Trova i numeri di parentesi più brevi

I numeri di parentesi rappresentano un modo semplice per esprimere numeri interi grandi usando solo parentesi quadra sinistra, spazio e parentesi quadra destra ( [ ]).

Un numero di parentesi è definito come una stringa di una o più coppie di parentesi corrispondenti [...]chiamate blocchi , ciascuna separata dai suoi vicini da zero o più spazi.

Il numero di spazi tra ciascun blocco definisce l' iperoperabilità tra di essi. Nessuno spazio significa addizione, 1 spazio significa moltiplicazione, 2 spazi significa esponenziazione, 3 spazi significa tetrazione e così via. Le iperoperazioni di ordine superiore hanno la precedenza, quindi la tetrazione si verifica prima dell'espiazione, l'espiazione si verifica prima della moltiplicazione, ecc. Sono anche associativi a destra, quindi a^b^cviene calcolato come a^(b^c). (Ma a^b*cè ancora (a^b)*c.)

Ogni blocco può essere vuoto ( []) o contenere un altro numero di parentesi. I blocchi vuoti hanno il valore 0. I blocchi non vuoti hanno il valore del loro numero di parentesi contenuto più 1.

Esempi: (^^ è tetrazione, ^^^è pentazione )

[[]]ha valore 1 perché è 0 ( []) incrementato di 1
[[[]]]ha valore 2 ma lo è anche [[]][[]]perché [[]]vengono aggiunti i due ( )
[[[]]] [[[[]]] [[[[]]]]][[[]]] ha valore 20 = (2 * ((2 ^ 3) +1)) + 2
[[[]]] [[[[]]]] ha valore 65536 = 2 ^^^ 3 = 2 ^^ (2 ^^ 2) = 2 ^^ 4 == 2 ^ (2 ^ (2 ^ 2))
[[[[]]]] [[[]]] [[]] ha valore 7625597484987 = 3 ^^^ (2 ^^^ 1) = 3 ^^^ 2 = 3 ^^ 3 = 3 ^ (3 ^ 3)

In numeri di parentesi validi:

Non ci saranno mai spazi iniziali o finali.
Ci sarà sempre almeno una coppia di parentesi corrispondenti.
Tutte le parentesi quadre avranno una parentesi destra corrispondente.
Uno spazio non apparirà mai direttamente a destra [né a sinistra di ].
Il valore è sempre un numero intero non negativo.

Sfida

Si noti che potrebbero esserci molti moduli per un numero di parentesi che danno lo stesso valore. [[[[[[[[[[[[[[[[[]]]]]]]]]]]]]]]]]ed [[[]]] [[[[]]]]entrambi rappresentano 16, ma quest'ultimo è molto più breve.

La tua sfida è quella di scrivere un algoritmo che tenti di trovare la rappresentazione del numero di parentesi più breve di un dato valore. Ad esempio, credo che il modo più breve per rappresentare 16 sia con 17 caratteri come [[[]]] [[[[]]]].

Punteggio (aggiornato)

Sia S l'insieme di numeri interi compresi tra 1 e 256 (inclusi), nonché i seguenti dieci valori:

8191 13071 524287 2147483647 1449565302 1746268229 126528612 778085967 1553783038 997599288

(I primi 4 sono numeri primi di Mersenne, gli altri sono casuali.)

Vincerà l'invio che genera l'insieme più breve di numeri di parentesi per tutto in S. Il tuo punteggio è la somma delle lunghezze dei numeri di parentesi per tutti i valori in S (più piccolo è meglio).

Con il tuo codice, ti preghiamo di inviare un elenco dei numeri di parentesi per tutte le S , l'ordine esatto non è di fondamentale importanza. per esempio:

1=[[]]
2=[[[]]]
3=[[[[]]]]
...
2147483647=[...]
...

(So che questo non è il metodo di punteggio ottimale ma non sono impostato per eseguire un sacco di test euristici casuali su ogni invio. Ci dispiace :()

Regole

Si può non hardcoded alcun numero staffa oltre alle soluzioni incrementali banali ([], [[]], [[[]]], ... ). Il tuo programma deve effettivamente cercare rappresentazioni brevi in modo ottimale. (Sebbene i risultati possano essere non ottimali.)
L'algoritmo dovrebbe funzionare per tutti gli interi non negativi inferiori a 2.147.483.648 (2 ^ 31). Non puoi concentrarti specificamente sui valori in S .
Per ogni input particolare, il tuo algoritmo dovrebbe funzionare al massimo 10 minuti su un computer moderno decente (processore ~ 2,5 Ghz, ~ 6 GB RAM).
Nella (apparentemente) rara possibilità di pareggio vince la proposta più votata.
Se copi un'altra soluzione o la rivedi senza attribuzione verrai squalificato.

— Hobby di Calvin
fonte

Penso che 256 potrebbe essere un po 'troppo basso. Non ci si arriva nemmeno molto lontano con le iperoperazioni in questi numeri. Ma potrei sbagliarmi, non riesco davvero a capire quante possibilità ci siano di rappresentare 256 che non possono essere facilmente escluse.

— Martin Ender,

@ MartinBüttner Lo so. Avevo preso in considerazione 512 o 1024 ma ero preoccupato che avrebbe costretto le persone a inviare enormi blocchi di testo per i loro elenchi di numeri di parentesi. Cosa pensano gli altri?

— Calvin's Hobbies,

@Calvin'sHobbies: Che ne dici di chiedere un numero grande selezionato in aggiunta al 1..256? Di ', il Mersenne prime 2 ^ 31 - 1.

— Charles

@Calvin'sHobbies Scegli 10-20 numeri più grandi specifici oltre alla tua gamma?

— hmatt1,

Ok, nome utente aggiornato .... Non voglio che il mio cattivo comportamento sia attribuito in modo errato

— Non che Charles

Risposte:

Python 11455b

Questa soluzione utilizza un approccio avido per trovare il modo di scomporre i numeri primi, piuttosto che un approccio esaustivo. Ho bisogno di 9875b per 1-256 rispetto a 8181 per la soluzione probabilmente ottimale di Martin in quello spazio.

Una tabella più ampia di risultati di moltiplicazione ed esponenziazione produce lievi miglioramenti nei casi di test più grandi. La soluzione seguente ha richiesto circa 7 minuti. Aumentare l'autonomia oltre i 30 minuti ha un impatto minimo sull'output.

Come Martin, ho avuto un problema con la precedenza. La mia soluzione nel limitare la selezione delle operazioni potrebbe non essere ottimale.

#!/usr/bin/env python

# http://codegolf.stackexchange.com/questions/35480/find-the-shortest-bracket-numbers

import sys, math

reps = {}
forwards = {}
backwards = {}

MAX = 2**31

TABLE_SIZE = 2**12

def op_dec(op):
    if op>1:
        return op-1
    return op

def rep_op(a,op,b):
    return rep_num(a) +  (" "*op) + rep_num(b)
def min_rep_op(a,op,b,op_max):
    return min_rep(a,op_max) +  (" "*op) + min_rep(b,op_dec(op_max))

def rep_num(a):
    return ("["*(a+1)) + ("]"*(a+1))

def min_rep(n,op_max):
    if n < 9:
        return ("["*(n+1))+("]"*(n+1))
    for op in range(op_max,-1,-1):
        if (n, op) in reps:
            return reps[(n, op)]
    for op in range(op_max,-1,-1):
        if (n, op) in backwards:
            a,op,b = backwards[(n, op)]
            return min_rep_op(a,op,b,op_max)
    else:
        for m in rep_list:
            c = m[0]
            if c < n:
                r = n - c
                for op in range(op_max,-1,-1):
                    if (c, op) in backwards:
                        a,op,b = backwards[(c, op)]
                        if r<10:
                            return ("["*r) + min_rep_op(a,op,b,op_max) + ("]"*r)
                        else:
                            return "[" + min_rep(r-1,op_max) + min_rep_op(a,op,b,op_max) + "]"
                break

def expand(a,op,b):
    if op == 0:
        n = a+b
    elif op == 1:
        n = a*b
    elif op == 2:
        if b*math.log10(a) > math.log10(MAX):
            n = MAX
        else: 
            n = a**b
    elif (a,op,b) in forwards:
        n = forwards[(a,op,b)]
    else: # tetration and higher
        t = a
        for i in xrange(b-1):
            t = expand(a,op-1,t)
            if t>=MAX:
                break
        n = t

    if n > MAX-1:
        n = MAX
    forwards[(a,op,b)] = n

    if (n, op) in backwards:
        c = len(rep_op(*backwards[(n, op)]))
        if c > (a*2+op+b*2):
            backwards[(n, op)] = (a,op,b)
    else:
        backwards[(n, op)] = (a,op,b)

    return n

t = 0

# populate the multiplication, exponentiation, and tetration tables
for op in range(1,4):
    for a in range((1,2,2,2)[op],TABLE_SIZE):
        for b in range((1,2,2,2)[op],TABLE_SIZE):
            t = expand(a,op,b)
            if t == MAX:
                break
rep_list = sorted(backwards.keys(),key=lambda x: x[0]*4-x[1],reverse=True)

for i in list(range(1, 257))+[8191,13071,524287,2147483647,1449565302,1746268229,126528612,778085967,1553783038,997599288]:
    t = min_rep(i,3)
    reps[i] = t
    print i, t

Produzione:

1 [[]]
2 [[[]]]
3 [[[[]]]]
4 [[[[[]]]]]
5 [[[[[[]]]]]]
6 [[[[[[[]]]]]]]
7 [[[[[[[[]]]]]]]]
8 [[[[[[[[[]]]]]]]]]
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— Sparr
fonte

matematica

Nota: questo algoritmo non potrà mai avvicinarsi ai numeri di test più grandi. Avrei bisogno di un approccio sostanzialmente diverso, quindi lo lascerò così com'è per gli altri per controllare i loro numeri più bassi. Puoi considerare questa presentazione non valida.

Ecco un inizio per i primi 256 numeri (gli altri sono stati aggiunti dopo che ho iniziato e probabilmente ho bisogno di trovare una soluzione separata per quelli)

1=[[]]
2=[[[]]]
3=[[[[]]]]
4=[[[[[]]]]]
5=[[[[[[]]]]]]
6=[[[[[[[]]]]]]]
7=[[[[[[[[]]]]]]]]
8=[[[]]]  [[[[]]]]
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177=[[[[[[[]]]]   [[[]]]]] [[[]]]] [[[[]]]]
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182=[[[[[[[[[]]]]]]]  [[[]]] [[[[[[]]]]]]]]
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188=[[[[[]]]   [[[[]]]]] [[[[[[]]]]  [[[]]]]]]
189=[[[[]]]]   [[[]]] [[[[[[[[]]]]]]]]
190=[[[[[]]]]   [[[]]] [[[[[[[[]]]]]]]]]
191=[[[[[[]]]]   [[[]]] [[[[[[[[]]]]]]]]]]
192=[[[[[]]]]]  [[[[]]]] [[[[]]]]
193=[[[[[[]]]]]  [[[[]]]] [[[[]]]]]
194=[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]] [[[[]]]]]]
195=[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]] [[[[]]]]
196=[[[[[[[]]]]] [[[[]]]]]]  [[[]]]
197=[[[[[[[[]]]]] [[[[]]]]]]  [[[]]]]
198=[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]] [[[[]]]]
199=[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]] [[[[]]]]]
200=[[[[[]]]]  [[[]]]]  [[[]]] [[[]]]
201=[[[[[[]]]]  [[[]]]]  [[[]]] [[[]]]]
202=[[[[[[]]]]  [[[]]]]  [[[]]]] [[[]]]
203=[[[[[[[]]]]  [[[]]]]  [[[]]]] [[[]]]]
204=[[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]]] [[[[]]]]
205=[[[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]]] [[[[]]]]]
206=[[[[[[[[]]]]  [[[]]]]  [[[]]]]]] [[[]]]
207=[[[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]]]] [[[[]]]]
208=[[[]]]   [[[[]]]] [[[[[[]]]]] [[[[]]]]]
209=[[[[]]]   [[[[]]]] [[[[[[]]]]] [[[[]]]]]]
210=[[[[[[[]]]]   [[[]]]]]] [[[[[[[[]]]]]]]]
211=[[[[[[[[]]]]   [[[]]]]]] [[[[[[[[]]]]]]]]]
212=[[[[[[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[]]]] [[[[[]]]]]
213=[[[[[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]]]]]] [[[[]]]]
214=[[[[[[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]]]]]] [[[[]]]]]
215=[[[[[[[[[]]]]]]]] [[[[[[[]]]]]]]] [[[[[[]]]]]]
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217=[[[[[[[[]]]]]]]  [[[[]]]]]
218=[[[[[[[[[]]]]]]]  [[[[]]]]]]
219=[[[[[[[[[[]]]]]]]  [[[[]]]]]]]
220=[[[[[[[[[[[]]]]]]]  [[[[]]]]]]]]
221=[[[[[[[[[[[[]]]]]]]  [[[[]]]]]]]]]
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223=[[[[[[[[[[[[[[]]]]]]]  [[[[]]]]]]]]]]]
224=[[[[[]]]]   [[[]]]] [[[]]]  [[[[]]]]
225=[[[[[[]]]]]]  [[[]]] [[[[]]]]  [[[]]]
226=[[[[[[[]]]]]]  [[[]]] [[[[]]]]  [[[]]]]
227=[[[[[[[[]]]]]]  [[[]]] [[[[]]]]  [[[]]]]]
228=[[[[[[]]]]   [[[]]]] [[[]]]] [[[[[]]]]]
229=[[[[[[[]]]]   [[[]]]] [[[]]]] [[[[[]]]]]]
230=[[[[[[[[]]]]   [[[]]]] [[[]]]] [[[[[]]]]]]]
231=[[[[]]]  [[[[[[]]]]]]] [[[[[[[[]]]]]]]]
232=[[[[[[]]]]   [[[]]]]] [[[]]]  [[[[]]]]
233=[[[[[[[]]]]   [[[]]]]] [[[]]]  [[[[]]]]]
234=[[[[[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[[]]]]  [[[]]]
235=[[[[[[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[[]]]]  [[[]]]]
236=[[[[[[[]]]]   [[[]]]]] [[[]]]] [[[[[]]]]]
237=[[[[[[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[[]]]]] [[[[]]]]
238=[[[[[]]]  [[[[[[]]]]]]]] [[[[[[[[]]]]]]]]
239=[[[[[[]]]  [[[[[[]]]]]]]] [[[[[[[[]]]]]]]]]
240=[[[]]]   [[[[]]]] [[[[[[]]]]]] [[[[]]]]
241=[[[[]]]   [[[[]]]] [[[[[[]]]]]] [[[[]]]]]
242=[[[[[[]]]]  [[[]]]]]  [[[]]] [[[]]]
243=[[[[]]]]  [[[[[[]]]]]]
244=[[[[[]]]]  [[[[[[]]]]]]]
245=[[[[[[]]]]  [[[[[[]]]]]]]]
246=[[[[[[[]]]]  [[[[[[]]]]]]]]]
247=[[[[[[[[]]]]  [[[[[[]]]]]]]]]]
248=[[[[[[[[[]]]]  [[[[[[]]]]]]]]]]]
249=[[[[[[]]]]  [[[[[]]]]]]] [[[[]]]]
250=[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]] [[[]]]
251=[[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]] [[[]]]]
252=[[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]]] [[[]]]
253=[[[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]]] [[[]]]]
254=[[[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]]]] [[[]]]
255=[[[[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]]]] [[[]]]]
256=[[[[[]]]]]   [[[]]]

La lunghezza totale dei primi 256 numeri è di 7963 caratteri. Non so se sia ottimale.

Ignorando inoltre, i risultati per 8191 e 13071 sono stati trovati in pochi secondi e 524387 in un paio di minuti come

8191=[[[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]]] [[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]
13071=[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[[]]]]
524387=[[[[[[[[]]]]]  [[[[]]]]] [[[[[]]]]]  [[[[]]]]] [[[[[[[]]]]]]  [[[[]]]]]]

a 164 caratteri insieme.

Ecco il codice:

ClearAll[repr, sl, i, j, op, re, frontop, rearop, lastop];
repr[n_] = "";
repr[0] = "[]";
(*Hard-code higher-order solutions*)
repr[65536] = "[[[]]]    [[[[]]]]";
repr[16] = "[[[]]]   [[[[]]]]";
repr[27] = "[[[[]]]]   [[[]]]";
repr[256] = "[[[[[]]]]]   [[[]]]";
repr[3125] = "[[[[[[]]]]]]   [[[]]]";
repr[46656] = "[[[[[[[]]]]]]]   [[[]]]";
repr[823543] = "[[[[[[[[]]]]]]]]   [[[]]]";
repr[16777216] = "[[[[[[[[[]]]]]]]]]   [[[]]]";
repr[387420489] = "[[[[[[[[[[]]]]]]]]]]   [[[]]]";
frontop[n_] = 2;
rearop[n_] = 2;
sl[n_] := If[repr[n] == "", Infinity, StringLength@repr@n];
n = 256;
op[0] := (# + #2) &
op[1] := (#*#2) &
op[2] := (#^#2) &
re[0] := (repr@# <> repr@#2) &
re[1] := (repr@# <> " " <> repr@#2) &
re[2] := (repr@# <> "  " <> repr@#2) &
For[i = 0, i < n, ++i,
  If[sl[i + 1] >= sl[i] + 2,
   repr[i + 1] = "[" <> repr[i] <> "]";
   frontop[i + 1] = 2; rearop[i + 1] = 2
   ];
  For[m = 0, m < 3, ++m,
   If[rearop[i] >= m,
    For[j = 1, j <= i, ++j,
     If[frontop[j] < m || (res = op[m][i, j]) > n, Break[]];
     rep = re[m][i, j];
     If[sl[res] > StringLength@rep ||
       sl[res] == StringLength@rep && m > frontop[res],
      repr[res] = rep;
      If[m == 2,
       frontop[res] = 2; rearop[res] = 1,
       frontop[res] = m;
       rearop[res] = m
       ]
      ]
     ]
    ];
   If[frontop[i] >= m,
    For[j = 1, j <= i, ++j,
     If[rearop[j] < m || (res = op[m][j, i]) > n, Break[]];
     rep = re[m][j, i];
     If[sl[res] > StringLength@rep ||
       sl[res] == StringLength@rep && m > frontop[res],
      repr[res] = rep;
      If[m == 2,
       frontop[res] = 2; rearop[res] = 1,
       frontop[res] = m;
       rearop[res] = m
       ]
      ]
     ]
    ]
   ];
  ];

Ho usato una ricerca esaustiva fino all'esponenziazione. Non vi sono operazioni di tetrazione o di ordine superiore. Ho appena provato manualmente le operazioni di ordine superiore e ci sono solo poche combinazioni che danno effettivamente numeri inferiori a 2 ³¹ , quindi ho appena codificato quelle che funzionano.

Modifica: la mia soluzione precedente non si è preoccupata della precedenza, ha semplicemente messo insieme le cose. ~~Ora penso che il mio nuovo codice lo risolva,~~ ma nessuno dei primi 256 numeri è cambiato, né ha 8191 (che era valido prima, ho controllato) ... ed è tardi per me dire subito se il mio codice lo ha effettivamente risolto . Domani darò un'altra occhiata e aggiungerò anche una spiegazione, perché ora con il controllo della precedenza è un po 'contorto (speriamo che dovrebbe ridurre i tempi di ricerca).

Modifica: Okay, c'erano alcuni bug come previsto. Penso di averlo corretto ora, aumentando la lunghezza totale per 1 - 256 a 7963 . Non sono più sicuro che questo sia ottimale, perché potrebbe essere possibile trovare soluzioni più brevi da parti non ottimali se consentono operazioni di ordine superiore. Una spiegazione seguirà quando riuscirò a ripulire un po 'il codice.

— Martin Ender
fonte

Mi dispiace continuare a cambiare le cose su di te, ma ho aggiornato il formato dell'elenco con qualcosa di più leggibile. Ultimo grande cambiamento, lo giuro!

— Calvin's Hobbies,

Sembra anche che ti manchi 256.

— Calvin's Hobbies

@Calvin'sHobbies Correzione e aggiunta tetrazione. Credo di aver risolto in modo ottimale l'intervallo da 1 a 256.

— Martin Ender,

il tuo 1-256 sembra essere 8181 caratteri con una nuova riga o punto e virgola tra ciascuno. bel lavoro, nel complesso!

— Sparr

Il tuo 16 sembra essere non ottimale. Stai esprimendo 16 come 4 ^ 2, che è 18 caratteri, mentre con 2 ^^ 3, sarebbe di 17 caratteri.

— isaacg

Python 9219b

Questa è la mia seconda voce. Ho iniziato da zero e ho provato una nuova disposizione dei dati, incluso l'uso del pacchetto blist per elenchi e dicts ordinati, e alcuni nuovi approcci per trovare soluzioni di grandi dimensioni. Penso di avere un 1-256 ottimale. L'aumento del tempo di esecuzione da 30 a 4 m ha ridotto i grandi casi di test di circa 30 byte.

# https://pypi.python.org/pypi/blist/
# provides sorteddict
from blist import *

import math, sys

TABLE_SIZE=2**8
MAX_INT = 2**31

repr = sorteddict()

for i in range(12):
    repr[i] = sorteddict({(i*2+2,-1,-1):("["*(i+1)+"]"*(i+1), str(i))});

repr    [65536] = sorteddict({(18, 4, 4):("[[[]]]    [[[[]]]]", "2^^^3")}); # 2^^^3 = 2^^(2^^2) = 2^(2^(2^2))
repr       [16] = sorteddict({(17, 3, 3):("[[[]]]   [[[[]]]]", "2^^3")}); # 2^^3 = 2^(2^2)
repr       [27] = sorteddict({(17, 3, 3):("[[[[]]]]   [[[]]]", "3^^2")}); # 3^^2 = 3^3
repr      [256] = sorteddict({(19, 3, 3):("[[[[[]]]]]   [[[]]]", "4^^2")}); # 4^^2 = 4^4
repr     [3125] = sorteddict({(21, 3, 3):("[[[[[[]]]]]]   [[[]]]", "5^^2")}); # 5^^2 = 5^5
repr    [46656] = sorteddict({(23, 3, 3):("[[[[[[[]]]]]]]   [[[]]]", "6^^2")}); # 6^^2 = 6^6
repr   [823543] = sorteddict({(25, 3, 3):("[[[[[[[[]]]]]]]]   [[[]]]", "7^^2")}); # 7^^2 = 7^7
repr [16777216] = sorteddict({(27, 3, 3):("[[[[[[[[[]]]]]]]]]   [[[]]]", "8^^2")}); # 8^^2 = 8^8
repr[387420489] = sorteddict({(29, 3, 3):("[[[[[[[[[[]]]]]]]]]]   [[[]]]", "9^^2")}); # 9^^2 = 9^9

def expr_to_repr(a,op,b):
    rep_a = None
    for d,r in repr[a].iteritems():
        op_min, op_max = ((0,9),(1,9),(3,9))[op]
        if (d[1]==-1 or d[1]>=op_min) and d[2]<=op_max:
            rep_a = (d,r)
            break
    if not rep_a:
        rep_a = ((a*2+2,-1,-1),("["*(a+1)+"]"*(a+1), str(a)));

    rep_b = None
    for d,r in repr[b].iteritems():
        op_min, op_max = ((0,9),(1,9),(3,9))[op]
        if (d[1]==-1 or d[1]>=op_min) and d[2]<=op_max:
            rep_b = (d,r)
            break
    if not rep_b:
        rep_b = ((b*2+2,-1,-1),("["*(b+1)+"]"*(b+1), str(b)));

    r = rep_a[1][0] + " "*op + rep_b[1][0]

    return (
            (
                len(r),
                min(op, rep_a[0][1] if rep_a[0][1]!=-1 else op, rep_b[0][1] if rep_b[0][1]!=-1 else op), 
                max(op, rep_a[0][2], rep_b[0][2])
            ),
            ( 
                r, 
                expr_to_string(rep_a[1][1],op,rep_b[1][1])
            )
        );

def opsym(op):
    return ("+","*","^","^^")[op]

def expr_to_string(a,op,b):
    return str(a) + opsym(op) + str(b)

def calc(a,op,b):
    if op == 0:
        return min(a+b,MAX_INT)
    elif op == 1:
        return min(a*b,MAX_INT)
    elif op == 2:
        if (b*math.log10(a)>math.log10(MAX_INT)):
            return MAX_INT
        return min(a**b,MAX_INT)
    else:
        t = a
        for h in range(b):
            t = calc(a,op-1,t)
            if t>=MAX_INT:
                t = MAX_INT
                break
        return t

def populate_repr(a,op,b):
    o = (a,op,b)
    n = calc(*o)
    if n == MAX_INT:
        return n
    if n not in repr:
        repr[n] = sorteddict()
    r = expr_to_repr(*o)
    if conditional_replace_repr(n,r):
        for i in range(1,11):
            conditional_replace_repr(n+i,
                (
                    (
                        r[0][0]+i*2,
                        -1,
                        -1
                    ),
                    (
                        "["*i + r[1][0] + "]"*i,
                        "(" + r[1][1] + "+" + str(i) + ")"
                    )
                )
            )
    return n

def conditional_replace_repr(n,new_rep):
    if n not in repr:
        repr[n] = sorteddict()
        repr[n][new_rep[0]] = new_rep[1]
        return True
    found = None
    repl = False
    for d, r in repr[n].iteritems():
        if d[1] == new_rep[0][1] and d[2] == new_rep[0][2]:
            found = d
            if d[0] > new_rep[0][0]:
                repl = True
            break
    if (not found) or (found and repl):
        repr[n][new_rep[0]] = new_rep[1]
        if found:
            del repr[n][found]
        return True
    return False

def vaguely_decent_repr(n):
    if n <= TABLE_SIZE:
        return repr[n].iteritems().next()[1][0]
    if n in repr:
        return repr[n].iteritems().next()[1][0]
    else:
        keys = sorted(repr.keys(),reverse=True)
        best_rep = None
        tested = 0
        for i in keys:
            if i>n:
                continue
            if tested > 10:
                break
            tested += 1
            cand_rep = vaguely_decent_repr(n-i) + repr[i].iteritems().next()[1][0]
            if (not best_rep) or len(cand_rep) < len(best_rep):
                best_rep = cand_rep
        return best_rep



keys = repr.keys()
for k in keys:
    for d,r in repr[k].iteritems():
        for i in range(1,11):
            conditional_replace_repr(k+i,
                (
                    (
                        d[0]+i*2,
                        -1,
                        -1
                    ),
                    (
                        "["*i + r[0] + "]"*i,
                        "(" + r[1] + "+" + str(i) + ")"
                    )
                )
            )

# initialize the repr array with results of 1..256, 2+2 up to TABLE_SIZE^TABLE_SIZE
for row in range(2,TABLE_SIZE+1):
    for col in range(2,row):
        for op in range(1,3):
            populate_repr(row,op,col)
            if op > 1:
                populate_repr(col,op,row)
    for op in range(1,3):
        populate_repr(row,op,row)
    if row > 10:
        for frac in range(1,10):
            rep_a = repr[row-frac].iteritems().next()
            conditional_replace_repr(row,
                (
                    (
                        rep_a[0][0] + frac*2,
                        -1,
                        -1
                    ),
                    (
                        "["*frac + rep_a[1][0] + "]"*frac,
                        "(" + rep_a[1][1] + "+" + str(frac) + ")"
                    )
                )
            )
        for frac in range(10,row/2):
            rep_a = repr[frac].iteritems().next()
            rep_b = repr[row-frac].iteritems().next()
            conditional_replace_repr(row,
                (
                    (
                        rep_a[0][0]+rep_b[0][0],
                        min(rep_a[0][1],rep_b[0][1]),
                        max(rep_a[0][2],rep_b[0][2])
                    ),
                    (
                        rep_a[1][0] + rep_b[1][0],
                        rep_a[1][1] + "+" + rep_b[1][1]
                    )
                )
            )



# for n,reps in repr.iteritems():
#   for d,r in reps.iteritems():

for n in range(1,257):
    print str(n)+"="+repr[n].iteritems().next()[1][0]

for n in (8191,13071,524287,2147483647,1449565302,1746268229,126528612,778085967,1553783038,997599288):
    print str(n)+"="+vaguely_decent_repr(n)

Produzione:

1=[[]]
2=[[[]]]
3=[[[[]]]]
4=[[[[[]]]]]
5=[[[[[[]]]]]]
6=[[[[[[[]]]]]]]
7=[[[[[[[[]]]]]]]]
8=[[[]]]  [[[[]]]]
9=[[[[]]]]  [[[]]]
10=[[[[[]]]]  [[[]]]]
11=[[[[[[]]]]  [[[]]]]]
12=[[[[[]]]]] [[[[]]]]
13=[[[[[[]]]]] [[[[]]]]]
14=[[[[[[[]]]]] [[[[]]]]]]
15=[[[[[[]]]]]] [[[[]]]]
16=[[[]]]   [[[[]]]]
17=[[[[]]]   [[[[]]]]]
18=[[[[[]]]   [[[[]]]]]]
19=[[[[[[]]]   [[[[]]]]]]]
20=[[[[[[]]]]]] [[[[[]]]]]
21=[[[[[[[]]]]]] [[[[[]]]]]]
22=[[[[[[[[]]]]]] [[[[[]]]]]]]
23=[[[[[[[[[]]]]]] [[[[[]]]]]]]]
24=[[[[[[[]]]]]]] [[[[[]]]]]
25=[[[[[[]]]]]]  [[[]]]
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28=[[[[[]]]]   [[[]]]]
29=[[[[[[]]]]   [[[]]]]]
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31=[[[[[[[[]]]]   [[[]]]]]]]
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33=[[[[]]]  [[[[[[]]]]]]]
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35=[[[[[[]]]  [[[[[[]]]]]]]]]
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44=[[[[[[]]]]  [[[]]]]] [[[[[]]]]]
45=[[[[]]]]  [[[]]] [[[[[[]]]]]]
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53=[[[[[[[[]]]]]]  [[[]]]] [[[]]]]
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7944b per 1-256

1275b per i casi grandi

— Sparr
fonte