Se

Di ', $L \subseteq \{0\}^*$ . Quindi come possiamo dimostrare che $L^*$ è regolare?

Se $L$ è regolare, ovviamente anche $L^*$ è regolare. Se $L$ è finito, allora è regolare e di nuovo $L^*$ è regolare. Inoltre ho notato che, per $L = \{0^p \mid p \text{ is a prime}\}$ , $L$ non è regolare, $L \subseteq \{0\}^*$ e $L^*$ è regolare.

Ma come mostrarlo per qualsiasi sottoinsieme $L$ di $\{0\}^*$ ?

Supponiamo che $L$ contenga due parole $w_1$ e $w_2$ tali che la lunghezza di queste parole, $|w_1|$e $|w_2|$, non hanno fattori in comune. Quindi, abbiamo che la parola più lunga che non può essere formata concatenando queste parole ha lunghezza $(|w_1|-1)(|w_2|-1) - 1$ ( numero di Frobenius). Vale a dire, se ci sono parole nella lingua le cui lunghezze non hanno un fattore comune, allora tutte le parole di una certa lunghezza minima sono nella lingua $L^*$ . È facile vedere che questo è regolare poiché, per necessità, esiste un numero finito di classi di equivalenza sotto la relazione di indistinguibilità di Myhill-Nerode.

Che cosa succede se le lunghezze di tutte le parole in condividono un fattore comune? Bene, non è difficile vedere che in questi casi, anche L ∗ è regolare. Basta notare che invece di tutte le parole le cui lunghezze sono maggiori di una lunghezza minima in L ∗ , sarà invece vero che tutte le parole le cui lunghezze sono un multiplo del GCD delle lunghezze delle parole saranno in L ∗ e nessuna parola le cui lunghezze non saranno multipli di questo GCD, e poiché ( L k ) ∗ è regolare per qualsiasi numero intero k , anche L ∗ è regolare.$L$$L^*$$L^*$$L^*$$(L^k)^*$$k$$L^*$

Questo è piuttosto informale, ma tutto ciò di cui hai bisogno per formalizzare questo dovrebbe essere qui.

$w$$L^*$$L$ w ˚ L L∗= ˚ L ∗ ˚ L L$\mathring{L}$$w$$\mathring{L}$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$$L^*$

Lasciate che sia un sottoinsieme di e una parola in . può essere espresso come una concatenazione di parole in iffpuò essere espressa come somma di elementi di dove è l'insieme di lunghezze di parole . Quindi il problema si riduce all'espressione di un numero intero come somma di numeri interi in un determinato set (con le ripetizioni consentite): canessere espresso come con e ?L w L w L | w | S ⊂ N S M | w | k 1 s 1 + … + k m s m ∀ i , s i ∈ S k 1 ∈ $M$$L$$w$$L$$w$$L$$|w|$$S \subset \mathbb{N}$$S$$M$$|w|$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, s_i \in S$$k_1 \in \mathbb{N}$

Questo è un problema ben noto in aritmetica e la risposta è che se i coefficienti possono essere negativi ( ),è esprimibile se e solo se è un multiplo del massimo comun divisore degli elementi di : . Con un requisito per coefficienti non negativi, ciò vale ancora per sufficientemente grande .$(k_i)$$k_i \in \mathbb{Z}$$|w|$$S$$\gcd S$$|w|$

Considera la sequenza infinita definita da . Questa è una sequenza decrescente di numeri interi (che iniziano con , quindi è costante dopo un certo indice ; e Secondo il teorema del resto cinese, ogni elemento di può essere espresso come con e . Se e quindi puoi scegliere tutti i coefficienti non negativi.$(g_i)_{i\ge\min S}$$g_i = \gcd (S \cap [0,i])$$g_{\min S} = \min S$$j$$g_j = \gcd S$$S$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, k_i \in \mathbb{Z}$$\{s_1, \ldots, s_m\} = S \cup [0,j]$$x \in S$$x \ge s_1 \cdot \ldots \cdot s_m$

Abbastanza aritmetica. Let . Ogni parola in può essere espressa come una concatenazione di parole in cui lunghezza è al massimo , cioè . Poiché abbiamo anche , abbiamo , che è regolare poiché è finito quindi regolare.$\mathring{L} = \{w \in L \mid |w| \le g_j\}$$L$$L$$g_j$$L \subseteq \mathring{L}^*$$\mathring{L} \subseteq L$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$

In alternativa, utilizzare la caratterizzazione di lingue regolari in alfabeti a una lettera .