Mathematica 18 17 caratteri
Ho scelto di usare, come misura di "migliore", il numero di termini in una rappresentazione di frazione continua di π. Secondo questo criterio, le migliori approssimazioni razionali di π sono i suoi convergenti.
Esistono 10 convergenti di π con un denominatore inferiore a un milione. Questo è inferiore ai 167 termini richiesti, ma lo includo qui perché potrebbe interessare gli altri.
Convergents[π, 10]
(* out *)
{3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, 104348/33215, 208341/66317,
312689/99532, 833719/265381, 1146408/364913}
Se vuoi davvero vedere il denominatore per il primo convergente, costerà altri 11 caratteri:
Convergents[π, 10] /. {3 -> "3/1"}
(* out *)
{"3/1", 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, 104348/33215,
208341/66317, 312689/99532, 833719/265381, 1146408/364913}
Per coloro che sono interessati, quanto segue mostra le relazioni tra i convergenti, i quozienti parziali e l'espressione di frazione continua di convergenti di π:
Table[ContinuedFraction[π, k], {k, 10}]
w[frac_] := Row[{Fold[(#1^-1 + #2) &, Last[#], Rest[Reverse[#]]] &[Text@Style[#, Blue, Bold, 14] & /@ ToString /@ ContinuedFraction[frac]]}];
w /@ FromContinuedFraction /@ ContinuedFraction /@ Convergents[π, 10]
Si prega di scusare la formattazione incoerente delle frazioni continue.
"#{Math.PI}"
.