Regole

Inizierai con solo due elementi: punti $A$ e $B$ tali che $A \neq B$ . Questi punti occupano un piano infinito in tutte le direzioni.

In qualsiasi fase del processo è possibile eseguire una delle tre azioni seguenti:

1. Disegna una linea che passa attraverso due punti.

2. Disegna un cerchio centrato in un punto in modo tale che un altro punto si trovi sul cerchio.

3. Aggiungi un nuovo punto in cui due oggetti (linee e cerchi) si intersecano.

Il tuo obiettivo è quello di creare 5 punti in modo che formino i vertici di un pentagono regolare (un poligono convesso con 5 lati uguali in lunghezza) usando il minor numero di cerchi possibile. Naturalmente puoi avere altri punti, ma 5 di essi devono essere per un pentagono regolare. Non è necessario disegnare i bordi del pentagono per il punteggio.

punteggio

Quando si confrontano due risposte, è meglio quella che disegna meno cerchi. Nel caso di un pareggio in cerchio, la risposta che disegna il minor numero di linee è migliore. In caso di pareggio in entrambi i cerchi e le linee, la risposta che aggiunge il minor numero di punti è migliore.

Anti-regole

Mentre l'elenco delle regole è esaustivo e dettagliato tutto ciò che puoi fare non lo è, solo perché non dico che non puoi fare qualcosa non significa che puoi.

• Non è possibile creare oggetti "arbitrari". Alcune costruzioni che troverai penseranno come aggiungere un punto in una posizione "arbitraria" e lavorare da lì. Non è possibile aggiungere nuovi punti in posizioni diverse dalle intersezioni.

• Non è possibile copiare un raggio. Alcune costruzioni implicheranno di prendere una bussola posizionandola su un raggio tra due punti e poi raccoglierla e disegnare un cerchio altrove. Non puoi farlo.

• Non è possibile eseguire processi limitanti. Tutte le costruzioni devono eseguire un numero finito di passaggi. Non è abbastanza buono avvicinarsi alla risposta in modo asintotico.

• Non puoi disegnare un arco o parte di un cerchio per evitare di contarlo come un cerchio nel tuo punteggio. Se si desidera utilizzare visivamente gli archi quando si mostra o si spiega la propria risposta perché occupano meno spazio, andare avanti ma contano come un cerchio per il punteggio.

Utensili

Puoi pensare al problema su GeoGebra . Vai alla scheda delle forme. Le tre regole equivalgono al punto, alla linea e al cerchio con gli strumenti centrali.

Onere della prova

Questo è standard ma vorrei ribadirlo. Se c'è una domanda sulla validità di una determinata risposta, l'onere della prova è sul rispondente a dimostrare che la sua risposta è valida piuttosto che al pubblico per dimostrare che la risposta non lo è.

Cosa sta facendo questo sul mio sito Code-Golf ?!

Questa è una forma di golf a codice atomico simile a golf di prova, sebbene in un linguaggio di programmazione un po 'strano. Attualmente esiste un consenso di + 22 / -0 sulla meta secondo cui questo genere di cose è permesso.

2 cerchi, 13 linee, 17 punti

Provalo su GeoGebra

• Lascia che il cerchio (A, B) intersechi il cerchio (B, A) in C e D.
• Lascia che AB intersechi nuovamente il cerchio (A, B) su E.
• Lascia che AB intersechi nuovamente il cerchio (B, A) su F.
• Lascia che AD intersechi ancora il cerchio (A, B) in G.
• Lascia che AD intersechi CF in H.
• Lascia che BG intersechi DF in I.
• Lascia che HI intersechi il cerchio (A, B) in J e K.
• Lascia che BG intersechi EJ a L.
• Lascia che BJ intersechi EG in M.
• Lascia che BG intersechi EK a N.
• Lascia che BK intersechi EG su O.
• Lascia che LM intersechi il cerchio (A, B) in P e S.
• Lascia che NO intersechi il cerchio (A, B) in Q e R.

Quindi EPQRS è un pentagono regolare.

Perché funziona

Sia BE intersecare GJ in T, e BE intersecare GK in U. Il BEGJ quadrilatero completo mostra che T è il polare di LM, che è l'intersezione delle tangenti in P e S. Allo stesso modo, il BEGK quadrilatero completo mostra che U è il polare di NO, che è l'intersezione delle tangenti in Q e R.

Lascia che FG intersechi HI in V. Le diagonali DV e GI dell'intero DGVI quadrilatero intersecano FH in coniugati armonici rispetto a F e H; poiché il primo è a ∞, il secondo è il punto medio C di FH, vale a dire che C, D, V sono collineari.

Lascia che CG intersechi HI in W.

Adesso per la parte divertente. La linea FUBAT è una prospettiva su G per allineare VKIHJ, che è una prospettiva su D per circondare CKDGJ, che è una prospettiva su C per allineare HKVWJ, che è una prospettiva su G per allineare AUF∞T. Comporre queste quattro prospettive produce una proiettività FUBAT ⌅ AUF∞T. Poiché una proiettività unidimensionale è determinata da tre punti, T e U sono determinati come i due punti fissi di FBA ⌅ AF∞.

Assegnando le coordinate con A = 0, B = −1, F = −2, questa proiettività è definita da x ↦ 4 / x + 2 e i suoi punti fissi T = 1 + √5 = sec (2π / 5) e U = 1 - √5 = −sec (2π / 10), esattamente come richiesto per trasformare l'EPQRS in un pentagono regolare.

7 6 cerchi, 3 linee

Questa è una classica costruzione a pentagono, una prova della sua correttezza può essere trovata qui .

4 cerchi, 7 linee

Dal momento che è stato battuto, ho pensato di pubblicare la mia soluzione originale al problema. Questa soluzione è modificata dal metodo fornito da Dixon in Mathographics , una prova di correttezza per quel metodo può essere trovata qui .

• $\mathrm{Circle}(A,B)$
• $\overline{AB}$
• $\mathrm{Circle}(A,B)$$\overline{AB}$$C$
• $\mathrm{Circle}(B,C)$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\mathrm{Circle}(B,C)$$D$
• Segna l'intersezione di $\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{AB}$$E$
• $\overline{DC}$
• Segna l'intersezione di $\mathrm{Circle}(C,B)$$\overline{DC}$$F$
• $\mathrm{Circle}(C,B)$$\mathrm{Circle}(B,C)$$G$
• $\overline{BG}$
• $\overline{BG}$$\overline{EF}$$H$
• $\overline{HC}$
• $\overline{HC}$$\mathrm{Circle}(C,B)$$I$
• $\overline{IA}$
• $\overline{IA}$$\mathrm{Circle}(A,B)$$J$
• $\mathrm{Cirlce}(I,J)$
• $\mathrm{Circle}(I,J)$$\overline{HC}$$L$
• $\mathrm{Circle}(I,J)$$\mathrm{Circle}(C,B)$ come $M$ e $K$.
• Disegnare $\overline{ML}$
• Disegnare $\overline{KL}$
• Segna l'intersezione di $\mathrm{Circle}(C,B)$ e $\overline{ML}$ come $N$
• Segna l'intersezione di $\mathrm{Circle}(C,B)$ e $\overline{HC}$ come $O$
• Segna l'intersezione di $\mathrm{Circle}(C,B)$ e $\overline{KL}$ come $P$

$MKPON$ è un pentagono regolare.