Introduzione alla matematica numerica
Questo è il "Ciao, mondo!" di PDE (equazioni differenziali parziali). L'equazione di Laplace o di diffusione appare spesso in Fisica, ad esempio equazione del calore, deformazione, fluidodinamica, ecc ... Poiché la vita reale è 3D ma vogliamo dire "Ciao, mondo!" e non cantare "99 bottiglie di birra, ..." questo compito è dato in 1D. Puoi interpretarlo come un abito di gomma legato a un muro su entrambe le estremità con una forza applicata ad esso.
Su un [0,1]dominio trova una funzione uper data funzione sorgente fe valori limite u_Le u_Rtale che:
-u'' = fu(0) = u_Lu(1) = u_R
u'' indica la seconda derivata di u
Questo può essere risolto puramente teorico ma il tuo compito è risolverlo numericamente su un dominio discretizzato x per i Npunti:
- x =
{i/(N-1) | i=0..N-1}o basato su 1:{(i-1)/(N-1) | i=1..N} h = 1/(N-1)è la spaziatura
Ingresso
fcome funzione o espressione o stringau_L,u_Rcome valori in virgola mobileNcome intero> = 2
Produzione
- Array, List, una sorta di stringa separata di
utaleu_i == u(x_i)
Esempi
Esempio 1
Ingresso: f = -2, u_L = u_R = 0, N = 10(non prendere f=-2male, non è un valore, ma una funzione costante che i rendimenti -2per tutti xE 'come una forza di gravità costante sulla nostra corda..)
Produzione: [-0.0, -0.09876543209876543, -0.1728395061728395, -0.22222222222222224, -0.24691358024691357, -0.24691358024691357, -0.22222222222222224, -0.1728395061728395, -0.09876543209876547, -0.0]
Esiste una soluzione semplice e precisa: u = -x*(1-x)
Esempio 2
Ingresso: f = 10*x, u_L = 0 u_R = 1, N = 15(Qui c'è un sacco di bolina sul lato destro)
Produzione: [ 0., 0.1898688, 0.37609329, 0.55502915, 0.72303207, 0.87645773, 1.01166181, 1.125, 1.21282799, 1.27150146, 1.29737609, 1.28680758, 1.2361516, 1.14176385, 1.]
La soluzione esatta per questo afferma: u = 1/3*(8*x-5*x^3)
Esempio 3
Ingresso: f = sin(2*pi*x), u_L = u_R = 1, N = 20(qualcuno ha rotto gravità o v'è una sorta di monte ea poppa)
Produzione: [ 1., 1.0083001, 1.01570075, 1.02139999, 1.0247802, 1.0254751, 1.02340937, 1.01880687, 1.01216636, 1.00420743, 0.99579257, 0.98783364, 0.98119313, 0.97659063, 0.9745249, 0.9752198, 0.97860001, 0.98429925, 0.9916999, 1.]
Qui la soluzione esatta è u = (sin(2*π*x))/(4*π^2)+1
Esempio 4
Ingresso: f = exp(x^2), u_L = u_R = 0,N=30
Produzione:
[ 0. 0.02021032 0.03923016 0.05705528 0.07367854 0.0890899
0.10327633 0.11622169 0.12790665 0.13830853 0.14740113 0.15515453
0.16153488 0.1665041 0.17001962 0.172034 0.17249459 0.17134303
0.16851482 0.1639387 0.15753606 0.1492202 0.13889553 0.12645668
0.11178744 0.09475961 0.07523169 0.05304738 0.02803389 0. ]
Nota la leggera asimmetria
FDM
Un possibile metodo per risolvere questo è il metodo della differenza finita :
- riscrivi
-u_i'' = f_icome (-u_{i-1} + 2u_i - u{i+1})/h² = f_iche è uguale-u_{i-1} + 2u_i - u{i+1} = h²f_i- Imposta le equazioni:
- Che sono uguali a un'equazione matrice-vettore:
- Risolvi questa equazione e genera il
u_i
Una implementazione di questo per dimostrazione in Python:
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def laplace(f, uL, uR, N):
h = 1./(N-1)
x = [i*h for i in range(N)]
A = np.zeros((N,N))
b = np.zeros((N,))
A[0,0] = 1
b[0] = uL
for i in range(1,N-1):
A[i,i-1] = -1
A[i,i] = 2
A[i,i+1] = -1
b[i] = h**2*f(x[i])
A[N-1,N-1] = 1
b[N-1] = uR
u = np.linalg.solve(A,b)
plt.plot(x,u,'*-')
plt.show()
return u
print laplace(lambda x:-2, 0, 0, 10)
print laplace(lambda x:10*x, 0, 1, 15)
print laplace(lambda x:np.sin(2*np.pi*x), 1, 1, 20)
Implementazione alternativa senza Matrix Algebra (usando il metodo Jacobi )
def laplace(f, uL, uR, N):
h=1./(N-1)
b=[f(i*h)*h*h for i in range(N)]
b[0],b[-1]=uL,uR
u = [0]*N
def residual():
return np.sqrt(sum(r*r for r in[b[i] + u[i-1] - 2*u[i] + u[i+1] for i in range(1,N-1)]))
def jacobi():
return [uL] + [0.5*(b[i] + u[i-1] + u[i+1]) for i in range(1,N-1)] + [uR]
while residual() > 1e-6:
u = jacobi()
return u
È tuttavia possibile utilizzare qualsiasi altro metodo per risolvere l'equazione di Laplace. Se usi un metodo iterativo, dovresti iterare fino al residuo |b-Au|<1e-6, con bil vettore sul lato destrou_L,f_1h²,f_2h²,...
Appunti
A seconda del metodo di soluzione non è possibile risolvere esattamente gli esempi con le soluzioni fornite. Almeno per N->infinityl'errore dovrebbe avvicinarsi a zero.
Non sono consentite scappatoie standard, sono consentiti incorporati per PDE.
indennità
Un bonus del -30% per la visualizzazione della soluzione, grafica o ASCII-art.
vincente
Questo è codegolf, quindi vince il codice più breve in byte!
log(log(x))o sqrt(1-x^4)che hanno un integrale, che tuttavia non è espressibile nelle funzioni elementari.
u(x) = 1/2 (-sqrt(π) x erfi(x)+sqrt(π) erfi(1) x+e^(x^2)-e x+x-1)non è esattamente calcolabile.
f(x) = exp(x^2).