Pi è sbagliato

Un metodo comune per calcolare pi è lanciare "freccette" in una scatola 1x1 e vedere quale terra nel cerchio unitario rispetto al totale lanciato:

loop
   x = rand()
   y = rand()
   if(sqrt(x*x + y*y) <= 1) n++
   t++
pi = 4.0*(n/t)

Scrivi un programma che sembra che dovrebbe calcolare correttamente pi (usando questo o altri metodi comuni di calcolo pi) ma calcola invece tau (tau = 2 * pi = 6.283185307179586 ...). Il codice deve produrre almeno i primi 6 decimali: 6.283185

Il vincitore è incoronato il 6 giugno (una settimana da oggi).

JavaScript

alert(Math.atan2(0, -0) - Math.atan2(-0, -0) + Math.atan2(0, 0))

Aiuto, sono intrappolato in una fabbrica dell'universo e non sono sicuro di cosa sto facendo. Math.atan2dovrebbe restituire pi con buoni valori, giusto? Math.atan2(0, -0)restituisce pi, quindi se lo sottraggo e lo aggiungo, dovrei comunque avere pi.

DI BASE

(Più specificamente, Chipmunk Basic )

Questo utilizza una serie infinita scoperta da Nilakantha Somayaji nel 15 ° secolo:

' Calculate pi using the Nilakantha series:
'               4       4       4       4
'  pi  =  3 + ----- - ----- + ----- - ------ + ...
'             2x3x4   4x5x6   6x7x8   8x9x10
i = pi = 0
numerator = -4
while i<10000
  i = i + 2
  numerator = -numerator
  pi = pi + numerator / (i * (i+1) * (i+2))
wend
pi = pi + 3
print using "#.##########";pi

Produzione

6.2831853072

Se non riesci a capire cosa sta succedendo, ecco un paio di suggerimenti:

In Chipmunk Basic, la variabile pi è preimpostata sul valore di π quando il programma inizia a funzionare.

e

In BASIC, il segno di uguale è usato sia per assegnare variabili che per testare l'uguaglianza. Quindi a = b = c viene interpretato come a = (b == c) .

C - La lunghezza di mezzo cerchio unitario

Un modo per calcolare π è semplicemente quello di misurare la distanza del punto (1, 0)si sposta durante la rotazione attorno al origine per (-1, 0)quanto sarà la metà della circonferenza di un cerchio unitario (che è 2π ).

Tuttavia, no sin(x)o cos(x)è necessario poiché ciò può essere fatto facendo un passo lungo l' origine e aggiungendo la distanza percorsa dal punto per ogni passo . Più piccola è la dimensione per ogni passo, più π si otterrà.

Nota: lo stepping termina quando y è inferiore a zero (che è esattamente mentre passa (-1, 0)).

#include <stdio.h>                          // for printf
#define length(y, x) ((x * x) + (y * y))
int main()
{
    double x, y;
    double pi, tau, step;
    // start at (2, 0) which actually calculates tau
    x  = 2;
    y  = 0;
    // the step needs to be very low for high accuracy
    step = 0.00000001;  
    tau = 0;
    while (y >= 0)
    {   // the derivate of (x, y) is itself rotated 90 degrees
        double dx = -y;
        double dy = x;

        tau += length(dx, dy) * step; // add the distance for each step to tau
        // add the distance to the point (make a tiny rotation)
        x += dx * step;
        y += dy * step;
    }
    pi = tau / 2;   // divide tau with 2 to get pi

    /* ignore this line *\                      pi *= 2;    /* secret multiply ^-^ */

    // print the value of pi
    printf("Value of pi is %f", pi); getchar(); 
    return 0;
}

Fornisce il seguente output:

Value of pi is 6.283185

C

(Questo alla fine è stato più lungo del previsto, ma lo posterò comunque ...)

Nel 17 ° secolo, Wallis pubblicò una serie infinita per Pi:

(Vedi Nuovi prodotti infiniti di tipo Wallis e Catalano per π, e e √ (2 + √2) per maggiori informazioni)

Ora, per calcolare Pi, dobbiamo prima moltiplicare per due per fattorizzare il denominatore:

La mia soluzione calcola quindi le serie infinite per Pi / 2 e due e quindi moltiplica i due valori insieme. Si noti che i prodotti infiniti sono incredibilmente lenti a convergere quando si calcolano i valori finali.

produzione:

pi: 6.283182

#include "stdio.h"
#include "stdint.h"

#define ITERATIONS 10000000
#define one 1

#define IEEE_MANTISSA_MASK 0xFFFFFFFFFFFFFULL

#define IEEE_EXPONENT_POSITION 52
#define IEEE_EXPONENT_BIAS 1023

// want to get an exact as possible result, so convert
// to integers and do custom 64-bit multiplication.
double multiply(double aa, double bb)
{
    // the input values will be between 1.0 and 2.0
    // so drop these to less than 1.0 so as not to deal 
    // with the double exponents.
    aa /= 2;
    bb /= 2;

    // extract fractional part of double, ignoring exponent and sign
    uint64_t a = *(uint64_t*)&aa & IEEE_MANTISSA_MASK;
    uint64_t b = *(uint64_t*)&bb & IEEE_MANTISSA_MASK;

    uint64_t result = 0x0ULL;

    // multiplying two 64-bit numbers is a little tricky, this is done in two parts,
    // taking the upper 32 bits of each number and multiplying them, then
    // then doing the same for the lower 32 bits.
    uint64_t a_lsb = (a & 0xFFFFFFFFUL);
    uint64_t b_lsb = (b & 0xFFFFFFFFUL);

    uint64_t a_msb = ((a >> 32) & 0xFFFFFFFFUL);
    uint64_t b_msb = ((b >> 32) & 0xFFFFFFFFUL);

    uint64_t lsb_result = 0;
    uint64_t msb_result = 0;

    // very helpful link explaining how to multiply two integers
    // http://stackoverflow.com/questions/4456442/interview-multiplication-of-2-integers-using-bitwise-operators
    while(b_lsb != 0)
    {
        if (b_lsb & 01)
        {
            lsb_result = lsb_result + a_lsb;
        }
        a_lsb <<= 1;
        b_lsb >>= 1;
    }
    while(b_msb != 0)
    {
        if (b_msb & 01)
        {
            msb_result = msb_result + a_msb;
        }
        a_msb <<= 1;
        b_msb >>= 1;
    }

    // find the bit position of the most significant bit in the higher 32-bit product (msb_answer)
    uint64_t x2 = msb_result;
    int bit_pos = 0;
    while (x2 >>= 1)
    {
        bit_pos++;
    }

    // stuff bits from the upper 32-bit product into the result, starting at bit 51 (MSB of mantissa)
    int result_position = IEEE_EXPONENT_POSITION - 1;
    for(;result_position > 0 && bit_pos > 0; result_position--, bit_pos--)
    {
        result |= ((msb_result >> bit_pos) & 0x01) << result_position;
    }

    // find the bit position of the most significant bit in the lower 32-bit product (lsb_answer)
    x2 = lsb_result;
    bit_pos = 0;
    while (x2 >>= 1)
    {
        bit_pos++;
    }

    // stuff bits from the lowre 32-bit product into the result, starting at whatever position
    // left off at from above.
    for(;result_position > 0 && bit_pos > 0; result_position--, bit_pos--)
    {
        result |= ((lsb_result >> bit_pos) & 0x01) << result_position;
    }

    // create hex representation of the answer
    uint64_t r = (uint64_t)(/* exponent */ (uint64_t)IEEE_EXPONENT_BIAS << IEEE_EXPONENT_POSITION) |
            (uint64_t)( /* fraction */ (uint64_t)result & IEEE_MANTISSA_MASK);

    // stuff hex into double
    double d = *(double*)&r;

    // since the two input values were divided by two,
    // need to multiply by four to fix the result.
    d *= 4;

   return d;
}

int main()
{
    double pi_over_two = one;
    double two = one;

    double num = one + one;
    double dem = one;

    int i=0;

    i=ITERATIONS;
    while(i--)
    {
        // pi = 2 2 4 4 6 6 8 8 ...
        // 2    1 3 3 5 5 7 7 9
        pi_over_two *= num / dem;

        dem += one + one;

        pi_over_two *= num / dem;

        num += one + one;
    }

    num = one + one;
    dem = one;

    i=ITERATIONS;
    while(i--)
    {
        // 2 = 2 4 4 6   10 12 12 14
        //     1 3 5 7    9 11 13 15
        two *= num / dem;

        dem += one + one;
        num += one + one;

        two *= num / dem;

        dem += one + one;

        two *= num / dem;

        dem += one + one;
        num += one + one;

        two *= num / dem;

        dem += one + one;
        num += one + one + one + one;
    }

    printf("pi: %f\n", multiply(pi_over_two, two));

    return 0;
}

L'esponente nella doppia conversione non può in realtà essere ignorato. Se questo è l'unico cambiamento (lascia la divisione per 2, la moltiplicazione per 4, la moltiplicazione intera) tutto funziona sorprendentemente.

Java - Serie Nilakantha

La serie Nilakantha è data come:

pi = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) ...

Quindi per ogni termine, il denominatore è costruito moltiplicando numeri interi consecutivi, con l'inizio che aumenta di 2 per ogni termine. Si noti che si aggiungono / sottraggono termini alternati.

public class NilakanthaPi {
    public static void main(String[] args) {
        double pi = 0;
        // five hundred terms
        for(int t=1;t<500;t++){
            // each i is 2*term
            int i=t*2;
            double part = 4.0 / ((i*i*t)+(3*i*t)+(2*t));
            // flip sign for alternating terms
            if(t%2==0)
                pi -= part;
            else
                pi += part;
            // add 3 for first term
            if(t<=2)
                pi += 3;
        }
        System.out.println(pi);
    }
}

Dopo cinquecento termini, otteniamo una stima ragionevole di pi:

6.283185311179568

C ++: Madhava di Sangamagrama

Questa serie infinita è ora conosciuta come Madhava-Leibniz :

Inizia con la radice quadrata di 48 e moltiplicala per il risultato della somma di (-3) ^-k / (2k + 1). Molto semplice e semplice da implementare:

long double findPi(int iterations)
{
    long double value = 0.0;

    for (int i = 0; i < iterations; i++) {
        value += powl(-3.0, -i) / (2 * i + 1);
    }

    return sqrtl(48.0) * value;
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    std::cout << "my pi: " << std::setprecision(16) << findPi(1000) << std::endl;

    return 0;
}

Produzione:

my pi: 6.283185307179588

Python - Un'alternativa alla serie Nilakantha

Questa è un'altra serie infinita per calcolare pi che è abbastanza facile da capire.

Per questa formula, prendi 6 e inizia a alternare tra l'aggiunta e la sottrazione di frazioni con numeratori di 2 e denominatori che sono il prodotto di due numeri interi consecutivi e la loro somma. Ogni frazione successiva inizia il suo insieme di numeri interi che aumentano di 1. Esegui questo anche alcune volte e i risultati si avvicinano abbastanza a pi.

pi = 6
sign = 1
for t in range(1,500):
i = t+1
   part = 2.0 / (i*t*(i+t))
   pi = pi + sign * part
   sign = - sign # flip sign for alternating terms  
print(pi)

che dà 6.283185.

#include "Math.h"
#include <iostream>
int main(){
    std::cout<<PI;
    return 0;
}

math.h:

#include <Math.h>
#undef PI
#define PI 6.28

Uscita: 6.28

#include "Math.h" non è lo stesso di #include, ma solo guardando il file principale, quasi nessuno penserebbe di controllarlo. Ovvio forse, ma un problema simile è apparso in un progetto a cui stavo lavorando e non è stato rilevato per molto tempo.