Dato un polinomio, determinare se è primo.

Un polinomio è ax^n + bx^(n-1) + ... + dx^3 + ex^2 + fx + g, dove ogni termine è un numero costante (il coefficiente) moltiplicato per un potere intero non negativo di x. La massima potenza con un coefficiente diverso da zero si chiama grado. Per questa sfida, consideriamo solo i polinomi di almeno grado 1. Cioè, ogni polinomio ne contiene alcuni x. Inoltre, utilizziamo solo polinomi con coefficienti interi.

I polinomi possono essere moltiplicati. Ad esempio, (x+3)(2x^2-2x+3)uguale a 2x^3+4x^2-3x+9. Pertanto, 2x^3+4x^2-3x+9può essere preso in considerazione x+3e 2x^2-2x+3, quindi, è composito.

Altri polinomi non possono essere presi in considerazione. Ad esempio, 2x^2-2x+3non è il prodotto di due polinomi (ignorando i polinomi costanti o quelli con coefficienti non interi). Quindi, è primo (noto anche come irriducibile).

Regole

• L'input e l'output possono avvenire in qualsiasi modo standard.
• L'input può essere una stringa come 2x^2-2x+3, un elenco di coefficienti simili {2,-2,3}o qualsiasi mezzo simile.
• L'output è un valore di verità se è primo o un valore di falsa se è composto. Devi fornire lo stesso valore di verità per tutti i numeri primi e lo stesso valore di falsità per tutti i polinomi compositi.
• L'input sarà di almeno grado 1 e al massimo grado 10.
• Non è possibile utilizzare strumenti integrati per la fattorizzazione (di numeri interi o espressioni) o per la risoluzione di equazioni.

Esempi

Vero - primo

x+3
-2x
x^2+x+1
x^3-3x-1
-2x^6-3x^4+2
3x^9-8x^8-3x^7+2x^3-10

Falso - composito

x^2
x^2+2x+1
x^4+2x^3+3x^2+2x+1
-3x^7+5x^6-2x
x^9-8x^8+7x^7+19x^6-10x^5-35x^4-14x^3+36x^2+16x-12

Mathematica, 224 byte

f@p_:=(e=p~Exponent~x;r=Range[⌈e/-4⌉,(e+2)/4];e<2||FreeQ[PolynomialRemainder[p,Thread@{r,#}~InterpolatingPolynomial~x,x]&/@Tuples[#~Join~-#&[Join@@Position[#/Range@Abs@#,_Integer]]&/@#]~DeleteCases~{(a_)..},0|{}]&[p/.x->r])

Spiegazione :

Il metodo di Kronecker è usato qui. Questo metodo genera alcuni polinomi di grado inferiore e verifica se esiste un fattore del polinomio originale.

Casi di prova :

f/@{x+3, -2x, x^2+x+1, x^3-3x-1, -2x^6-3x^4+2, 3x^9-8x^8-3x^7+2x^3-10}
(* {True, True, True, True, True, True} *)

f/@{x^2, x^2+2x+1, x^4+2x^3+3x^2+2x+1, -3x^7+5x^6-2x, x^9-8x^8+7x^7+19x^6-10x^5-35x^4-14x^3+36x^2+16x-12}
(* {True, True, True, True, True} *)

Ci vogliono 14 secondi sul mio laptop per concludere che 3x^9-8x^8-3x^7+2x^3-10è perfetto.

PARI / GP, 16 byte, economico come l'inferno

Per qualche motivo questo non è stato vietato (notando che il comando non tiene conto o risolve l'equazione):

polisirreducible

Caso di prova

%(x^2+x+1)

ritorna 1(vero). Gli altri esempi funzionano in modo simile.

Ma per dimostrare che questo è risolvibile nel modo più duro, ecco una soluzione completa.

Meno economico, ma sloooooooooow

Non ha davvero senso giocare a golf.

Beauzamy(P)=
{
  my(d=poldegree(P),s,c);
  s=sum(i=0,d,polcoeff(P,i)^2/binomial(d,i));
  c = 3^(3/2 + d);
  c *= s / (4*d*Pi);
  abs(c * pollead(P))
}
factorpol(P)=
{
  my(B=Beauzamy(P)\1, t=B*2+1, d=poldegree(P)\2, Q);
  for(i=0,t^(d+1)-1,
    Q=Pol(apply(n->n-B, digits(i,t)));
    if(Q && poldegree(Q) && P%Q==0, return(Q))
  );
  0
}
irr(P)=
{
  factorpol(P)==0
}

Modifica: I commentatori hanno sottolineato che il primo metodo può essere vietato dal buon gusto, dallo spirito delle regole, dalla Convenzione di Ginevra, dalle regole standard di scappatoia, ecc. Non sono d'accordo, ma in ogni caso ho pubblicato la seconda versione insieme a il primo e sicuramente sembra accettabile.