Questa è la sequenza A054261

Il ° numero di contenimento primario è il numero più basso, che contiene i primi primi numeri come stringhe. Ad esempio, il numero è il numero più basso che contiene i primi 3 numeri primi come sottostringhe, rendendolo il terzo numero di contenimento primo.$n$$n$$235$

È banale capire che i primi quattro numeri di contenimento primo sono , , e , ma poi diventa più interessante. Poiché il primo primo è 11, il numero di primo primo successivo non è , ma è poiché è definito come il numero più piccolo con la proprietà.$2$$23$$235$$2357$$235711$$112357$

Tuttavia, la vera sfida arriva quando si supera l'11. Il prossimo numero di contenimento primo è . Si noti che in questo numero, le sottostringhe e si sovrappongono. Il numero si sovrappone anche al numero .$113257$1113313

È facile dimostrare che questa sequenza è in aumento, poiché il numero successivo deve soddisfare tutti i criteri del numero precedente e disporre di una sottostringa in più. Tuttavia, la sequenza non è strettamente crescente, come dimostrato dai risultati di n=10e n=11.

Sfida

Il tuo obiettivo è trovare quanti più numeri di contenimento primi possibile. Il tuo programma dovrebbe riprodurli in modo ordinato, iniziando con 2 e salendo.

Regole

1. È consentito codificare i numeri primi.
2. Non è consentito codificare in numeri primi di contenimento ( 2è l'unica eccezione) o qualsiasi numero magico che renda banale la sfida. Per favore sii carino.
3. Puoi usare qualsiasi lingua tu voglia. Includi un elenco di comandi per preparare l'ambiente a eseguire il codice.
4. Sei libero di utilizzare sia la CPU che la GPU e puoi utilizzare il multithreading.

punteggio

Il punteggio ufficiale verrà dal mio laptop (dell XPS 9560). Il tuo obiettivo è generare il maggior numero possibile di numeri primi di contenimento entro 5 minuti.

Specifiche

• Intel Core i7-7700HQ a 2,8 GHz (boost di 3,8 GHz) 4 core, 8 thread.
• RAM DDR4 da 16 GB a 2400 MHz
• NVIDIA GTX 1050
• Linux Mint 18.3 a 64 bit

I numeri trovati finora, insieme all'ultimo numero primo aggiunto al numero:

 1 =>                                                       2 (  2)
 2 =>                                                      23 (  3)
 3 =>                                                     235 (  5)
 4 =>                                                    2357 (  7)
 5 =>                                                  112357 ( 11)
 6 =>                                                  113257 ( 13)
 7 =>                                                 1131725 ( 17)
 8 =>                                               113171925 ( 19)
 9 =>                                              1131719235 ( 23)
10 =>                                            113171923295 ( 29)
11 =>                                            113171923295 ( 31)
12 =>                                           1131719237295 ( 37)
13 =>                                          11317237294195 ( 41)
14 =>                                        1131723294194375 ( 43)
15 =>                                      113172329419437475 ( 47)
16 =>                                     1131723294194347537 ( 53)
17 =>                                   113172329419434753759 ( 59)
18 =>                                  2311329417434753759619 ( 61)
19 =>                                231132941743475375961967 ( 67)
20 =>                               2311294134347175375961967 ( 71)
21 =>                              23112941343471735375961967 ( 73)
22 =>                             231129413434717353759619679 ( 79)
23 =>                           23112941343471735359619678379 ( 83)
24 =>                         2311294134347173535961967837989 ( 89)
25 =>                        23112941343471735359619678378979 ( 97)
26 =>                      2310112941343471735359619678378979 (101)
27 =>                    231010329411343471735359619678378979 (103)
28 =>                 101031071132329417343475359619678378979 (107)
29 =>              101031071091132329417343475359619678378979 (109)
30 =>              101031071091132329417343475359619678378979 (113)
31 =>           101031071091131272329417343475359619678378979 (127)
32 =>           101031071091131272329417343475359619678378979 (131)
33 =>         10103107109113127137232941734347535961967838979 (137)
34 =>      10103107109113127137139232941734347535961967838979 (139)
35 =>   10103107109113127137139149232941734347535961967838979 (149)
36 => 1010310710911312713713914923294151734347535961967838979 (151)

Grazie a Ardnauld, Ourous e japh per l'estensione di questo elenco.

Si noti che n = 10e n = 11sono lo stesso numero, poiché è il numero più basso che contiene tutti i numeri , ma contiene anche .$113171923295$$[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]$$31$

Per riferimento, puoi usare il fatto che lo script Python originale che ho scritto per generare questo elenco sopra calcola i primi 12 termini in circa 6 minuti.

Regole aggiuntive

Dopo che sono arrivati ​​i primi risultati, mi sono reso conto che ci sono buone probabilità che i risultati migliori possano finire con lo stesso punteggio. In caso di pareggio, il vincitore sarà quello con il minor tempo per generare il proprio risultato. Se due o più risposte producono i loro risultati altrettanto velocemente, sarà semplicemente una vittoria legata.

Nota finale

Il tempo di esecuzione di 5 minuti viene impostato solo per garantire un punteggio equo. Sarei molto interessato a vedere se possiamo spingere ulteriormente la sequenza OEIS (al momento contiene 17 numeri). Con il codice di Ourous, ho generato tutti i numeri fino a n = 26, ma ho intenzione di lasciare che il codice venga eseguito per un periodo di tempo più lungo.

tabellone segnapunti

1. Python 3 + Google OR-Tools : 169
2. Scala : 137 (non ufficiale)
3. Risolutore Concorde TSP : 84 (non ufficiale)
4. C ++ (GCC) + x86 assembly : 62
5. Pulito : 25
6. JavaScript (Node.js) : 24

Python 3 + Google OR-Tools , segna 169 in 295 secondi (punteggio ufficiale)

Come funziona

Dopo aver scartato i numeri primi ridondanti contenuti in altri numeri primi, disegnare un grafico diretto con un bordo da ciascun primo a ciascuno dei suoi suffissi, con distanza zero e un bordo a ciascun primo da ciascuno dei suoi prefissi, con la distanza definita dal numero di cifre aggiunte . Cerchiamo il primo percorso lessicograficamente più breve attraverso il grafico iniziando dal prefisso vuoto, passando attraverso ogni primo (ma non necessariamente attraverso ciascun prefisso o suffisso) e terminando con il suffisso vuoto.

Ad esempio, ecco i bordi del percorso ottimale ε → 11 → 1 → 13 → 3 → 31 → 1 → 17 → ε → 19 → ε → 23 → ε → 29 → ε → 5 → ε per n = 11, corrispondente alla stringa di output 113171923295.

Rispetto alla semplice riduzione del problema del venditore ambulante , si noti che collegando i numeri primi indirettamente attraverso questi nodi di suffisso / prefisso extra, anziché direttamente l'uno con l'altro, abbiamo ridotto drasticamente il numero di spigoli che dobbiamo considerare. Ma poiché i nodi extra non devono essere attraversati esattamente una volta, questa non è più un'istanza di TSP.

Utilizziamo il risolutore di vincoli CP-SAT incrementale di Google OR-Tools, prima per ridurre al minimo la lunghezza totale del percorso, quindi per ridurre al minimo ogni gruppo di cifre aggiunte in ordine. Inizializziamo il modello con solo vincoli locali: ogni numero primo precede un suffisso e ha successo un prefisso, mentre ogni suffisso / prefisso precede e ha lo stesso numero di numeri primi. Il modello risultante potrebbe contenere cicli disconnessi; in tal caso, aggiungiamo ulteriori vincoli di connettività in modo dinamico e rieseguiamo il solutore.

Codice

import multiprocessing
from ortools.sat.python import cp_model


def superstring(strings):
    def gen_prefixes(s):
        for i in range(len(s)):
            a = s[:i]
            if a in affixes:
                yield a

    def gen_suffixes(s):
        for i in range(1, len(s) + 1):
            a = s[i:]
            if a in affixes:
                yield a

    def solve():
        def find_string(s):
            found_strings.add(s)
            for i in range(1, len(s) + 1):
                a = s[i:]
                if (
                    a in affixes
                    and a not in found_affixes
                    and solver.Value(suffix[s, a])
                ):
                    found_affixes.add(a)
                    q.append(a)
                    break

        def cut(skip):
            model.AddBoolOr(
                skip
                + [
                    suffix[s, a]
                    for s in found_strings
                    for a in gen_suffixes(s)
                    if a not in found_affixes
                ]
                + [
                    prefix[a, s]
                    for s in unused_strings
                    if s not in found_strings
                    for a in gen_prefixes(s)
                    if a in found_affixes
                ]
            )
            model.AddBoolOr(
                skip
                + [
                    suffix[s, a]
                    for s in unused_strings
                    if s not in found_strings
                    for a in gen_suffixes(s)
                    if a in found_affixes
                ]
                + [
                    prefix[a, s]
                    for s in found_strings
                    for a in gen_prefixes(s)
                    if a not in found_affixes
                ]
            )

        def search():
            while q:
                a = q.pop()
                for s in prefixed[a]:
                    if (
                        s in unused_strings
                        and s not in found_strings
                        and solver.Value(prefix[a, s])
                    ):
                        find_string(s)
            return not (unused_strings - found_strings)

        while True:
            if solver.Solve(model) != cp_model.OPTIMAL:
                raise RuntimeError("Solve failed")

            found_strings = set()
            found_affixes = set()
            if part is None:
                found_affixes.add("")
                q = [""]
            else:
                part_ix = solver.Value(part)
                p, next_affix, next_string = parts[part_ix]
                q = []
                find_string(next_string)
            if search():
                break

            if part is not None:
                if part_ix not in partb:
                    partb[part_ix] = model.NewBoolVar("partb%s_%s" % (step, part_ix))
                    model.Add(part == part_ix).OnlyEnforceIf(partb[part_ix])
                    model.Add(part != part_ix).OnlyEnforceIf(partb[part_ix].Not())
                cut([partb[part_ix].Not()])
                if last_string is None:
                    found_affixes.add(next_affix)
                else:
                    find_string(last_string)
                q.append(next_affix)
                if search():
                    continue

            cut([])

    solver = cp_model.CpSolver()
    solver.parameters.num_search_workers = 4
    affixes = {s[:i] for s in strings for i in range(len(s))} & {
        s[i:] for s in strings for i in range(1, len(s) + 1)
    }
    prefixed = {}
    for s in strings:
        for a in gen_prefixes(s):
            prefixed.setdefault(a, []).append(s)
    suffixed = {}
    for s in strings:
        for a in gen_suffixes(s):
            suffixed.setdefault(a, []).append(s)
    unused_strings = set(strings)
    last_string = None
    part = None

    model = cp_model.CpModel()
    prefix = {
        (a, s): model.NewBoolVar("prefix_%s_%s" % (a, s))
        for a in affixes
        for s in prefixed[a]
    }
    suffix = {
        (s, a): model.NewBoolVar("suffix_%s_%s" % (s, a))
        for a in affixes
        for s in suffixed[a]
    }
    for s in strings:
        model.Add(sum(prefix[a, s] for a in gen_prefixes(s)) == 1)
        model.Add(sum(suffix[s, a] for a in gen_suffixes(s)) == 1)
    for a in affixes:
        model.Add(
            sum(suffix[s, a] for s in suffixed[a])
            == sum(prefix[a, s] for s in prefixed[a])
        )

    length = sum(prefix[a, s] * (len(s) - len(a)) for a in affixes for s in prefixed[a])
    model.Minimize(length)
    solve()
    model.Add(length == solver.Value(length))

    out = ""
    for step in range(len(strings)):
        in_parts = set()
        parts = []
        for a in [""] if last_string is None else gen_suffixes(last_string):
            for s in prefixed[a]:
                if s in unused_strings and s not in in_parts:
                    in_parts.add(s)
                    parts.append((s[len(a) :], a, s))
        parts.sort()
        part = model.NewIntVar(0, len(parts) - 1, "part%s" % step)
        partb = {}
        for part_ix, (p, a, s) in enumerate(parts):
            if last_string is not None:
                model.Add(part != part_ix).OnlyEnforceIf(suffix[last_string, a].Not())
            model.Add(part != part_ix).OnlyEnforceIf(prefix[a, s].Not())
        model.Minimize(part)
        solve()
        part_ix = solver.Value(part)
        model.Add(part == part_ix)
        p, a, last_string = parts[part_ix]
        unused_strings.remove(last_string)
        out += p
    return out


def gen_primes():
    yield 2
    n = 3
    d = {}
    for p in gen_primes():
        p2 = p * p
        d[p2] = 2 * p
        while n <= p2:
            if n in d:
                q = d.pop(n)
                m = n + q
                while m in d:
                    m += q
                d[m] = q
            else:
                yield n
            n += 2


def gen_inputs():
    num_primes = 0
    strings = []

    for new_prime in gen_primes():
        num_primes += 1
        new_string = str(new_prime)
        strings = [s for s in strings if s not in new_string] + [new_string]
        yield strings


with multiprocessing.Pool() as pool:
    for i, out in enumerate(pool.imap(superstring, gen_inputs())):
        print(i + 1, out, flush=True)

risultati

Ecco i primi 1000 numeri di contenimento primo , calcolati in 1½ giorni su un sistema a 8 core / 16 thread.

C ++ (GCC) + assemblaggio x86, punteggio _{32 36} 62 in 259 secondi (ufficiale)

Risultati calcolati finora. Il mio computer ha esaurito la memoria dopo 65.

1 2
2 23
3 235
4 2357
5 112357
6 113257
7 1131725
8 113171925
9 1131719235
10 113171923295
11 113171923295
12 1131719237295
13 11317237294195
14 1131723294194375
15 113172329419437475
16 1131723294194347537
17 113172329419434753759
18 2311329417434753759619
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Questi sono tutti in accordo con l'output del risolutore basato su Concorde , quindi hanno buone probabilità di essere corretti.

changelog:

• Calcolo errato per la lunghezza del contesto necessaria. La versione precedente era 1 troppo grande e aveva anche un bug. Punteggio: 32 34

• Aggiunta ottimizzazione gruppo uguale contesto. Punteggio: 34 36

• Revisionato l'algoritmo per utilizzare correttamente le stringhe senza contesto, oltre ad altre ottimizzazioni. Punteggio: 36 62

• Aggiunto un corretto riscritto.

• Aggiunta la variante dei numeri primi.

Come funziona

Attenzione: questa è una discarica del cervello. Scorri fino alla fine se vuoi solo il codice.

Abbreviazioni:

• PCN : problema del numero di contenimento primo, ovvero questa sfida
• SCS : superstring comune più corto
• TSP : problema del commesso viaggiatore

Questo programma utilizza sostanzialmente l'algoritmo di programmazione dinamica del manuale per il TSP.

1. Più una riduzione da PCN / SCS, il problema che stiamo effettivamente risolvendo, a TSP.
2. Inoltre, utilizza i contesti degli articoli anziché tutte le cifre di ciascun elemento.
3. Inoltre, suddividere il problema in base ai numeri primi che non possono sovrapporsi alle estremità degli altri numeri primi.
4. Inoltre, unendo i calcoli per i numeri primi con le stesse cifre di inizio / fine.
5. Inoltre tabelle di ricerca precompilate e una tabella hash personalizzata.
6. Inoltre alcuni prefetching di basso livello e bit-packing.

Sono molti potenziali bug. Dopo aver giocato con l'ingresso di Anselmo e non aver ottenuto risultati errati, dovrei almeno dimostrare che il mio approccio generale è corretto.

Sebbene la soluzione basata sul Concorde sia (molto, molto) più veloce, si basa sulla stessa riduzione, quindi questa spiegazione si applica ad entrambi. Inoltre, questa soluzione può essere adattata per OEIS A054260 , la sequenza di numeri primi contenente primi; Non so come risolverlo in modo efficiente nel quadro di TSP. Quindi è ancora in qualche modo rilevante.

Riduzione del TSP

Cominciamo dimostrando che la riduzione a TSP è corretta. Abbiamo una serie di stringhe, diciamo

A = 13, 31, 37, 113, 137, 211

e vogliamo trovare la superstring più piccola che contiene questi elementi.

Conoscere la lunghezza è sufficiente

Per il PCN, se ci sono più stringhe più brevi, dobbiamo restituire quella più piccola dal punto di vista lessicografico. Ma vedremo un problema diverso (e più semplice).

• SCS : dato un prefisso iniziale e un insieme di elementi, trova qualsiasi stringa più breve che contenga tutti gli elementi come sottostringhe e inizi con quel prefisso.
• SCS-Length : basta trovare la lunghezza di SCS.

Se riusciamo a risolvere SCS-Length, possiamo ricostruire la soluzione più piccola e ottenere il PCN. Se sappiamo che la soluzione più piccola inizia con il nostro prefisso, proviamo ad estenderla aggiungendo ogni articolo, in ordine lessicografico, e risolvendo nuovamente la lunghezza. Quando troviamo l'articolo più piccolo per il quale la lunghezza della soluzione è la stessa, sappiamo che questo deve essere l'articolo successivo nella soluzione più piccola (perché?), Quindi aggiungilo e ricerchi sugli elementi rimanenti. Questo metodo per raggiungere la soluzione si chiama auto-riduzione .

Visita del grafico a sovrapposizione massima

Supponiamo di aver iniziato a risolvere manualmente SCS per l'esempio sopra. Vorremmo probabilmente:

• Sbarazzarsi di 13e 37, poiché sono già sottostringhe degli altri elementi. Qualsiasi soluzione che contiene 137, ad esempio, deve contenere anche 13e 37.
• Cominciare a considerare le combinazioni 113,137 → 1137, 211,113 → 2113ecc

Questa è in effetti la cosa giusta da fare, ma proviamolo per completezza. Prendi qualsiasi soluzione SCS; per esempio, una superstring più corta Aè

2113137

e può essere scomposto in una concatenazione di tutti gli elementi in A:

211
 113
   31
    137

(Ignoriamo gli elementi ridondanti 13, 37.) Osservare che:

1. Le posizioni iniziale e finale di ciascun oggetto aumentano di almeno 1.
2. Ogni articolo è sovrapposto con l'articolo precedente nella massima misura possibile.

Mostreremo che ogni superstring più corta può essere decomposta in questo modo:

1. Per ogni coppia di oggetti adiacenti x,y, yinizia e termina in posizioni successive rispetto a x. Se questo non è vero, allora xè una sottostringa yo viceversa. Ma abbiamo già rimosso tutti gli elementi che sono sottostringhe, quindi ciò non può accadere.

2. Supponiamo che gli elementi adiacenti nella sequenza abbiano una sovrapposizione meno del massimo, ad esempio 21113invece di 2113. Ma ciò renderebbe il 1superfluo. Nessun elemento successivo richiede l'iniziale 1(come in 2 1 113), poiché si verifica prima 113e tutti gli elementi che compaiono dopo 113non possono iniziare con una cifra prima 113(vedere il punto 1). Un argomento simile impedisce che l'ultimo extra 1(come in 211 1 3) venga utilizzato da qualsiasi oggetto prima 211. Ma la nostra superstringa più corta , per definizione, non avrà cifre ridondanti, quindi non si verificheranno tali sovrapposizioni non massime.

Con queste proprietà, possiamo convertire qualsiasi problema SCS in un TSP:

1. Rimuovere tutti gli elementi che sono sottostringhe di altri elementi.
2. Crea un grafico diretto con un vertice per ciascun elemento.
3. Per ogni coppia di elementi x, yaggiungi un bordo da xal ycui peso è il numero di simboli extra aggiunti aggiungendo ya xcon la massima sovrapposizione. Ad esempio, aggiungeremo un bordo da 211a 113con peso 1, perché 2113aggiunge una cifra in più 211. Ripetere l'operazione per il bordo da ya x.
4. Aggiungi un vertice per il prefisso iniziale e i bordi da esso a tutti gli altri elementi.

Qualsiasi percorso su questo grafico, dal prefisso iniziale, corrisponde a una concatenazione di sovrapposizione massima di tutti gli elementi su quel percorso e il peso totale del percorso è uguale alla lunghezza della stringa concatenata. Pertanto, ogni tour di peso ridotto, che visita tutti gli elementi almeno una volta, corrisponde a una superstringa più corta.

E questa è la riduzione da SCS (e SCS-Length) a TSP.

Algoritmo di programmazione dinamica

Questo è un algoritmo classico, ma lo modificheremo un po ', quindi ecco un breve promemoria.

(L'ho scritto come un algoritmo per SCS-Length invece che per TSP. Sono sostanzialmente equivalenti, ma il vocabolario SCS aiuta quando arriviamo alle ottimizzazioni specifiche di SCS.)

Chiama il set di elementi di input Ae il prefisso indicato P. Per ogni ksottoinsieme di elementi Sin Ae ogni elemento edi S, calcoliamo la lunghezza della stringa più breve che inizia con P, contiene tutto Se termina con e. Ciò comporta l'archiviazione di una tabella dai valori (S, e)alle loro lunghezze SCS.

Quando arriviamo a ciascun sottoinsieme S, la tabella deve già contenere i risultati S - {e}per all ein S. Dato che la tabella può diventare piuttosto grande, calcolo i risultati per tutti i ksottoinsiemi di elementi, quindi k+1, ecc. Per questo, abbiamo solo bisogno di memorizzare i risultati per ke k+1in qualsiasi momento. Ciò riduce l'utilizzo della memoria di circa un fattore sqrt(|A|).

Un altro dettaglio: invece di calcolare la lunghezza SCS minima, in realtà calcolo la massima sovrapposizione totale tra gli articoli. (Per ottenere la lunghezza SCS, basta sottrarre la sovrapposizione totale dalla somma delle lunghezze degli articoli. L'uso delle sovrapposizioni aiuta alcune delle seguenti ottimizzazioni.

[2.] Contesti oggetto

Un contesto è il suffisso più lungo di un elemento che può sovrapporsi ai seguenti elementi. Se i nostri articoli sono 113,211,311, allora 11è il contesto per 211e 311. (È anche il contesto del prefisso per 113, che vedremo nella parte [4.])

Nell'algoritmo DP sopra, abbiamo tenuto traccia delle soluzioni SCS che terminano con ogni articolo, ma in realtà non ci interessa in quale articolo finisce un SCS. Tutto quello che dobbiamo sapere è il contesto. Pertanto, ad esempio, se due SCS per lo stesso set finiscono in 23e 43, qualsiasi SCS che continua dall'uno funzionerà anche per l'altro.

Questa è un'ottimizzazione significativa, perché i numeri primi non banali terminano solo con le cifre 1 3 7 9. I quattro contesti a una cifra 1,3,7,9(più il contesto vuoto) sono infatti sufficienti per calcolare i PCN per numeri primi fino a 131.

[3.] Articoli senza contesto

Altri hanno già sottolineato che molti numeri primi iniziano con le cifre 2,4,5,6,8, come ad esempio 23,29,41,43.... Nessuno di questi può sovrapporsi con un numero primo precedente (a parte 2e 5, i numeri primi non possono terminare con queste cifre; 2e 5saranno già stati rimossi come ridondanti). Nel codice, queste sono denominate stringhe senza contesto .

Se il nostro input ha elementi senza contesto, ogni soluzione SCS può essere suddivisa in blocchi

<prefix>... 23... 29... 41... 43...

e le sovrapposizioni in ciascun blocco sono indipendenti dagli altri blocchi. Possiamo mescolare i blocchi o scambiare elementi tra blocchi che hanno lo stesso contesto, senza modificare la lunghezza di SCS.

Pertanto, dobbiamo solo tenere traccia dei possibili multiset di contesti, uno per ciascun blocco.

Esempio completo: per i numeri primi inferiori a 100, abbiamo 11 articoli senza contesto e i loro contesti:

23 29 41 43 47 53 59 61 67 83 89
 3  9  1  3  7  3  9  1  7  3  9

Il nostro contesto multiset iniziale:

1 1 3 3 3 3 7 7 9 9 9

Il codice si riferisce a questi come contesti combinati o ccontexts . Quindi, dobbiamo solo considerare sottoinsiemi degli elementi rimanenti:

11 13 17 19 31 37 71 73 79 97

[4.] Unione del contesto

Una volta arrivati ​​ai numeri primi con 3 o più cifre, ci sono più ridondanze:

 101 151 181 191 ...
 107 127 157 167 197 ...
 109 149 1009 ...

Questi gruppi condividono gli stessi contesti iniziale e finale (di solito — dipende da quali altri numeri primi sono presenti nell'input), quindi sono indistinguibili quando si sovrappongono altri elementi. Ci preoccupiamo solo delle sovrapposizioni, quindi possiamo trattare i numeri primi in questi gruppi di contesto uguale come indistinguibili. Ora i nostri sottoinsiemi DP sono condensati in multisasset

4 × 1_1
5 × 1_7
3 × 1_9

(Questo è anche il motivo per cui il solutore massimizza la lunghezza di sovrapposizione invece di minimizzare la lunghezza di SCS: questa ottimizzazione preserva la lunghezza di sovrapposizione.)

Riepilogo: le ottimizzazioni di alto livello

L'esecuzione con INFOoutput di debug stamperà statistiche come

solve: N=43, N_search=26, ccontext_size=18, #contexts=7, #eq_context_groups=16

Questa linea particolare è per la lunghezza SCS dei primi 62 numeri primi, 2a 293.

• Dopo aver rimosso gli elementi ridondanti, ci rimangono 43 numeri primi che non sono sottostringhe tra loro.
• Esistono 7 contesti univoci : 1,3,7,11,13,27più la stringa vuota.
• 17 dei 43 numeri primi sono context-free : 43,47,53,59,61,89,211,223,227,229,241,251,257,263,269,281,283. Questi e il prefisso indicato (in questo caso, stringa vuota) formano la base del contesto combinato iniziale .
• Nei restanti 26 elementi ( N_search), ci sono 16 gruppi non contestuali di uguale contesto .

Sfruttando queste strutture, il calcolo della lunghezza SCS deve solo controllare 8498336 (multiset, ccontext)combinazioni. Una programmazione dinamica semplice prenderebbe delle 43×2^43 > 3×10^14misure, e forzando brutalmente le permutazioni prenderebbe delle 6×10^52misure. Il programma deve ancora eseguire SCS-Length più volte per ricostruire la soluzione PCN, ma ciò non richiede molto tempo.

[5., 6.] Le ottimizzazioni di basso livello

Invece di eseguire operazioni su stringa, il solutore SCS-Length funziona con indici di elementi e contesti. Ho anche pre-calcolato la quantità di sovrapposizione tra ciascun contesto e coppia di elementi.

Inizialmente il codice utilizzava GCC unordered_map, che sembra essere una tabella hash con bucket elenco collegati e dimensioni hash prime (ovvero divisioni costose). Così ho scritto la mia tabella hash con sondaggio lineare e potenza di due dimensioni. Ciò consente di ottenere una velocità 3 × e una riduzione della memoria 3 ×.

Ogni stato della tabella è costituito da un insieme multiplo di elementi, un contesto combinato e un conteggio di sovrapposizioni. Questi sono impacchettati in voci a 128 bit: 8 per il conteggio di sovrapposizione, 56 per il multiset (come un bitset con codifica di lunghezza di esecuzione) e 64 per il ccontext (RLE delimitato da 1). Codificare e decodificare il ccontext è stata la parte più complicata e ho finito per usare la nuova PDEPistruzione (è così nuova, GCC non ha ancora un aspetto intrinseco).

Infine, l'accesso a una tabella hash è molto lento quando Ndiventa grande, perché la tabella non rientra più nella cache. Ma l'unica ragione per cui scriviamo nella tabella hash è aggiornare il conteggio di sovrapposizione più noto per ogni stato. Il programma divide questo passaggio in una coda di prefetch e il ciclo interno precarica ogni ricerca della tabella alcune iterazioni prima di aggiornare effettivamente quello slot. Un altro 2 × speedup sul mio computer.

Bonus: ulteriori miglioramenti

AKA Come è Concorde così in fretta?

Non so molto sugli algoritmi TSP, quindi ecco un'ipotesi approssimativa.

Concorde utilizza il metodo di taglio e taglio per risolvere i TSP.

• Codifica il TSP come un programma lineare intero
• Utilizza metodi di programmazione lineari, nonché euristica iniziale, per ottenere limiti inferiori e superiori sulla distanza ottimale del tour
• Questi limiti vengono quindi immessi in un ramo e associati all'algoritmo ricorsivo che cerca la soluzione ottimale. Grandi parti dell'albero di ricerca possono essere potate, se il limite inferiore calcolato per una sottostruttura supera un limite superiore noto
• Cerca anche piani di taglio per aumentare il rilassamento dell'LP e ottenere limiti migliori. In genere, questi tagli codificano la conoscenza del fatto che le variabili decisionali devono essere numeri interi

Idee ovvie che potremmo provare:

• Potatura nel solutore SCS-Length, specialmente quando si ricostruisce la soluzione PCN (a quel punto, sappiamo già qual è la lunghezza della soluzione)
• Derivando alcuni limiti inferiori facili da calcolare per SCS, che possono essere utilizzati per aiutare la potatura
• Trovare più simmetrie o ridondanze nella distribuzione dei numeri primi da sfruttare

Tuttavia, la combinazione di taglio e taglio è molto potente, quindi potremmo non essere in grado di battere un risolutore all'avanguardia come Concorde, per grandi valori di N.

Bonus bonus: i primi di contenimento primi

A differenza della soluzione basata su Concorde, questo programma può essere modificato per trovare i numeri primi contenenti più piccoli ( OEIS A054260 ). Ciò comporta tre cambiamenti:

1. $1/\ln(n)$

2. Modificare il codice del solutore SCS-Length per classificare le soluzioni in base al fatto che le somme delle cifre siano divisibili per 3. Ciò comporta l'aggiunta di un'altra voce, la somma cifre mod 3, a ciascuno stato DP. Ciò riduce notevolmente le probabilità che il solutore principale rimanga bloccato con permutazioni non prime. Questo è il cambiamento che non sono riuscito a capire come tradurre in TSP. Può essere codificato con ILP, ma poi dovrei conoscere questa cosa chiamata "disuguaglianza di subtour" e come generarli.

3. È possibile che tutti i PCN più corti siano divisibili per 3. In tal caso, il primo più piccolo per il contenimento dei primi deve essere almeno una cifra più lungo del PCN. Se il nostro solutore SCS-Length lo rileva, il codice di ricostruzione della soluzione ha la possibilità di aggiungere una cifra in più in qualsiasi momento del processo. Prova ad aggiungere ogni cifra possibile 0..9e ogni elemento rimanente al prefisso della soluzione corrente, in ordine lessicografico come prima.

Con queste modifiche, posso ottenere le soluzioni fino a N=62. Ad eccezione di 47, dove il codice di ricostruzione si blocca e si arrende dopo 1 milione di passaggi (non so ancora perché). I primi di contenimento primi sono:

1 2
2 23
3 523
4 2357
5 112573
6 511327
7 1135217
8 1113251719
9 11171323519
10 113171952923
11 113171952923
12 11131951723729
13 11317237419529
14 1131723294375419
15 113172329541947437
16 1131723294195343747
17 1113172329419434753759
18 11231329417437475361959
19 231132941743475375967619
20 2311294134347175967619537
21 23112941343471735967619537
22 231129413434717359537679619
23 23112941343471735375961983679
24 11231294134347173535961967983789
25 23112941343471735359679837619789
26 2310112941343471735359619783789679
27 231010329411343471735359619678379897
28 101031071132329417343475359619798376789
29 101031071091132329417343475359619767898379
30 101031071091132329417343475359619767898379
31 1010310710911131272329417343475359619678979837
32 1010310710911131272329417343475359619678979837
33 10103107109113127137232941734347535978961967983
34 10103107109113127137139232941734347535961967838979
35 10103107109113127137139149232941734347535961976798389
36 1010310710911312713713914923294151734347535976198389679
37 1010310710911312713713914915157232941734347535967619798389
38 10103107109111312713713914915157163232941734347535967897961983
39 10103107109113127137139149151571631672329417343475961979838953
40 10103107109113127137139149151571631672329417343475961979838953
41 10103107109111312713713914915157163167173232941794347535976198983
42 1010310710911131271371391491515716316717323294179434761819535989783
43 1010310710911131271371391491515716316723294173434753596181917989783
44 101031071091131271371391491515716316717323294179434753836181919389597
45 10103107109113127137139149151571631671731792329418191934347538961975983
46 101031071091113127137139149151571631671731791819193232941974347535989836199
47 (failed)
48 1010310710912713137149151571631671731791819193211392232941974347895359836199
49 10103107109112713137149151571631671731791819193211392232272941974347619983535989
50 10103107109127131371491515716316717317918191932113922322722941974347595389836199
51 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722941974347595389619983
52 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722923941974347538361995989
53 10103107109112713137149151571631671731791819193211392233227229239241974347619983538959
54 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251974347619953835989
55 1010310710911271313714915157163167173179211392233227229239241819193251974325747596199538983
56 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572634347619959895383
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58 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694359538983619947
59 1010310710912713137149151571631671731792113922332277229239241819193251972572632694347535983896199
60 1010310710911271313714915157163167173211392233227722923924179251819193257263269281974347535961998389
61 1010310710912713137149151571631671732113922332277229239241792518191932572632692819728343538947619959
62 10103107109127131371491515716316717321139223322772293239241792518191932572632692819728343534759896199

Codice

Compila con

g++ -std=c++14 -O3 -march=native pcn.cpp -o pcn

Per la versione in numero primo, collega anche con GMPlib, ad es

g++ -std=c++14 -O3 -march=native pcn-prime.cpp -o pcn-prime -lgmp -lgmpxx

Questo programma utilizza l'istruzione PDEP, disponibile solo sui recenti processori x86 (Haswell +). Sia il mio computer che maxb lo supportano. In caso contrario, il programma verrà compilato in una versione software lenta. In questo caso verrà stampato un avviso di compilazione.

#include <cassert>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <array>

using namespace std;

void debug_dummy(...) {
}

#ifndef INFO
//#  define INFO(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#  define INFO debug_dummy
#endif

#ifndef DEBUG
//#    define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#  define DEBUG debug_dummy
#endif

bool is_prime(size_t n)
{
    for (size_t d = 2; d * d <= n; ++d) {
        if (n % d == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

// bitset, works for up to 64 strings
using bitset_t = uint64_t;
const size_t bitset_bits = 64;

// Find position of n-th set bit of x
uint64_t bit_select(uint64_t x, size_t n) {
#ifdef __BMI2__
    // Bug: GCC doesn't seem to provide the _pdep_u64 intrinsic,
    // despite what its manual claims. Neither does Clang!
    //size_t r = _pdep_u64(ccontext_t(1) << new_context, ccontext1);
    size_t r;
    // NB: actual operand order is %2, %1 despite the intrinsic taking %1, %2
    asm ("pdep %2, %1, %0"
         : "=r" (r)
         : "r" (uint64_t(1) << n), "r" (x)
         );
    return __builtin_ctzll(r);
#else
#  warning "bit_select: no x86 BMI2 instruction set, falling back to slow code"
    size_t k = 0, m = 0;
    for (; m < 64; ++m) {
        if (x & (uint64_t(1) << m)) {
            if (k == n) {
                break;
            }
            ++k;
        }
    }
    return m;
#endif
}

#ifndef likely
#  define likely(x) __builtin_expect(x, 1)
#endif
#ifndef unlikely
#  define unlikely(x) __builtin_expect(x, 0)
#endif

// Return the shortest string that begins with a and ends with b
string join_strings(string a, string b) {
    for (size_t overlap = min(a.size(), b.size()); overlap > 0; --overlap) {
        if (a.substr(a.size() - overlap) == b.substr(0, overlap)) {
            return a + b.substr(overlap);
        }
    }
    return a + b;
}

vector <string> dedup_items(string context0, vector <string> items)
{
    vector <string> items2;
    for (size_t i = 0; i < items.size(); ++i) {
        bool dup = false;
        if (context0.find(items[i]) != string::npos) {
                dup = true;
        } else {
            for (size_t j = 0; j < items.size(); ++j) {
                if (items[i] == items[j]?
                    i > j
                        : items[j].find(items[i]) != string::npos) {
                    dup = true;
                    break;
                }
            }
        }
        if (!dup) {
            items2.push_back(items[i]);
        }
    }
    return items2;
}

// Table entry used in main solver
const size_t solver_max_item_set = bitset_bits - 8;
struct Solver_entry
{
    uint8_t score : 8;
    bitset_t items : solver_max_item_set;
    bitset_t context;

    Solver_entry()
    {
        score = 0xff;
        items = 0;
        context = 0;
    }
    bool is_empty() const {
        return score == 0xff;
    }
};

// Simple hash table to avoid stdlib overhead
struct Solver_table
{
    vector <Solver_entry> t;
    size_t t_bits;
    size_t size_;
    size_t num_probes_;

    Solver_table()
    {
        // 256 slots initially -- this needs to be not too small
        // so that the load factor formula in update_score works
        t_bits = 8;
        size_ = 0;
        num_probes_ = 0;
        resize(t_bits);
    }
    static size_t entry_hash(bitset_t items, bitset_t context)
    {
        uint64_t h = 0x3141592627182818ULL;
        // Add context first, since its bits are generally
        // less well distributed than items
        h += context;
        h ^= h >> 23;
        h *= 0x2127599bf4325c37ULL;
        h ^= h >> 47;
        h += items;
        h ^= h >> 23;
        h *= 0x2127599bf4325c37ULL;
        h ^= h >> 47;
        return h;
    }
    size_t probe_index(size_t hash) const {
        return hash & ((size_t(1) << t_bits) - 1);
    }
    void resize(size_t t2_bits)
    {
        assert (size_ < size_t(1) << t2_bits);
        vector <Solver_entry> t2(size_t(1) << t2_bits);
        for (auto entry: t) {
            if (!entry.is_empty()) {
                size_t h = entry_hash(entry.items, entry.context);
                size_t mask = (size_t(1) << t2_bits) - 1;
                size_t idx = h & mask;
                while (!t2[idx].is_empty()) {
                    idx = (idx + 1) & mask;
                    ++num_probes_;
                }
                t2[idx] = entry;
            }
        }
        t.swap(t2);
        t_bits = t2_bits;
    }
    uint8_t update_score(bitset_t items, bitset_t context, uint8_t score)
    {
        // Ensure we can insert a new item without resizing
        assert (size_ < t.size());

        size_t index = probe_index(entry_hash(items, context));
        size_t mask = (size_t(1) << t_bits) - 1;
        for (size_t p = 0; p < t.size(); ++p, index = (index + 1) & mask) {
            ++num_probes_;
            if (likely(t[index].items == items && t[index].context == context)) {
                t[index].score = max(t[index].score, score);
                return t[index].score;
            }
            if (t[index].is_empty()) {
                // add entry
                t[index].score = score;
                t[index].items = items;
                t[index].context = context;
                ++size_;
                // load factor 4/5 -- ideally 2-3 average probes per lookup
                if (5*size_ > 4*t.size()) {
                    resize(t_bits + 1);
                }
                return score;
            }
        }
        assert (false && "bug: hash table probe loop");
    }
    size_t size() const {
        return size_;
    }
    void swap(Solver_table table)
    {
        t.swap(table.t);
        ::swap(size_, table.size_);
        ::swap(t_bits, table.t_bits);
        ::swap(num_probes_, table.num_probes_);
    }
};

/*
 * Main solver code.
 */
struct Solver
{
    // Inputs
    vector <string> items;
    string context0;
    size_t context0_index;

    // Mapping between strings and indices
    vector <string> context_to_string;
    unordered_map <string, size_t> string_to_context;

    // Items that have context-free prefixes, i.e. prefixes that
    // never overlap with the end of other items nor context0
    vector <bool> contextfree;

    // Precomputed contexts (suffixes) for each item
    vector <size_t> item_context;
    // Precomputed updates: (context, string) to overlap amount
    vector <vector <size_t>> join_overlap;

    Solver(vector <string> items, string context0)
        :items(items), context0(context0)
    {
        items = dedup_items(context0, items);
        init_context_();
    }

    void init_context_()
    {
        /*
         * Generate all relevant item-item contexts.
         *
         * At this point, we know that no item is a substring of
         * another, nor of context0. This means that the only contexts
         * we need to care about, are those generated from maximal join
         * overlaps between any two items.
         *
         * Proof:
         * Suppose that the shortest containing string needs some other
         * kind of context. Maybe it depends on a context spanning
         * three or more items, say X,Y,Z. But if Z ends after Y and
         * interacts with X, then Y must be a substring of Z.
         * This cannot happen, because we removed all substrings.
         *
         * Alternatively, it depends on a non-maximal join overlap
         * between two strings, say X,Y. But if this overlap does not
         * interact with any other string, then we could maximise it
         * and get a shorter solution. If it does, then call this
         * other string Z. We would get the same contradiction as in
         * the previous case with X,Y,Z.
         */
        size_t N = items.size();
        vector <size_t> max_prefix_overlap(N), max_suffix_overlap(N);
        size_t context0_suffix_overlap = 0;
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            for (size_t j = 0; j < N; ++j) {
                if (i == j) continue;
                string joined = join_strings(items[j], items[i]);
                size_t overlap = items[j].size() + items[i].size() - joined.size();
                string context = items[i].substr(0, overlap);
                max_prefix_overlap[i] = max(max_prefix_overlap[i], overlap);
                max_suffix_overlap[j] = max(max_suffix_overlap[j], overlap);

                if (string_to_context.find(context) == string_to_context.end()) {
                    string_to_context[context] = context_to_string.size();
                    context_to_string.push_back(context);
                }
            }

            // Context for initial join with context0
            {
                string joined = join_strings(context0, items[i]);
                size_t overlap = context0.size() + items[i].size() - joined.size();
                string context = items[i].substr(0, overlap);
                max_prefix_overlap[i] = max(max_prefix_overlap[i], overlap);
                context0_suffix_overlap = max(context0_suffix_overlap, overlap);

                if (string_to_context.find(context) == string_to_context.end()) {
                    string_to_context[context] = context_to_string.size();
                    context_to_string.push_back(context);
                }
            }
        }
        // Now compute all canonical trailing contexts
        context0_index = string_to_context[
                           context0.substr(context0.size() - context0_suffix_overlap)];
        item_context.resize(N);
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            item_context[i] = string_to_context[
                                items[i].substr(items[i].size() - max_suffix_overlap[i])];
        }

        // Now detect context-free items
        contextfree.resize(N);
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            contextfree[i] = (max_prefix_overlap[i] == 0);
            if (contextfree[i]) {
                DEBUG("  contextfree: %s\n", items[i].c_str());
            }
        }

        // Now compute all possible overlap amounts
        join_overlap.resize(context_to_string.size(), vector <size_t> (N));
        for (size_t c_index = 0; c_index < context_to_string.size(); ++c_index) {
            const string& context = context_to_string[c_index];
            for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
                string joined = join_strings(context, items[i]);
                size_t overlap = context.size() + items[i].size() - joined.size();
                join_overlap[c_index][i] = overlap;
            }
        }
    }

    // Main solver.
    // Returns length of shortest string containing all items starting
    // from context0 (context0's length not included).
    size_t solve() const
    {
        size_t N = items.size();

        // Length, if joined without overlaps. We try to improve this by
        // finding overlaps in the main iteration
        size_t base_length = 0;
        for (auto s: items) {
            base_length += s.size();
        }

        // Now take non-context-free items. We will only need to search
        // over these items.
        vector <size_t> search_items;
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            if (!contextfree[i]) {
                search_items.push_back(i);
            }
        }
        size_t N_search = search_items.size();

        /*
         * Some groups of strings have the same context transitions.
         * For example "17", "107", "127", "167" all have an initial
         * context of "1" and a trailing context of "7", no other
         * overlaps are possible with other primes.
         *
         * We group these strings and treat them as indistinguishable
         * during the main algorithm.
         */
        auto eq_context = [&](size_t i, size_t j) {
            if (item_context[i] != item_context[j]) {
                return false;
            }
            for (size_t ci = 0; ci < context_to_string.size(); ++ci) {
                if (join_overlap[ci][i] != join_overlap[ci][j]) {
                    return false;
                }
            }
            return true;
        };
        vector <size_t> eq_context_group(N_search, size_t(-1));
        for (size_t si = 0; si < N_search; ++si) {
            for (size_t sj = si-1; sj+1 > 0; --sj) {
                size_t i = search_items[si], j = search_items[sj];
                if (!contextfree[j] && eq_context(i, j)) {
                    DEBUG("  eq context: %s =c= %s\n", items[i].c_str(), items[j].c_str());
                    eq_context_group[si] = sj;
                    break;
                }
            }
        }

        // Figure out the combined context size. A combined context has
        // one entry for each context-free item plus one for context0.
        size_t ccontext_size = N - N_search + 1;

        // Assert that various parameters all fit into our data types
        using ccontext_t = bitset_t;
        assert (context_to_string.size() + ccontext_size <= bitset_bits);
        assert (N_search <= solver_max_item_set);
        assert (base_length < 0xff);

        // Initial combined context.
        unordered_map <size_t, size_t> cc0_full;
        ++cc0_full[context0_index];
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            if (contextfree[i]) {
                ++cc0_full[item_context[i]];
            }
        }
        // Now pack into unary-encoded bitset. The bitset stores the
        // count for each context as <count> number of 0 bits,
        // followed by a 1 bit.
        ccontext_t cc0 = 0;
        for (size_t ci = 0, b = 0; ci < context_to_string.size(); ++ci, ++b) {
            b += cc0_full[ci];
            cc0 |= ccontext_t(1) << b;
        }

        // Map from (item set, context) to maximum achievable overlap
        Solver_table k_solns;
        // Base case: cc0 with empty set
        k_solns.update_score(0, cc0, 0);

        // Now start dynamic programming. k is current subset size
        size_t eq_context_groups = 0;
        for (size_t g: eq_context_group) eq_context_groups += (g != size_t(-1));
        if (context0.empty()) {
            INFO("solve: N=%zu, N_search=%zu, ccontext_size=%zu, #contexts=%zu, #eq_context_groups=%zu\n",
                 N, N_search, ccontext_size, context_to_string.size(), eq_context_groups);
        } else {
            DEBUG("solve: context=%s, N=%zu, N_search=%zu, ccontext_size=%zu, #contexts=%zu, #eq_context_groups=%zu\n",
                  context0.c_str(), N, N_search, ccontext_size, context_to_string.size(), eq_context_groups);
        }
        for (size_t k = 0; k < N_search; ++k) {
            decltype(k_solns) k1_solns;

            // The main bottleneck of this program is updating k1_solns,
            // which (for larger N) becomes a huge table.
            // We use a prefetch queue to reduce memory latency.
            const size_t prefetch = 8;
            array <Solver_entry, prefetch> entry_queue;
            size_t update_i = 0;

            // Iterate every k-subset
            for (Solver_entry entry: k_solns.t) {
                if (entry.is_empty()) continue;

                bitset_t s = entry.items;
                ccontext_t ccontext = entry.context;
                size_t overlap = entry.score;

                // Try adding a new item
                for (size_t si = 0; si < N_search; ++si) {
                    bitset_t s1 = s | bitset_t(1) << si;
                    if (s == s1) {
                        continue;
                    }
                    // Add items in each eq_context_group sequentially
                    if (eq_context_group[si] != size_t(-1) &&
                        !(s & bitset_t(1) << eq_context_group[si])) {
                        continue;
                    }
                    size_t i = search_items[si]; // actual item index

                    size_t new_context = item_context[i];
                    // Increment ccontext's count for new_context.
                    // We need to find its delimiter 1 bit
                    size_t bit_n = bit_select(ccontext, new_context);
                    ccontext_t ccontext_n =
                        ((ccontext & ((ccontext_t(1) << bit_n) - 1))
                         | ((ccontext >> bit_n << (bit_n + 1))));

                    // Select non-empty sub-contexts to substitute for new_context
                    for (size_t ci = 0, bit1 = 0, count;
                         ci < context_to_string.size();
                         ++ci, bit1 += count + 1)
                    {
                        assert (ccontext_n >> bit1);
                        count = __builtin_ctzll(ccontext_n >> bit1);
                        if (!count
                            // We just added new_context; we can only remove an existing
                            // context entry there i.e. there must be at least two now
                            || (ci == new_context && count < 2)) {
                            continue;
                        }

                        // Decrement ci in ccontext_n
                        bitset_t ccontext1 =
                            ((ccontext_n & ((ccontext_t(1) << bit1) - 1))
                             | ((ccontext_n >> (bit1 + 1)) << bit1));

                        size_t overlap1 = overlap + join_overlap[ci][i];

                        // do previous prefetched update
                        if (update_i >= prefetch) {
                            Solver_entry entry = entry_queue[update_i % prefetch];
                            k1_solns.update_score(entry.items, entry.context, entry.score);
                        }

                        // queue the current update and prefetch
                        Solver_entry entry1;
                        size_t probe_index = k1_solns.probe_index(Solver_table::entry_hash(s1, ccontext1));
                        __builtin_prefetch(&k1_solns.t[probe_index]);
                        entry1.items = s1;
                        entry1.context = ccontext1;
                        entry1.score = overlap1;
                        entry_queue[update_i % prefetch] = entry1;

                        ++update_i;
                    }
                }
            }

            // do remaining queued updates
            for (size_t j = 0; j < min(update_i, prefetch); ++j) {
                Solver_entry entry = entry_queue[j];
                k1_solns.update_score(entry.items, entry.context, entry.score);
            }

            if (context0.empty()) {
                INFO("  hash stats: |solns[%zu]| = %zu, %zu lookups, %zu probes\n",
                     k+1, k1_solns.size(), update_i, k1_solns.num_probes_);
            } else {
                DEBUG("  hash stats: |solns[%zu]| = %zu, %zu lookups, %zu probes\n",
                      k+1, k1_solns.size(), update_i, k1_solns.num_probes_);
            }
            k_solns.swap(k1_solns);
        }

        // Overall solution
        size_t max_overlap = 0;
        for (Solver_entry entry: k_solns.t) {
            if (entry.is_empty()) continue;
            max_overlap = max(max_overlap, size_t(entry.score));
        }
        return base_length - max_overlap;
    }
};

// Wrapper for Solver that also finds the smallest solution string
string smallest_containing_string(vector <string> items)
{
    items = dedup_items("", items);

    size_t soln_length;
    {
        Solver solver(items, "");
        soln_length = solver.solve();
    }
    DEBUG("Found solution length: %zu\n", soln_length);

    string soln;
    vector <string> remaining_items = items;
    while (remaining_items.size() > 1) {
        // Add all possible next items, in lexicographic order
        vector <pair <string, size_t>> next_solns;
        for (size_t i = 0; i < remaining_items.size(); ++i) {
            const string& item = remaining_items[i];
            next_solns.push_back(make_pair(join_strings(soln, item), i));
        }
        assert (next_solns.size() == remaining_items.size());
        sort(next_solns.begin(), next_solns.end());

        // Now try every item in order
        bool found_next = false;
        for (auto ns: next_solns) {
            size_t i;
            string next_soln;
            tie(next_soln, i) = ns;
            DEBUG("Trying: %s + %s -> %s\n",
                  soln.c_str(), remaining_items[i].c_str(), next_soln.c_str());
            vector <string> next_remaining;
            for (size_t j = 0; j < remaining_items.size(); ++j) {
                if (next_soln.find(remaining_items[j]) == string::npos) {
                    next_remaining.push_back(remaining_items[j]);
                }
            }

            Solver solver(next_remaining, next_soln);
            size_t next_size = solver.solve();
            DEBUG("  ... next_size: %zu + %zu =?= %zu\n", next_size, next_soln.size(), soln_length);
            if (next_size + next_soln.size() == soln_length) {
                INFO("  found next item: %s\n", remaining_items[i].c_str());
                soln = next_soln;
                remaining_items = next_remaining;
                // found lexicographically smallest solution, break now
                found_next = true;
                break;
            }
        }
        assert (found_next);
    }
    soln = join_strings(soln, remaining_items[0]);

    return soln;
}

int main()
{
    string prev_soln;
    vector <string> items;
    size_t p = 1;
    for (size_t N = 1;; ++N) {
        for (++p; items.size() < N; ++p) {
            if (is_prime(p)) {
                char buf[99];
                snprintf(buf, sizeof buf, "%zu", p);
                items.push_back(buf);
                break;
            }
        }

        // Try to reuse previous solution (this works for N=11,30,32...)
        string soln;
        if (prev_soln.find(items.back()) != string::npos) {
            soln = prev_soln;
        } else {
            soln = smallest_containing_string(items);
        }
        printf("%s\n", soln.c_str());
        prev_soln = soln;
    }
}

Provalo online!

E la versione solo su TIO . Mi dispiace, ma non ho giocato a golf con questi programmi e c'è un limite di lunghezza post.

JavaScript (Node.js) , segna 24 in 241 secondi

risultati

• $a(1)$$a(21)$
• $a(22)=231129413434717353759619679$
• $a(23)=23112941343471735359619678379$
• $a(1)$$a(24)$

Algoritmo

Questa è una ricerca ricorsiva che tenta tutti i modi possibili di unire i numeri e infine ordina gli elenchi risultanti in ordine lessicografico quando viene raggiunto un nodo foglia.

$x$$y$$k$$x$$k$$y$$k$$y$$k$$x$

All'inizio di ogni iterazione, qualsiasi voce che può essere trovata in un'altra voce viene rimossa dall'elenco.

È stato ottenuto un notevole aumento di velocità tenendo traccia dei nodi visitati, in modo che possiamo interrompere presto quando operazioni diverse portano allo stesso elenco.

Un piccolo aumento di velocità è stato ottenuto aggiornando e ripristinando l'elenco quando possibile anziché generare una copia, come suggerito da un utente anonimo Neil.

Esempio

$n=7$$[2,3,5,7,11,13,17]$

[]                        // start with an empty list
[ 2 ]                     // append 2
[ 2, 3 ]                  // append 3
[ 2, 3, 5 ]               // append 5
[ 2, 3, 5, 7 ]            // append 7
[ 2, 3, 5, 7, 11 ]        // append 11
[ 2, 3, 5, 7, 11, 13 ]    // append 13
[ 2, 5, 7, 11, 13 ]       // remove 3, which appears in 13
  [ 2, 5, 7, 113, 13 ]    //   try to merge 11 and 13 into 113
  [ 2, 5, 7, 113 ]        //   remove 13, which now appears in 113
  [ 2, 5, 7, 113, 17 ]    //   append 17
  [ 2, 5, 113, 17 ]       //   remove 7, which appears in 17
  --> leaf node: 1131725  //   new best result
[ 2, 5, 7, 11, 13, 17 ]   // append 17
[ 2, 5, 11, 13, 17 ]      // remove 7, which appears in 17
  [ 2, 5, 113, 13, 17 ]   //   try to merge 11 and 13 into 113
  [ 2, 5, 113, 17 ]       //   remove 13, which now appears in 113
                          //   abort because this node was already visited
                          //   (it was a leaf node anyway, so we don't save much here)
  [ 2, 5, 117, 13, 17 ]   //   try to merge 11 and 17 into 117
  [ 2, 5, 117, 13 ]       //   remove 17, which now appears in 117
  --> leaf node: 1171325  //   not better than the previous one
--> leaf node: 11131725   // not better than the previous one

Codice

Provalo online!

let f = n => {
  let visited = {},
      a, d, k, best, search;

  // build the list of primes, as strings
  for(a = [ '2' ], n--, k = 3; n; k++) {
    for(d = k; k % (d -= 2);) {}
    d == 1 && n-- && a.push(k + '');
  }

  best = a.join('');

  // recursive search function
  (search = (a, n = 0, r = []) => {
    let x, y, i, j, k, s;

    // remove all entries in r[] that can be found in another entry
    r = r.filter((p, i) => !r.some((q, j) => i != j && ~q.indexOf(p)));

    // abort early if this node was already visited
    if(visited[r]) {
      return;
    }

    // otherwise, mark it as visited
    visited[r] = 1;

    // walk through all distinct pairs (x, y) in r[]
    for(i = 0; i < r.length; i++) {
      for(j = i + 1; j < r.length; j++) {
        x = r[i];
        y = r[j];

        // try to merge x and y if:
        // 1) the first k digits of x equal the last k digits of y
        for(k = 1; x.slice(0, k) == y.slice(-k); k++) {
          r[i] = y + x.slice(k);
          search(a, n, r);
        }

        // or:
        // 2) the first k digits of y equal the last k digits of x
        for(k = 1; y.slice(0, k) == x.slice(-k); k++) {
          r[i] = x + y.slice(k);
          search(a, n, r);
        }
        r[i] = x;
      }
    }

    if(x = a[n]) {
      // there are other primes to process, so go on with the next one
      search(a, n + 1, [...r, x]);
    }
    else {
      // this is a leaf node: see if we've improved our current score
      s = r.join('');

      if(s.length <= best.length) {
        s = r.sort().join('');

        if(s.length < best.length || s < best) {
          best = s;
        }
      }
    }
  })(a);

  return best;
}

Risolutore TSP Concorde , segna 84 in 299 secondi

Bene ... mi sento sciocco solo per aver realizzato questo ora.

Tutta questa faccenda è essenzialmente un problema del commesso viaggiatore . Per ogni coppia di numeri primi pe q, aggiungi un bordo il cui peso è il numero di cifre aggiunte q(rimuovendo le cifre sovrapposte). Inoltre, aggiungi un bordo iniziale a ogni numero primo p, il cui peso è la lunghezza di p. Il percorso del commesso viaggiatore più breve corrisponde alla lunghezza del numero di contenimento primo più piccolo.

Quindi un solutore TSP di livello industriale, come Concorde , risolverà il problema.

Questa voce dovrebbe probabilmente essere considerata non competitiva.

risultati

Il solutore arriva N=350in circa 20 ore di CPU. I risultati completi sono troppo lunghi per un posto SE e l'OEIS non vuole comunque molti termini. Ecco i primi 200:

1 2
2 23
3 235
4 2357
5 112357
6 113257
7 1131725
8 113171925
9 1131719235
10 113171923295
11 113171923295
12 1131719237295
13 11317237294195
14 1131723294194375
15 113172329419437475
16 1131723294194347537
17 113172329419434753759
18 2311329417434753759619
19 231132941743475375961967
20 2311294134347175375961967
21 23112941343471735375961967
22 231129413434717353759619679
23 23112941343471735359619678379
24 2311294134347173535961967837989
25 23112941343471735359619678378979
26 2310112941343471735359619678378979
27 231010329411343471735359619678378979
28 101031071132329417343475359619678378979
29 101031071091132329417343475359619678378979
30 101031071091132329417343475359619678378979
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44 101031071091131271371391491515716316717323294179434753596181919383897
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Codice

Ecco uno script di Python 3 per chiamare ripetutamente il risolutore Concorde fino a quando non costruisce le soluzioni.

Concorde è gratuito per uso accademico. È possibile scaricare un file binario eseguibile di Concorde creato con il proprio pacchetto di programmazione lineare QSopt, oppure se in qualche modo si dispone di una licenza per IBM CPLEX, è possibile creare Concorde dall'origine per utilizzare CPLEX.

#!/usr/bin/env python3
'''
Find prime containment numbers (OEIS A054261) using the Concorde
TSP solver.

The n-th prime containment number is the smallest natural number
which, when written in decimal, contains the first n primes.
'''

import argparse
import itertools
import os
import sys
import subprocess
import tempfile

def join_strings(a, b):
  '''Shortest string that starts with a and ends with b.'''
  for overlap in range(min(len(a), len(b)), 0, - 1):
    if a[-overlap:] == b[:overlap]:
      return a + b[overlap:]
  return a + b

def is_prime(n):
  if n < 2:
    return False
  d = 2
  while d*d <= n:
    if n % d == 0:
      return False
    d += 1
  return True

def prime_list_reduced(n):
  '''First n primes, with primes that are substrings of other
     primes removed.'''
  primes = []
  p = 2
  while len(primes) < n:
    if is_prime(p):
      primes.append(p)
    p += 1

  reduced = []
  for p in primes:
    if all(p == q or str(p) not in str(q) for q in primes):
      reduced.append(p)
  return reduced

# w_med is an offset for actual weights
# (we use zero as a dummy weight when splitting nodes)
w_med = 10**4
# w_big blocks edges from being taken
w_big = 10**8

def gen_tsplib(prefix, strs, start_candidates):
  '''Generate TSP formulation in TSPLIB format.

     Returns a TSPLIB format string that encodes the length of the
     shortest string starting with 'prefix' and containing all 'strs'.

     start_candidates is the set of strings that solution paths are
     allowed to start with.
     '''
  N = len(strs)

  # Concorde only supports symmetric TSPs. Therefore we encode the
  # asymmetric TSP instances by doubling each node.
  node_in = lambda i: 2*i
  node_out = lambda i: node_in(i) + 1
  # 2*(N+1) nodes because we add an artificial node with index N
  # for the start/end of the tour. This node is also doubled.
  num_nodes = 2*(N+1)

  # Ensure special offsets are big enough
  assert w_med > len(prefix) + sum(map(len, strs))
  assert w_big > w_med * num_nodes

  weight = [[w_big] * num_nodes for _ in range(num_nodes)]
  def edge(src, dest, w):
    weight[node_out(src)][node_in(dest)] = w
    weight[node_in(dest)][node_out(src)] = w

  # link every incoming node with the matching outgoing node
  for i in range(N+1):
    weight[node_in(i)][node_out(i)] = 0
    weight[node_out(i)][node_in(i)] = 0

  for i, p in enumerate(strs):
    if p in start_candidates:
      prefix_w = len(join_strings(prefix, p))
      # Initial length
      edge(N, i, w_med + prefix_w)
    else:
      edge(N, i, w_big)
    # Link every str to the end to allow closed tours
    edge(i, N, w_med)

  for i, p in enumerate(strs):
    for j, q in enumerate(strs):
      if i != j:
        w = len(join_strings(p, q)) - len(p)
        edge(i, j, w_med + w)

  out = '''NAME: prime-containment-number
TYPE: TSP
DIMENSION: %d
EDGE_WEIGHT_TYPE: EXPLICIT
EDGE_WEIGHT_FORMAT: FULL_MATRIX
EDGE_WEIGHT_SECTION
''' % num_nodes

  out += '\n'.join(
    ' '.join(str(w) for w in row)
    for row in weight
  ) + '\n'

  out += 'EOF\n'
  return out

def parse_tour_soln(prefix, strs, text):
  '''This constructs the solution from Concorde's 'tour' output format.
     The format simply consists of a permutation of the graph nodes.'''
  N = len(strs)
  node_in = lambda i: 2*i
  node_out = lambda i: node_in(i) + 1
  nums = list(map(int, text.split()))

  # The file starts with the number of nodes
  assert nums[0] == 2*(N+1)
  nums = nums[1:]

  # Then it should list a permutation of all nodes
  assert len(nums) == 2*(N+1)

  # Find and remove the artificial starting point
  start = nums.index(node_out(N))
  nums = nums[start+1:] + nums[:start]
  # Also find and remove the end point
  if nums[-1] == node_in(N):
    nums = nums[:-1]
  elif nums[0] == node_in(N):
    # Tour printed in reverse order
    nums = reversed(nums[1:])
  else:
    assert False, 'bad TSP tour'
  soln = prefix
  for i in nums:
    # each prime appears in two adjacent nodes, pick one arbitrarily
    if i % 2 == 0:
      soln = join_strings(soln, strs[i // 2])
  return soln

def scs_length(prefix, strs, start_candidates, concorde_path, concorde_verbose):
  '''Find length of shortest containing string using one call to Concorde.'''
  # Concorde's small-input solver CCHeldKarp, tends to fail with the
  # cryptic error message 'edge too long'. Brute force instead
  if len(strs) <= 5:
    best = len(prefix) + sum(map(len, strs))
    for perm in itertools.permutations(range(len(strs))):
      if perm and strs[perm[0]] not in start_candidates:
        continue
      soln = prefix
      for i in perm:
        soln = join_strings(soln, strs[i])
      best = min(best, len(soln))
    return best

  with tempfile.TemporaryDirectory() as tempdir:
    concorde_path = os.path.join(os.getcwd(), concorde_path)
    with open(os.path.join(tempdir, 'prime.tsplib'), 'w') as f:
      f.write(gen_tsplib(prefix, strs, start_candidates))

    if concorde_verbose:
      subprocess.check_call([concorde_path, os.path.join(tempdir, 'prime.tsplib')],
                            cwd=tempdir)
    else:
      try:
        subprocess.check_output([concorde_path, os.path.join(tempdir, 'prime.tsplib')],
                                cwd=tempdir, stderr=subprocess.STDOUT)
      except subprocess.CalledProcessError as e:
        print('Concorde exited with error code %d\nOutput log:\n%s' %
              (e.returncode, e.stdout.decode('utf-8', errors='ignore')),
              file=sys.stderr)
        raise

    with open(os.path.join(tempdir, 'prime.sol'), 'r') as f:
      soln = parse_tour_soln(prefix, strs, f.read())
    return len(soln)

# Cache results from previous N's
pcn_solve_cache = {} # (prefix fragment, strs) -> soln

def pcn(n, concorde_path, concorde_verbose):
  '''Find smallest prime containment number for first n primes.'''
  strs = list(map(str, prime_list_reduced(n)))
  target_length = scs_length('', strs, strs, concorde_path, concorde_verbose)

  def solve(prefix, strs, target_length):
    if not strs:
      return prefix

    # Extract part of prefix that is relevant to cache
    prefix_fragment = ''
    for s in strs:
      next_prefix = join_strings(prefix, s)
      overlap = len(prefix) + len(s) - len(next_prefix)
      fragment = prefix[len(prefix) - overlap:]
      if len(fragment) > len(prefix_fragment):
        prefix_fragment = fragment
    fixed_prefix = prefix[:len(prefix) - len(prefix_fragment)]
    assert fixed_prefix + prefix_fragment == prefix

    cache_key = (prefix_fragment, tuple(strs))
    if cache_key in pcn_solve_cache:
      return fixed_prefix + pcn_solve_cache[cache_key]

    # Not in cache, we need to calculate it.
    soln = None

    # Try strings in ascending order until scs_length reports a
    # solution with equal length. That string will be the
    # lexicographically smallest extension of our solution.
    next_prefixes = sorted((join_strings(prefix, s), s)
                           for s in strs)

    # Try first string -- often works
    next_prefix, _ = next_prefixes[0]
    next_prefixes = next_prefixes[1:]
    next_strs = [s for s in strs if s not in next_prefix]
    next_length = scs_length(next_prefix, next_strs, next_strs,
                             concorde_path, concorde_verbose)
    if next_length == target_length:
      soln = solve(next_prefix, next_strs, next_length)
    else:
      # If not, do a weighted binary search on remaining strings
      while len(next_prefixes) > 1:
        split = (len(next_prefixes) + 2) // 3
        group = next_prefixes[:split]
        group_length = scs_length(prefix, strs, [s for _, s in group],
                                  concorde_path, concorde_verbose)
        if group_length == target_length:
          next_prefixes = group
        else:
          next_prefixes = next_prefixes[split:]
      if next_prefixes:
        next_prefix, _ = next_prefixes[0]
        next_strs = [s for s in strs if s not in next_prefix]
        check = True
        # Uncomment if paranoid
        #next_length = scs_length(next_prefix, next_strs, next_strs,
        #                         concorde_path, concorde_verbose)
        #check = (next_length == target_length)
        if check:
          soln = solve(next_prefix, next_strs, target_length)

    assert soln is not None, (
      'solve failed! prefix=%r, strs=%r, target_length=%d' %
      (prefix, strs, target_length))

    pcn_solve_cache[cache_key] = soln[len(fixed_prefix):]
    return soln

  return solve('', strs, target_length)

parser = argparse.ArgumentParser()
parser.add_argument('--concorde', type=str, default='concorde',
                    help='path to Concorde binary')
parser.add_argument('--verbose', action='store_true',
                    help='dump all Concorde output')
parser.add_argument('--start', type=int, metavar='N', default=1,
                    help='start at this N')
parser.add_argument('--end', type=int, metavar='N', default=1000000,
                    help='stop after this N')
parser.add_argument('--one', type=int, metavar='N',
                    help='solve for a single N and exit')

def main():
  opts = parser.parse_args(sys.argv[1:])

  if opts.one is not None:
    opts.start = opts.one
    opts.end = opts.one

  prev_soln = ''
  for n in range(opts.start, opts.end+1):
    primes = map(str, prime_list_reduced(n))
    if all(p in prev_soln for p in primes):
      soln = prev_soln
    else:
      soln = pcn(n, opts.concorde, opts.verbose)

    print('%d %s' % (n, soln))
    sys.stdout.flush()
    prev_soln = soln

if __name__ == '__main__':
  main()