L'uso di Pumping Lemma per dimostrare la lingua non è regolare

Sto cercando di usare il lemma del pompaggio per dimostrare che $L = \{(01)^m 2^m \mid m \ge0\}$ non è regolare.

Questo è quello che ho finora: supponiamo che $L$ sia regolare e che $p$ sia la lunghezza di pompaggio, quindi $w = (01)^p 2^p$ . Considera qualsiasi decomposizione di pompaggio $w = xyz$ tale che $|y| >0$ e $|xy| \le p$ .

Non sono sicuro di cosa fare dopo.

Sono sulla buona strada? O sono lontano?

Suggerimento: è necessario considerare l' aspetto di tutte le decomposizioni , quindi quali sono tutte le possibili cose , e possono essere date a . Quindi pompi ciascuno e vedi se ottieni una contraddizione, che sarà una parola non nella tua lingua. Ogni caso deve portare a una contraddizione, che sarebbe quindi una contraddizione del lemma di pompaggio. Ecco! La lingua non sarebbe normale.x y z x y z = ( 01 ) p 2 $w=xyz$$x$$y$$z$$xyz=(01)^p2^p$

Naturalmente, è necessario esaminare i dettagli e considerare tutte le possibili suddivisioni.

Hai una decomposizione e un vincolo di lunghezza . Cosa dice questo su come , e possono adattarsi alla decomposizione? In particolare, il lemma di pompaggio consente di ripetere , così il vostro obiettivo è quello di trovare un modo in cui la ripetizione molte volte (o la rimozione di , a volte questo è più semplice) sarà irrimediabilmente perturbate il modello che definisce la lingua.| x y | ≤ p x y z y y $xyz = (01)^p 2^p$$|xy| \le p$$x$$y$$z$$y$$y$$y$

C'è un limite evidente nello schema: la prima parte contiene ripetizioni di , la seconda parte contiene solo . La cosa interessante è dove cade. È sempre contenuto in una di queste parti, o può cavalcare i due?2 y $01$$2$$y$$y$

Da , è interamente contenuto nella parte e contiene tutti i . Quindi, se ripeti una volta, otterrai una prima parte più lunga, ma la parte rimane la stessa. In altre parole, termina con esattamente lettere . Per completare correttamente la dimostrazione, mostra che contiene troppe lettere e per adattarsi all'espressione regolare.x y ( 01 ) p z 2 y 2 p x y y z p 2 x y y z 0 $|xy| \le p$$xy$$(01)^p$$z$$2$$y$$2^p$$xyyz$$p$$2$$xyyz$$0$$1$

Tre anni dopo dimostreremo che con Δ = { 0 , 1 , 2 } non è regolare mediante la contraddizione che utilizza le proprietà di chiusura (un modo più veloce rispetto all'utilizzo del lemma di pompaggio ).$L = \{(01)^m 2^m \mid m \ge0\}$$\Delta=\{0,1,2\}$

Innanzitutto supponiamo che sia regolare. Sappiamo che le lingue regolari sono chiuse sotto l'omomorfismo inverso.$L$

Considera l'omomorfismo con:$h:\Sigma^* \rightarrow \Delta^*$

$\Sigma = \{a,b\}$

$h(a)= 01$

$h(b)= 2$

L'omomorfismo inverso di è:$L$

$h^{-1}(L)= \{a^nb^n| n\geq 0 \} = L'$

Questo genera una contraddizione perché è un esempio canonico di un linguaggio irregolare, quindi L non può essere regolare.$L'$$L$

Darò una non risposta a questa domanda, poiché questo non è esattamente il lemma del pompaggio, ma forse fa luce su quale sia l'idea del lemma del pompaggio. Qui è un fatto di base su deterministico automi a stati finiti, che è l'essenza del teorema Myhill-Nerode: Se due stringhe e b guidare FSA allo stesso stato, allora per ogni c , o entrambi un c e B ec sono accettato, o nessuno dei due lo è.$a$$b$$c$$ac$$bc$

Tornando al tuo problema, supponi che un automa deterministico per la tua lingua abbia stati. Quindi almeno due di ( 01 ) 1 , ( 01 ) 2 , … , ( 01 ) n + 1 , diciamo ( 01 ) p e ( 01 ) q con p ≠ q , guidano l'automa nello stesso stato (questo è il principio del buco di piccione). Secondo il fatto, allora entrambi ( 01 ) p 2 p e$n$$(01)^1$$(01)^2$$\ldots$$(01)^{n+1}$$(01)^p$$(01)^q$$p\neq q$$(01)^p2^p$ sono in L o nessuno dei due è, il che è una contraddizione.$(01)^q2^p$$L$