1}$

Derivato da A001263 (prima formula).

— Arnauld
fonte

-3 byte con curry.

— Shaggy,

@Shaggy Doh ... Grazie. La revisione n. 7 sembra finalmente avere la revisione n. 1. : p

— Arnauld,

3

Wolfram Language (Mathematica) , 27 byte

Tre versioni, tutte della stessa lunghezza:

(b=Binomial)@##b[#,#2-1]/#&

Binomial@##^2#2/(#-#2+1)/#&

1/(Beta[#2,d=#-#2+1]^2d##)&

Provalo online! (Solo la prima versione, ma è possibile copiare e incollare per provare le altre.)

\frac{n! (n - 1)!}{K! (K - 1)! (n - K)! (n - K - 1)!}

$\frac{n!(n-1)!}{k!(k-1)!(n-k)!(n-k-1)!}$

— Misha Lavrov
fonte

2

J , 17 11 byte

]%~!*<:@[!]

Provalo online!

Prende nl'argomento giusto, kcome quello sinistro. Utilizza la stessa formula della risposta Jelly di Dylnan e la soluzione APL di Quintec.

Spiegazione:

            ] - n  
           !  - choose
       <:@[   - k-1
      *       - multiplied by
     !        - n choose k
   %~         - divided by
  ]           - n

— Galen Ivanov
fonte

2

APL (Dyalog), 19 18 16 12 byte

⊢÷⍨!×⊢!⍨¯1+⊣

Grazie a @Galen Ivanov per -4 byte

Utilizza l'identità nella sequenza OEIS. Prende k a sinistra e n a destra.

TIO

— Quintec
fonte

⊢÷⍨!×⊢!⍨¯1+⊣per 12 byte , argomento invertito

— Galen Ivanov,

@GalenIvanov Grazie, il mio tacito APL è estremamente debole

— Quintec,

Il mio APL non è buono, ho appena colto l'occasione per provarlo, dopo la mia soluzione J :)

— Galen Ivanov

1

Rubino , 50 byte

->l,n{eval [[*n..l]*2*?*,l,n,[*1..l-=n]*2,l+1]*?/}

Provalo online!

— GB
fonte

1

Lisp comune , 76 byte

(defun x(n k)(cond((= k 1)1)(t(*(/(* n(1- n))(* k(1- k)))(x(1- n)(1- k))))))

Provalo online!

— JRowan
fonte

Puoi salvare 2 byte rimuovendo gli spazi dopo \ e dopo x

— Galen Ivanov

1

Appena aggiornato grazie

— JRowan,

Suggerisci (*(1- x)x)invece di(* x(1- x))

— ceilingcat il

1

Perl 6 , 33 byte

{[*] ($^n-$^k X/(2..$k X-^2))X+1}

Provalo online!

Usa la formula

{un'}_{n, K} = (\binom{n - 1}{K - 1}) \times \frac{1}{K} (\binom{n}{K - 1}) = Π_{io = 1}^{K - 1} (\frac{n - K}{io} + 1) \times Π_{io = 2}^{K} (\frac{n - K}{io} + 1)

$a_{n,k}=\binom{n-1}{k-1}\times\frac{1}{k}\binom{n}{k-1}=\prod_{i=1}^{k-1}(\frac{n-k}{i}+1)\times\prod_{i=2}^{k}(\frac{n-k}{i}+1)$

Spiegazione

{[*]                            }  # Product of
     ($^n-$^k X/                   # n-k divided by
                (2..$k X-^2))      # numbers in ranges [1,k-1], [2,k]
                             X+1   # plus one.

Versione alternativa, 39 byte

{combinations(|@_)²/(1+[-] @_)/[/] @_}

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Utilizza la formula dalla risposta di Arnauld:

{un'}_{n, K} = \frac{1}{n} {(\binom{n}{K})}^{2} \times \frac{K}{n - K + 1}

$a_{n,k}=\frac{1}{n}\binom{n}{k}^2\times\frac{k}{n-k+1}$

— nwellnhof
fonte

0

Gelatina , 8 byte

,’$c’}P:

Un collegamento diadico che accetta na sinistra ea kdestra che fornisce il conteggio.

Provalo online!

— Jonathan Allan
fonte

0

Stax , 9 byte

ÇäO╪∙╜5‼O

Esegui ed esegui il debug

Sto usando la formula di Dylnan in stax.

Disimballato, non modificato e commentato, il programma si presenta così.

        program begins with `n` and `k` on input stack
{       begin block for mapping
  [     duplicate 2nd element from top of stack (duplicates n)
  |C    combinatorial choose operation
m       map block over array, input k is implicitly converted to [1..k]
O       push integer one *underneath* mapped array
E       explode array onto stack
*       multiply top two elements - if array had only element, then the pushed one is used
,/      pop `n` from input stack and divide

Esegui questo

— ricorsivo
fonte

0

APL (NARS), 17 caratteri, 34 byte

{⍺÷⍨(⍵!⍺)×⍺!⍨⍵-1}

test:

  f←{⍺÷⍨(⍵!⍺)×⍺!⍨⍵-1}
  (2 f 1)(4 f 1)(4 f 3)(5 f 2)    
1 1 6 10

— RosLuP
fonte

Sono possibili diverse combinazioni

Python, 40 byte

Gelatina , 7 byte

JavaScript (ES6), 33 30 byte

JavaScript (ES7), 59 58 49 45 byte

Wolfram Language (Mathematica) , 27 byte

J , 17 11 byte

Spiegazione:

APL (Dyalog), 19 18 16 12 byte

Rubino , 50 byte

Lisp comune , 76 byte

Perl 6 , 33 byte

Spiegazione

Versione alternativa, 39 byte

Gelatina , 8 byte

Stax , 9 byte

APL (NARS), 17 caratteri, 34 byte