Dai un'occhiata a questa immagine. In particolare, come sono disposti i fori alle estremità.

^{( Fonte immagine )}

Notare come i tubi in questa immagine sono imballati in un modello esagonale. È noto che in 2D un reticolo esagonale è il più denso impaccamento di cerchi. In questa sfida, ci concentreremo sulla riduzione al minimo del perimetro di un impacco di cerchi. Un modo utile per visualizzare il perimetro è immaginare di mettere un elastico attorno alla collezione di cerchi.

L'obiettivo

Dato un numero intero positivo ncome input, mostra una raccolta di ncerchi pieni il più strettamente possibile.

Regole e chiarimenti

• Supponiamo che i cerchi abbiano un diametro di 1 unità.
• La variabile da minimizzare è la lunghezza del perimetro, che è definito come lo scafo convesso dei centri dei cerchi nel gruppo. Dai un'occhiata a questa immagine:

I tre cerchi in linea retta hanno un perimetro di 4 (lo scafo convesso è un rettangolo 2x0 e il 2 è contato due volte), quelli disposti in un angolo di 120 gradi hanno un perimetro di circa 3,85 e il triangolo ha un perimetro di sole 3 unità. Nota che sto ignorando le unità pi aggiuntive che il perimetro reale sarebbe perché sto solo guardando i centri dei cerchi, non i loro bordi.

• Ci possono essere (e quasi sicuramente ci saranno) più soluzioni per ogni dato n. È possibile produrre uno di questi a propria discrezione. L'orientamento non ha importanza.
• I cerchi devono essere su un reticolo esagonale.
• I cerchi devono avere un diametro di almeno 10 pixel e possono essere riempiti o meno.
• È possibile scrivere un programma o una funzione.
• L'input può essere preso tramite STDIN, come argomento di funzione o equivalente più vicino.
• L'output può essere visualizzato o output in un file.

Esempi

Di seguito ho esempi di output validi e non validi per n da 1 a 10 (esempi validi solo per i primi cinque). Gli esempi validi sono a sinistra; ogni esempio a destra ha un perimetro maggiore del corrispondente esempio valido.

Mille grazie a steveverrill per l'aiuto nella stesura di questa sfida. Imballaggio felice!

Mathematica 295 950 byte

Nota: questa versione ancora da golf risolve i problemi sollevati da Steve Merrill in merito ai miei precedenti tentativi.

Sebbene sia un miglioramento rispetto alla prima versione, non troverà la configurazione della maniglia più densa in cui si cercherebbe una forma complessiva circolare, piuttosto che esagonale.

Trova soluzioni costruendo un esagono interno completo (per n> = 6, quindi esamina tutte le configurazioni per completare il guscio esterno con i cerchi rimanenti.

È interessante notare che, come osservato da Steve Merrill nei commenti, la soluzione per n+1cerchi non sempre consiste nella soluzione per n cerchi con un altro cerchio aggiunto. Confronta la soluzione data per 30 cerchi con la soluzione data per 31 cerchi. (Nota: esiste una soluzione unica per 30 cerchi.)

m[pts_]:={Show[ConvexHullMesh[pts],Graphics[{Point/@pts,Circle[#,1/2]&/@ pts}], 
ImageSize->Tiny,PlotLabel->qRow[{Length[pts],"  circles"}]],
RegionMeasure[RegionBoundary[ConvexHullMesh[pts]]]};
nPoints = ((#+1)^3-#^3)&;pointsAtLevelJ[0] = {{0,0}};
pointsAtLevelJ[j_]:=RotateLeft@DeleteDuplicates@Flatten[Subdivide[#1, #2, j] &@@@
Partition[Append[(w=Table[j{Cos[k Pi/3],Sin[k Pi/3]},{k,0,5}]), 
w[[1]]], 2, 1], 1];nPointsAtLevelJ[j_] := Length[pointsAtLevelJ[j]]
getNPoints[n_] := Module[{level = 0, pts = {}},While[nPoints[level]<=n, 
pts=Join[pointsAtLevelJ[level],pts];level++];Join[Take[pointsAtLevelJ[level],n-Length[pts]],
pts]];ns={1,7,19,37,61,91};getLevel[n_]:=Position[Union@Append[ns,n],n][[1, 1]]-1;
getBaseN[n_] := ns[[getLevel[n]]];pack[1]=Graphics[{Point[{0,0}], Circle[{0, 0}, 1/2]}, 
ImageSize->Tiny];pack[n_]:=Quiet@Module[{base = getNPoints[getBaseN[n]], 
outerRing = pointsAtLevelJ[getLevel[n]], ss},ss=Subsets[outerRing,{n-getBaseN[n]}];
SortBy[m[Join[base,#]]&/@ss,Last][[1]]]

Alcuni dei controlli hanno comportato confronti di oltre centomila casi per un singolo valore di n (comprese le simmetrie). Sono stati necessari circa 5 minuti per eseguire i 34 casi di test totali. Inutile dire che con un n'sapproccio più ampio questo approccio alla forza bruta si rivelerebbe presto poco pratico. Esistono sicuramente approcci più efficienti.

I numeri a destra di ogni imballo sono i perimetri dei rispettivi scafi convessi blu. Di seguito è riportato l'output di 3 < n < 35. I cerchi rossi sono quelli aggiunti attorno a un esagono regolare.