Questa sfida del codice ti consentirà di calcolare il numero di modi per raggiungere $n$ partire da $2$ utilizzando le mappe del modulo $x \mapsto x + x^j$ (con $j$ un numero intero non negativo) e farlo nel numero minimo di passaggi.

(Nota, questo è correlato alla sequenza OEIS A307092 .)

Esempio

Ad esempio, $f(13) = 2$ perché sono necessarie tre mappe e ci sono due sequenze distinte di tre mappe che invieranno da $2$ a $13$ :

Risultato in $2 \to 3 \to 12 \to 13$ o $2 \to 6 \to 12 \to 13$ .

Valori di esempio

f(2)   = 1 (via [])
f(3)   = 1 (via [0])
f(4)   = 1 (via [1])
f(5)   = 1 (via [1,0])
f(12)  = 2 (via [0,2] or [2,1])
f(13)  = 2 (via [0,2,0] or [2,1,0], shown above)
f(19)  = 1 (via [4,0])
f(20)  = 2 (via [1,2] or [3,1])
f(226) = 3 (via [2,0,2,1,0,1], [3,2,0,0,0,1], or [2,3,0,0,0,0])
f(372) = 4 (via [3,0,1,0,1,1,0,1,1], [1,1,0,2,0,0,0,1,1], [0,2,0,2,0,0,0,0,1], or [2,1,0,2,0,0,0,0,1])

Sfida

La sfida è quella di produrre un programma che prenda come input un numero intero $n \ge 2$ e produca il numero di percorsi distinti da $2$ a $n$ tramite un numero minimo di mappe nella forma $x \mapsto x + x^j$ .

Questo è code-golf , quindi vince meno byte.

Gelatina , 16 byte

2+*¥þ³Ḷ¤F$n³Ạ$¿ċ

Provalo online!

Un programma completo che prende come argomento $n$ e restituisce il numero di modi per raggiungere $n$ usando la lunghezza minima del percorso. Inefficiente per dimensioni maggiori $n$ .

JavaScript (ES6),  111 ... 84  80 byte

Restituisce vero anziché $1$ per $n=2$ .

f=(n,j)=>(g=(i,x,e=1)=>i?e>n?g(i-1,x):g(i-1,x+e)+g(i,x,e*x):x==n)(j,2)||f(n,-~j)

Provalo online!

Commentate

f = (                     // f is the main recursive function taking:
  n,                      //   n = input
  j                       //   j = maximum number of steps
) => (                    //
  g = (                   // g is another recursive function taking:
    i,                    //   i = number of remaining steps
    x,                    //   x = current sum
    e = 1                 //   e = current exponentiated part
  ) =>                    //
    i ?                   // if there's still at least one step to go:
      e > n ?             //   if e is greater than n:
                          //     add the result of a recursive call with:
        g(i - 1, x)       //       i - 1, x unchanged and e = 1
      :                   //   else:
                          //     add the sum of recursive calls with:
        g(i - 1, x + e) + //       i - 1, x + e and e = 1
        g(i, x, e * x)    //       i unchanged, x unchanged and e = e * x
    :                     // else:
      x == n              //   stop recursion; return 1 if x = n
)(j, 2)                   // initial call to g with i = j and x = 2
|| f(n, -~j)              // if it fails, try again with j + 1

Haskell , 78 75 byte

Questa implementazione utilizza una prima ricerca nel fiato dell '"albero" di tutte le mappature necessarie x -> x + x^j.

j#x=x+x^j
f n=[sum[1|x<-l,x==n]|l<-iterate((#)<$>[0..n]<*>)[2],n`elem`l]!!0

Provalo online!

Spiegazione

-- computes the mapping x -> x + x^j
j#x=x+x^j                          
--iteratively apply this function for all exponents [0,1,...,n] (for all previous values, starting with the only value [2])
                            iterate((#)<$>[0..n]<*>)[2] 
-- find each iteration where our target number occurs
    [                   |l<-...........................,n`elem`l] 
-- find how many times it occurs
     sum   [1|x<-l,x==n] 
-- pick the first entry
f n=.............................................................!!0

05AB1E , 17 byte

2¸[˜DIå#εIÝmy+]I¢

Provalo online!

Python 2 , 72 byte

f=lambda n,l=[2]:l.count(n)or f(n,[x+x**j for x in l for j in range(n)])

Provalo online!

Perl 5 ( -lp), 79 byte

$e=$_;@,=(2);@,=map{$x=$_;map$x+$x**$_,0..log($e)/log$x}@,until$_=grep$_==$e,@,

TIO

CJam (27 byte)

qi2a{{_W$,f#f+~2}%_W$&!}ge=

Demo online

Attenzione: questo richiede molta memoria molto velocemente.

Dissezione:

qi            e# Read input and parse to int n (accessed from the bottom of the stack as W$)
2a            e# Start with [2]
{             e# Loop
  {           e#   Map each integer x in the current list
    _W$,f#f+~ e#     to x+x^i for 0 <= i < n
    2         e#   and add a bonus 2 for the special case
  }%          e#   Gather these in the new list
  _W$&!       e#   Until the list contains an n
}g
e=            e# Count occurrences

I bonus 2s (per gestire il caso speciale dell'input 2, poiché i whileloop sono più costosi dei do-whileloop) indicano che la dimensione dell'elenco aumenta molto rapidamente e l'uso di esponenti fino a n-1significare che i valori dei numeri più grandi nell'elenco aumentano molto veloce.

Haskell , 65 byte

([2]%)
l%n|elem n l=sum[1|x<-l,x==n]|1>0=[x+x^k|x<-l,k<-[0..n]]%n

Provalo online!

La prima ricerca da golf di Flawr . Ho anche provato a tornare indietro da n, ma è stato più lungo:

73 byte

q.pure
q l|elem 2l=sum[1|2<-l]|1>0=q[x|n<-l,x<-[0..n],i<-[0..n],x+x^i==n]

Provalo online!

R , 78 77 byte

function(n,x=2){while(!{a=sum(x==n)})x=rep(D<-x[x<n],n+1)+outer(D,0:n,'^')
a}

Provalo online!

Utilizzo di una ricerca breadth-first semplificata

Codice srotolato con spiegazione:

function(n){                              # function taking the target value n

  x=2                                     # initialize vector of x's with 2

  while(!(a<-sum(x==n))) {                # count how many x's are equal to n and store in a
                                          # loop while a == 0

    x=rep(D<-x[x<n],n+1)+outer(D,0:n,'^') # recreate the vector of x's 
                                          # with the next values: x + x^0:n
  }
a                                         # return a
}   

Versione più breve con grande allocazione di memoria (errore per casi più grandi):

R , 70 69 byte

function(n,x=2){while(!{a=sum(x==n)})x=rep(x,n+1)+outer(x,0:n,'^')
a}

Provalo online!

-1 byte grazie a @RobinRyder

Pyth , 24 byte

VQIJ/mu+G^GHd2^U.lQ2NQJB

Provalo online!

Ciò dovrebbe produrre l'output corretto, ma è molto lento (il timeout del test 372 su TIO). Potrei accorciarlo sostituendolo .lQ2con Q, ma ciò renderebbe il runtime orrendo.

Nota: non produce output per numeri non raggiungibili $(n \leq 1)$

Spiegazione

VQ                        # for N in range(Q (=input)):
   J                      #   J =
     m                    #     map(lambda d:
      u                   #       reduce(lambda G,H:
       +G^GH              #         G + G^H,
            d2            #         d (list), 2 (starting value) ),
              ^U.lQ2N     #       cartesian_product(range(log(Q, 2)), N)
    /                Q    #     .count(Q)
  IJ                  JB  #   if J: print(J); break