Codifica dell'albero binario

Supponiamo che tu abbia un albero binario completo (cioè ogni nodo interno ha esattamente due discendenti non vuoti). Ogni nodo contiene un numero intero diverso da zero. Ti viene assegnato il compito di codificare e decodificare l'albero in / da un elenco di numeri interi.

L'albero è memorizzato internamente qualcosa come:

struct node {
  int data;
  struct node *left, *right;
};

E devi implementare due funzioni:

int *encode(struct node *root);
struct node *decode(int *array);

Spetta a te come codificare e decodificare.

Punti per:

• lunghezza minima di codifica
• complessità (idealmente lineare nel numero di nodi)
• originalità

Nessun punto per la lunghezza del codice sorgente e non sei limitato a C.

Esempio di albero:

     5
    / \
   3   2
      / \
     2   1
    / \
   9   9

~ 1.03 N

Sembra che tutte le risposte finora richiedano almeno 2 * N * 32 bit per la memorizzazione. (Tranne le soluzioni in lingue che consentono valori interi più lunghi di 32 bit, come le soluzioni Haskell e Ruby - ma quelle richiedono ancora byte extra per codificare ogni volta che i dati sono maggiori di 16 KB.)

Ecco una soluzione che richiede solo N + soffitto (N / 32) +1 ints di memoria. Questo si avvicina a 1,03125 N per N grande ed è inferiore a 1,1 N per tutte N maggiore di 20.

L'idea è di memorizzare un bit in più per ogni nodo in cui 1 è "hasChildren". Questi bit sono impacchettati in N / 32 parole in primo piano.

int* encodeHelper(Node* n, int* code, int* pos, int* flag)
{
   int hasKids = (n->left!=0);
   code[*flag/32]|=hasKids<<(*flag&31);
   *flag+=1;
   if (hasKids) bencodeHelper(n->left, code, pos, flag);
   code[*pos]=n->data;
   *pos+=1;
   if (hasKids) bencodeHelper(n->right, code, pos, flag);
   return code;
}

int* encode(Node* h, int* sizeOut)
{
   int nnodes=countNodes(h);
   int nflags = (int)ceil(nnodes/32.0);
   int pos=nflags+1;
   int flag=32;
   int* out;
   *sizeOut = 1+nnodes+nflags;
   out = calloc(*sizeOut, sizeof(int));
   if (!h) return out;
   out[0]=nflags+1; //store start of data
   return encodeHelper(h,out,&pos,&flag);
}

Node* decodeHelper(int* code, int* pos, int* flag)
{
   Node*n = calloc(1, sizeof(Node));
   int hasKids = code[*flag/32]>>(*flag&31)&1;
   *flag+=1;
   if (hasKids) n->left = bdecodeHelper(code, pos, flag);
   n->data = code[*pos];
   *pos+=1;
   if (hasKids) n->right = bdecodeHelper(code, pos, flag);
   return n;
}

Node* decode(int* code)
{
   int flag=32;
   int pos=code[0];
   if (!pos) return NULL;
   return decodeHelper(code, &pos, &flag);
}

(implementazione completa qui)

Questo programma Haskell codifica un albero di n nodi in n numeri interi. Il trucco è che codifica i dati del nodo raddoppiati e quindi utilizza il bit di ordine inferiore per indicare se si tratta di un nodo foglia o di un nodo interno.

Tecnicamente, la Parsermonade qui è over-kill, poiché esiste un solo parser creato decodere avrei potuto inserire la logica di concatenamento del parser direttamente lì. Ma in questo modo il decodificatore è molto chiaro e Parsernonostante le dimensioni ridotte, è un framework di analisi semplice e ragionevole.

import Control.Monad (ap)

data Tree = Leaf Integer | Node Integer Tree Tree
  deriving (Eq, Show)

encode :: Tree -> [Integer]
encode (Leaf n)     = [n*2]
encode (Node n t u) = (n*2+1) : encode t ++ encode u

decode :: [Integer] -> Maybe Tree
decode = fullyParse decoder
  where
    decoder :: Parser Integer Tree
    decoder = do
      i <- next
      let n = i `div` 2
      if even i
        then return (Leaf n)
        else return (Node n) `ap` decoder `ap` decoder

-- A simple Parsing Monad
data Parser a b = P { runParser :: [a] -> Maybe (b, [a]) }

instance Monad (Parser a) where
  return a = P ( \ts -> Just (a, ts) )
  p >>= q  = P ( \ts -> runParser p ts >>= (\(v,ts') -> runParser (q v) ts') )
  fail _   = P ( const Nothing )

next :: Parser a a
next = P n
 where n (t:ts) = Just (t,ts)
       n _      = Nothing

fullyParse :: Parser a b -> [a] -> Maybe b
fullyParse p ts = runParser p ts >>= consumedResult
  where
    consumedResult (v,[]) = Just v
    consumedResult _      = Nothing

-- Example
main :: IO ()
main = do
    putStrLn $ "example:  " ++ show ex
    putStrLn $ "encoding: " ++ show encEx
    putStrLn $ "decoding: " ++ show decEx
    putStrLn $ "worked?   " ++ show worked
  where
    ex = Node 5
          (Leaf 3)
          (Node 2
            (Node 2
              (Leaf 9)
              (Leaf 9)
            )
            (Leaf 1)
          )
    encEx = encode ex
    decEx = decode encEx
    worked = maybe False (ex ==) decEx

In esecuzione questo ti dà:

> runhaskell TreeEncoding.hs 
example:  Node 5 (Leaf 3) (Node 2 (Node 2 (Leaf 9) (Leaf 9)) (Leaf 1))
encoding: [11,6,5,5,18,18,2]
decoding: Just (Node 5 (Leaf 3) (Node 2 (Node 2 (Leaf 9) (Leaf 9)) (Leaf 1)))
worked?   True

In C.

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>

struct Node;
typedef struct Node Node;

struct Node
{
    int   data;
    Node* left;
    Node* right;
};
/* Private Functions */
static int*  encodeNode(Node* tree, int* store);
static Node* decodeNode(int** store);

/* Public Functions */
Node*   newNode(int data,Node* left,Node* right);
void    deleteTree(Node* tree);
int     countNodesTree(Node* tree);
int*    encode(Node *tree);
Node*   decode(int* store);
void    printTree(Node* tree);

Node* newNode(int data,Node* left,Node* right)
{
    Node* result    = (Node*)malloc(sizeof(Node));
    result->data    = data;
    result->left    = left;
    result->right   = right;

    return result;
}

void deleteTree(Node* tree)
{
    if (tree == NULL)
    {   return;
    }

    deleteTree(tree->left);
    deleteTree(tree->right);
    free(tree);
}

int countNodesTree(Node* tree)
{
    if (tree == NULL)
    {   return 0;
    }

    return    countNodesTree(tree->left)
            + countNodesTree(tree->right)
            + 1;
}

void printTree(Node* tree)
{
    if (tree == NULL)
    {
        fprintf(stdout, "- ");
    }
    else
    {
        fprintf(stdout, "%d ", tree->data);
        printTree(tree->left);
        printTree(tree->right);
    }
};

La codifica:

int* encode(Node *tree)
{
    int     nodeCount   = countNodesTree(tree);
    int*    result      = (int*)malloc(sizeof(int) * (nodeCount * 2 + 1));

    // Put the node count in the first element.
    // This makes it easy to also serialize this object for transport
    // i.e. you can put it in a file or a stream (socket) and easily recover it.
    result[0]           = nodeCount;
    encodeNode(tree, result + 1);
    return result;
}

int* encodeNode(Node* tree, int* store)
{
    if (tree != NULL)
    {
        store[0]    = tree->data;
        /*
         * Slight overkill. for this question.
         * But works and makes future enhancement easy
         */
        store[1]    = (tree->left  == NULL ? 0 : 1)
                    + (tree->right == NULL ? 0 : 2);
        store += 2;

        store       = encodeNode(tree->left,  store);
        store       = encodeNode(tree->right, store);
    }
    return store;
}

Il decodifica:

Node* decode(int* store)
{
    if (store == NULL)
    { fprintf(stderr, "Bad Input terminating: encode() always return non NULL\n");
      exit(1);
    }

    if (store[0] == 0)
    {
        return NULL;
    }

    store++;
    return decodeNode(&store);
}

Node* decodeNode(int** store)
{
    int     value   = (*store)[0];
    int     flag    = (*store)[1];
    (*store) += 2;

    Node*   left    = flag & 1 ? decodeNode(store) : NULL;
    Node*   right   = flag & 2 ? decodeNode(store) : NULL;

    return newNode(value, left, right);
}

Principale:

int main()
{
    Node*   t = newNode(5,
                        newNode(3, NULL, NULL),
                        newNode(2,
                                newNode(2,
                                        newNode(9, NULL, NULL),
                                        newNode(9, NULL, NULL)
                                       ),
                                newNode(1, NULL, NULL)
                               )
                       );

    printTree(t);
    fprintf(stdout,"\n");

    int*    e   = encode(t);
    Node*   d   = decode(e);
    printTree(d);
    fprintf(stdout,"\n");

    free(e);
    deleteTree(d);
    deleteTree(t);
}

Nota. Ogni nodo è codificato come due numeri interi (più uno int per il conteggio dei nodi).
Quindi l'albero fornito codifica in questo modo:

 7, 5, 3, 3, 0, 2, 3, 2, 3, 9, 0, 9, 0 1, 0
 ^  ^
 ^  ^ Node 1
 ^
 Count

In Ruby, con la stessa codifica di @MtnViewMark :

class Node
        def initialize(data, left = nil, right = nil)
                @data, @left, @right = data, left, right
        end

        def encode
                "%d %s %s" % [@data<<1|1, @left.encode, @right.encode]
        end

        class << self
                def decode(str)
                        _decode(str.split.map &:to_i)
                end

                private

                def _decode(a)
                        n = a.shift
                        if n & 1 == 1
                                Node.new(n>>1, _decode(a), _decode(a))
                        else
                                Leaf.new(n>>1)
                        end
                end
        end
end

class Leaf < Node
        def encode
                (@data<<1).to_s
        end
end

tree=Node.decode("11 6 5 5 18 18 2")
print tree.encode

Il costo è un numero intero per nodo ( data << 1 | has_childs):

11 6 5 5 18 18 2

Dato un albero binario con nnodi, questo lo codifica in un elenco di 2n + 1numeri interi. Entrambi gli algoritmi di codifica e decodifica hanno O(n)complessità.

Uso il numero intero 0 come marcatore sentinella durante la codifica, indicando quando dispiego la ricorsione. Quindi, quando sto decodificando, metto i nodi dell'albero che sto creando su uno stack (di sorta) e uso gli 0 nell'elenco per tenere traccia di dove aggiungere il nodo successivo. Non ci ho provato, ma sono abbastanza sicuro che la decodifica si interromperebbe se l'albero non fosse completo.

#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// Prototypes
struct BTnode;
struct BTnode * bt_add_left(struct BTnode * node, int data);
struct BTnode * bt_add_right(struct BTnode * node, int data);
int             bt_depth(struct BTnode * tree);
int             bt_encode_preorder(int * list, struct BTnode * tree, int index);
struct BTnode * bt_node_create(int data);
int             bt_node_delete(struct BTnode * node);
void            bt_print_preorder(struct BTnode * tree);
int *           encode(struct BTnode * tree);
struct BTnode * decode(int * list);

// Binary tree node
struct BTnode
{
  int data;
  struct BTnode *left, *right;
};

// Add node to this node's left
struct BTnode * bt_add_left(struct BTnode * node, int data)
{
  struct BTnode * newnode = bt_node_create(data);
  node->left = newnode;
  return newnode;
}

// Add node to this node's right
struct BTnode * bt_add_right(struct BTnode * node, int data)
{
  struct BTnode * newnode = bt_node_create(data);
  node->right = newnode;
  return newnode;
}

// Determine depth of the tree
int bt_depth(struct BTnode * tree)
{
  int depth;
  int leftdepth = 0;
  int  rightdepth = 0;
  if( tree == NULL ) return 0;

  if( tree->left != NULL )
    leftdepth = bt_depth(tree->left);
  if( tree->right != NULL )
    rightdepth = bt_depth(tree->right);

  depth = leftdepth;
  if(rightdepth > leftdepth)
    depth = rightdepth;

  return depth + 1;
}

// Recursively add node values to integer list, using 0 as an unfolding sentinel
int bt_encode_preorder(int * list, struct BTnode * tree, int index)
{
  list[ index++ ] = tree->data;

  // This assumes the tree is complete (i.e., if the current node does not have
  // a left child, then it does not have a right child either)
  if( tree->left != NULL )
  {
    index = bt_encode_preorder(list, tree->left, index);
    index = bt_encode_preorder(list, tree->right, index);
  }

  // Add sentinel
  list[ index++ ] = 0;
  return index;
}

// Allocate memory for a node
struct BTnode * bt_node_create(int data)
{
  struct BTnode * newnode = (struct BTnode *) malloc(sizeof(struct BTnode));
  newnode->left = NULL;
  newnode->right = NULL;
  newnode->data = data;
  return newnode;
}

// Free node memory
int bt_node_delete(struct BTnode * node)
{
  int data;
  if(node == NULL)
    return 0;
  data = node->data;

  if(node->left != NULL)
    bt_node_delete(node->left);
  if(node->right != NULL)
    bt_node_delete(node->right);

  free(node);
  return data;
}

// Print all values from the tree in pre-order
void bt_print_preorder(struct BTnode * tree)
{
  printf("%d ", tree->data);
  if(tree->left != NULL)
    bt_print_preorder(tree->left);
  if(tree->right != NULL)
    bt_print_preorder(tree->right);
}

// Decode binary tree structure from a list of integers
struct BTnode * decode(int * list)
{
  struct BTnode * tree;
  struct BTnode * nodestack[ list[0] ];
  int i,j;

  // Handle trivial case
  if( list == NULL ) return NULL;

  tree = bt_node_create( list[1] );
  nodestack[ 1 ] = tree;

  j = 1;
  for(i = 2; i < list[0]; i++)
  {
    if( list[i] == 0 )
    {
      //printf("popping\n");
      j--;
    }
    else
    {
      if( nodestack[j]->left == NULL )
      {
        //printf("Adding %d to left of %d\n", list[i], nodestack[j]->data);
        nodestack[ j+1 ] = bt_add_left(nodestack[j], list[i]);
        j++;
      }
      else
      {
        //printf("Adding %d to right of %d\n", list[i], nodestack[j]->data);
        nodestack[ j+1 ] = bt_add_right(nodestack[j], list[i]);
        j++;
      }
    }
  }

  return tree;
}

// Encode binary tree structure as a list of integers
int * encode(struct BTnode * tree)
{
  int maxnodes, depth, length;
  int * list;
  int j;

  // Handle trivial case
  if(tree == NULL) return NULL;

  // Calculate maximum number of nodes in the tree from the tree depth
  maxnodes = 1;
  depth = bt_depth(tree);
  for(j = 0; j < depth; j++)
  {
    maxnodes += pow(2, j);
  }

  // Allocate memory for the list; we need two ints for each value plus the
  // first value in the list to indicate length
  list = (int *) malloc( ((maxnodes * 2)+1) * sizeof(int));
  length = bt_encode_preorder(list, tree, 1);
  list[ 0 ] = length;
  return list;
}

int main()
{
  struct BTnode * tree;
  struct BTnode * newtree;
  int * list;
  int i;

  /* Provided example

        5
       / \
      3   2
         / \
        2   1
       / \
      9   9
  */
  tree = bt_node_create(5);
  bt_add_left(tree, 3);
  struct BTnode * temp = bt_add_right(tree, 2);
  bt_add_right(temp, 1);
  temp = bt_add_left(temp, 2);
  bt_add_left(temp, 9);
  bt_add_right(temp, 9);
  printf("T (traversed in pre-order):  ");
  bt_print_preorder(tree);
  printf("\n");

  list = encode(tree);
  printf("T (encoded as integer list): ");
  for(i = 1; i < list[0]; i++)
    printf("%d ", list[i]);
  printf("\n");

  newtree = decode(list);
  printf("T' (decoded from int list):  ");
  bt_print_preorder(newtree);
  printf("\n\n");


  // Free memory
  bt_node_delete(tree);
  bt_node_delete(newtree);
  free(list);
  return 0;
}

Salvato questo come encode.cpoi compilato ed eseguito. Questo programma utilizza l'albero di esempio che hai fornito e l'ho testato con successo su alcuni altri.

$ gcc -Wall -lm -o encode encode.c
$ ./encode 
T (traversed in pre-order):  5 3 2 2 9 9 1 
T (encoded as integer list): 5 3 0 2 2 9 0 9 0 0 1 0 0 0 
T' (decoded from int list):  5 3 2 2 9 9 1

Il mio codice codifica l'albero in un attraversamento preordine, ogni foglia in due in (i suoi dati sono seguiti da 0) e ogni nodo interno in un int (i suoi dati sono seguiti dal suo figlio sinistro, poi dalla sua destra). Per un albero binario completo (come lo definisci) con n nodi, n deve essere dispari e ci sono (n + 1) / 2 foglie e (n-1) / 2 nodi interni, quindi è 3n / 2 + 1 / 2 numeri interi per la codifica.

avviso: non testato, appena inserito.

struct node {
  int data;
  struct node *left, *right;
};

void encodeInternal(struct node *root, vector<int> *buf) {
  buf->push_back(root->data);
  if (root->left) {
    encodeInternal(root->left, buf);
    encodeInternal(root->right, buf);
  } else {
    buf->push_back(0);
  }
}
int *encode(struct node *root) {
  vector<int> buf;
  encodeInternal(root, &buf);
  return &buf[0];
}

struct decodeResult {
  int encoded_size;
  struct node *n;
}
struct decodeResult decodeInternal(int *array) {
  struct node *n = (struct node*)malloc(sizeof(struct node));
  n->data = array[0];
  if (array[1] == 0) {
    n->left = n->right = NULL;
    return (decodeResult){2, n};
  } else {
    decodeResult L = decodeInternal(array + 1);
    decodeResult R = decodeInternal(array + 1 + L.encoded_size);
    n->left = L.n;
    n->right = R.n;
    return (decodeResult){1 + L.encoded_size + R.encoded_size, n};
  }
}
struct node *decode(int *array) {
  return decodeInternal(array).n;
}

Ecco il mio tentativo. Memorizza l'albero in una matrice di dimensioni 2 ** profondità + 1. Usa a[0]per contenere le dimensioni e a[size]per contenere l'indice del primo "nodo vuoto" che incontra in un attraversamento in profondità. (Un nodo vuoto è il luogo in cui un bambino verrebbe archiviato se il genitore ne avesse uno). Ogni nodo vuoto contiene l'indice del successivo nodo vuoto che verrà incontrato.

Questo schema evita di riservare bit per contrassegnare i figli presenze, quindi ogni nodo può usare l'intero intervallo intero. Permette anche alberi sbilanciati: un genitore può avere un solo figlio.

produzione:

empty tree:  [0]
head node only:  [2,5,0]
example tree: [16,5,3,2,5,14,2,1,0,0, 0,0,9,9,15,0,4];

L'encoder:

//utility
 int findDepth(Node* n) {
    int l = 0 ,r = 0;
    if (n) {
       l = 1 + findDepth(n->left);
       r = 1 + findDepth(n->right);
    }
    return ( l > r ) ? l : r;
 }

//Encode Function
 int* encodeTree(Node* head) {
    int* out;
    int depth = findDepth(head);
    int size = depth>0;
    while (depth--) size*=2;
    out = calloc(size+1,sizeof(int));
    out[0]=size;
    encodeNode(head, out,1, out+size);
    return out;
 }

 void encodeNode(Node* n, int* a, int idx, int* pEmpty) {
    if (n) {
       a[idx]=n->data;
       encodeNode(n->left,a,idx*2,pEmpty);
       encodeNode(n->right,a,idx*2+1,pEmpty);
    }
    else if (idx<a[0]) {
       *pEmpty = idx;
       pEmpty = a+idx;
    }
 }

Il decodificatore:

 //Decode Function
 Node* decodeArray(int* a) {
    return (a[0]) ?  decodeNode(a,1,a+a[0]) : NULL;
 }

 Node* decodeNode(int* a, int idx, int* pEmpty) {
    Node* n = NULL;
    if (idx== *pEmpty)
       *pEmpty=a[idx];
    else {
       n = calloc(1,sizeof(Node));
       n->data = a[idx];
       if (idx*2<a[0]) {
          n->left = decodeNode(a, idx*2, pEmpty);
          n->right = decodeNode(a, idx*2+1, pEmpty);
       }
    }
    return n;
 }

(grazie @daniel sobral per aver corretto la formattazione)

Scala:

trait Node {
  def encode (): Array[Int]
}

case object Node {
  def decode (a: Array[Int]): InnerNode = {
    if (a.length == 1) InnerNode (a(0)) else {
      val r = InnerNode (a(1)) 
      val l = decode (a.tail.tail) 
      InnerNode (a(0), l, r) 
    }
  }
}

case object Leaf extends Node {
  def encode (): Array[Int] = Array.empty
}

case class InnerNode (val data: Int, var l: Node=Leaf, var r: Node=Leaf) extends Node {
  def encode (): Array[Int] = Array (data) ++ r.encode () ++ l.encode () 
}

object BinTreeTest extends App {
  println (Node.decode (Array (1, 2, 3, 4, 5)).encode.mkString (", "))
}

Questo è un approccio che utilizza la sintassi obsoleta, ma viene compilato senza errori in Scala 2.9.1. Genera un albero e decodifica ogni albero codificato sulla stessa matrice utilizzata per la codifica. Forse oggi mi sbarazzerò in qualche modo degli avvertimenti deprecati.

Caspita - era semplice. La prima idea ha funzionato immediatamente.