Un gatto quasi senza massa viene lasciato cadere nello spazio (non preoccuparti, con una tuta spaziale e tutto il resto) nel punto (x, y, z)con velocità (vx, vy, vz). C'è un pianeta fisso, infinitamente denso (con volume di 0) nel punto (0, 0, 0)e attira oggetti a distanza rcon accelerazione 1/r^2. Secondo la gravità newtoniana, dove va l'oggetto dopo il tempo t?

Quasi senza massa in questo caso significa che stai fornendo il valore di lim (mass --> 0) <position of cat>. La massa è influenzata dalla gravità del pianeta, ma il pianeta non è influenzato dalla gravità del gatto. In altre parole, il corpo centrale è fisso.

Questo è in qualche modo simile a Code Golf: qual è il destino dell'astronave? [versione a virgola mobile] , ma questo è diverso perché misura l'accuratezza.

È possibile implementare una soluzione basata su una simulazione, che deve essere eseguita in meno di 3 secondi, oppure è possibile implementare un programma che fornisce un valore esatto (deve essere eseguito anche in meno di 3 secondi). Vedi i dettagli del punteggio di seguito. Se si implementa una simulazione, non deve essere esatto, ma il punteggio sarà inferiore a causa dell'imprecisione.

Ingresso : x y z vx vy vz t, non necessariamente interi che rappresentano rispettivamente x, y, z coordinate, velocità nelle direzioni x, y, z e indicazioni e tempo. È garantito che la velocità del gatto è strettamente inferiore alla velocità di fuga a quell'altitudine. L'input può essere preso da qualsiasi luogo, inclusi i parametri di una funzione. Il programma deve essere eseguito in meno di tre secondi sul mio laptop t < 2^30, il che significa che, se si esegue una simulazione, è necessario regolare di conseguenza il proprio timestep. Se stai pensando di superare il limite di 3 secondi per ogni caso di test, assicurati che ci sia un parametro sintonizzabile che possa renderlo più accurato / meno accurato per i guadagni di velocità, in modo che io possa farlo funzionare in tre secondi sul mio computer.

Uscita : x y zla posizione dopo il tempo t.

Poiché il problema dei due corpi può essere risolto perfettamente, in teoria è possibile ottenere una risposta perfetta e corretta.

Punteggio : per ogni caso di test, l'errore è definito come la distanza tra l'output e l'output "vero". L'output vero è definito come quello generato dallo snippet del test case. Se l'errore è inferiore a 10^(-8), l'errore viene arrotondato per difetto a zero. Il tuo punteggio è l'errore medio su 100 (o più) casi di test casuali. Se scrivi una risposta perfettamente accurata, dovresti ottenere un punteggio di 0; il punteggio più basso vince e i legami verranno interrotti dalla lunghezza del codice.

Casi di prova :

1 0 0 0 -1 0 1000000000 --> 0.83789 -0.54584 0

In questo caso, l'orbita è perfettamente circolare con periodo 2 * pi, quindi dopo aver girato 159154943 volte, il gatto finisce a circa (0,83789, -0,54584). Questo non è un caso di test su cui verrà testato il codice; se invii una risposta perfettamente accurata, tuttavia, potresti voler testarla su questo.

Lo snippet di seguito genera casi di test aggiuntivi casuali e verrà utilizzato per giudicare i contributi; fammi sapere se c'è un bug con questo:

var generateTestCase = function() {
  var periapsis = Math.random() * 10 + 0.5;
  var circularVelocity = Math.sqrt(1 / periapsis);
  var escapeVelocity = Math.sqrt(2) * circularVelocity;
  var v = Math.random() * (escapeVelocity - circularVelocity) + circularVelocity;
  var a = 1 / (2 / periapsis - v * v);
  var ecc = (a - periapsis) * (2 / periapsis - v * v);
  var semiLatus = a * (1 - ecc * ecc);
  var angM = Math.sqrt(semiLatus);
  var period = 2 * Math.PI * a * Math.sqrt(a);
  var getCoordAfterTime = function(t) {
    var meanAnomaly = t / (a * Math.sqrt(a));

    function E(e, M, n) {
      var result = M;
      for (var k = 1; k <= n; ++k) result = M + e * Math.sin(result);
      return result;
    }
    var eAnomaly = E(ecc, meanAnomaly, 10000);
    var radius = a * (1 - ecc * Math.cos(eAnomaly));
    var theta = Math.acos((semiLatus / radius - 1) / ecc);
    if (t > period / 2) theta = -theta;
    return {
      r: radius,
      t: theta,
      x: radius * Math.cos(theta),
      y: radius * Math.sin(theta)
    };
  }
  var t1 = Math.random() * period;
  var p1 = getCoordAfterTime(t1);
  var v1 = Math.sqrt(2 / p1.r - 1 / a);
  var velocityAngle1 = Math.acos(angM / p1.r / v1);
  var horizontal = Math.atan(-p1.x / p1.y);
  if (t1 < period / 2) {
    velocityAngle1 *= -1;
    horizontal += Math.PI;
  }
  var vx = v1 * Math.cos(horizontal + velocityAngle1);
  var vy = v1 * Math.sin(horizontal + velocityAngle1);
  var t2 = Math.random() * period;
  var p2 = getCoordAfterTime(t2);
  var v2 = Math.sqrt(2 / p2.r - 1 / a);
  var dummyPeriods = Math.floor(Math.random() * 100) * period + period;
  var rotate = function(x, y, z, th1, th2, th3) {
    var x1 = x * Math.cos(th1) - y * Math.sin(th1);
    var y1 = x * Math.sin(th1) + y * Math.cos(th1);
    var z1 = z;
    var x2 = x1 * Math.cos(th2) + z1 * Math.sin(th2);
    var y2 = y1;
    var z2 = -x1 * Math.sin(th2) + z1 * Math.cos(th2);
    var x3 = x2;
    var y3 = y2 * Math.cos(th3) - z2 * Math.sin(th3);
    var z3 = y2 * Math.sin(th3) + z2 * Math.cos(th3);
    return [x3, y3, z3];
  }
  var th1 = Math.random() * Math.PI * 2,
    th2 = Math.random() * 2 * Math.PI,
    th3 = Math.random() * 2 * Math.PI;
  var input = rotate(p1.x, p1.y, 0, th1, th2, th3)
    .concat(rotate(vx, vy, 0, th1, th2, th3))
    .concat([t2 - t1 + dummyPeriods]);
  var output = rotate(p2.x, p2.y, 0, th1, th2, th3);
  return input.join(" ") + " --> " + output.join(" ");
}
var $ = function(x) {
  return document.querySelector(x);
}
$("#onetestcase").onclick = function() {
  $("#result1").innerHTML = generateTestCase();
}
$("#huntestcases").onclick = function() {
  var result = [];
  for (var i = 0; i < 100; ++i) result.push(generateTestCase());
  $("#result100").innerHTML = result.join("\n");
}

<div>
  <button id="onetestcase">Generate</button>
  <pre id="result1"></pre>
</div>
<div>
  <button id="huntestcases">Generate 100 test cases</button>
  <pre id="result100"></pre>
</div>

Python 3.5 + NumPy, esatto, 186 byte

from math import*
def o(r,v,t):
 d=(r@r)**.5;W=2/d-v@v;U=W**1.5;b=[0,t*U+9]
 while 1:
  a=sum(b)/2;x=1-cos(a);y=sin(a)/U;k=r@v*x/W+d*y*W
  if a in b:return k*v-r*x/W/d+r
  b[k+a/U-y>t]=a

Questa è una soluzione esatta, usando una formula che ho progettato sulla base di Jesper Göranssonhis, "Simmetrie del problema di Keplero", 2015 . Usa una ricerca binaria per risolvere l'equazione trascendentale Ax + B cos x + C sin x = D, che non ha una soluzione a forma chiusa.

La funzione prevede che la posizione e la velocità vengano trasmesse come array NumPy:

>>> from numpy import array
>>> o(array([1,0,0]),array([0,-1,0]),1000000000)
array([ 0.83788718, -0.54584345,  0.        ])
>>> o(array([-1.1740058273269156,8.413493259550673,0.41996042044140003]),array([0.150014367067652,-0.09438816345868332,0.37294941703455975]),7999.348650387233)
array([-4.45269544,  6.93224929, -9.27292488])

Javascript

Questo è solo per far rotolare la palla, dal momento che nessuno sembra pubblicare le risposte. Ecco un modo molto ingenuo e semplice che può essere migliorato molto:

function simulate(x, y, z, vx, vy, vz, t) {
  var loops = 1884955; // tune this parameter
  var timestep = t / loops;
  for (var i = 0; i < t; i += timestep) {
    var distanceSq = x*x + y*y + z*z; // distance squared from origin
    var distance = Math.sqrt(distanceSq);
    var forceMag = 1/distanceSq; // get the force of gravity
    var forceX = -x / distance * forceMag;
    var forceY = -y / distance * forceMag;
    var forceZ = -z / distance * forceMag;
    vx += forceX * timestep;
    vy += forceY * timestep;
    vz += forceZ * timestep;
    x += vx * timestep;
    y += vy * timestep;
    z += vz * timestep;
  }
  return [x, y, z];
}

test:

simulate(1, 0, 0, 0, -1, 0, Math.PI*2) --> [0.9999999999889703, -0.0000033332840909716455, 0]

Ehi, va abbastanza bene. Ha un errore di circa 3.333 * 10 ^ (- 6) che non è sufficiente per essere arrotondato per difetto ... è vicino.

Solo per divertimento:

console.log(simulate(1, 0, 0, 0, -1, 0, 1000000000))
--> [-530516643639.4616, -1000000000.0066016, 0]

Oh bene; quindi non è il migliore.

E su un caso di test casuale dal generatore:

simulate(-1.1740058273269156,8.413493259550673,0.41996042044140003,0.150014367067652,-0.09438816345868332,0.37294941703455975,7999.348650387233)
-->    [-4.528366392498373, 6.780385554803544, -9.547824236472668]
Actual:[-4.452695438880813, 6.932249293597744, -9.272924876103785]

Con un errore di solo circa 0,32305!

Questo può essere migliorato molto usando qualcosa come l'integrazione di Verlet o qualche algoritmo elaborato. In effetti, quegli algoritmi possono persino ottenere punteggi perfetti, nonostante siano simulazioni.