Numero di cicli hamiltoniani su un grafico di Sierpiński

Sono nuovo di questo forum e solo un fisico che lo fa per mantenere il cervello in forma, quindi per favore mostra grazia se non uso il linguaggio più elegante. Inoltre, lascia un commento, se ritieni che altri tag siano più appropriati.

Sto cercando di risolvere il problema per cui devo calcolare il numero di cicli Hamiltoniani $C(n)$ in ° ordine Sierpinski-grafico . (Vedi anche il link sopra per la definizione e le immagini dei grafici Sierpinski)S $n$$S_n$

Ho trovato , ma devo aver sbagliato qualcosa, perché la mia soluzione non corrisponde al valore dato . La mia argomentazione consiste in pensieri molto basilari e non riesco a trovare l'errore. Qualsiasi aiuto è molto apprezzato. Anche se sembra lungo, i pensieri diventano banali se guardi i grafici mentre segui.C ( 5 ) = $C(n)$$C(5) = 71328803586048$

(a) In un grafo chiamare gli angoli esterni . Quindi definisco le seguenti quantità: A , B , $S_n$$A,B,C$

$N(n) :=$ il numero di cammini hamiltoniani da a C .$A$$C$

$\bar{N}(n) :=$ il numero di percorsi da $A$ a $C$ che visitano ogni nodo volta tranne $B$ .

Chiamerò anche tali percorsi $N$ - o $\bar{N}$ -type percorsi nel seguito.

(b) È facile vedere che $N(n)=\bar{N}(n)$ .

Il motivo è il seguente: considerare un percorso di tipo $N$A partire da $A$ questo percorso ha la forma $(A,...,X_1,B,X_2,...,C)$ . Sostituendo il segmento $(X_1,B,X_2)$ con $(X_1,X_2)$ otteniamo un percorso di tipo $\bar{N}$ . Questa operazione mappa in modo univoco tutti i percorsi di tipo $N$ percorsi di tipo $\bar{N}$ .

(c) Deriviamo la ricorsione $N(n+1)=2N(n)^3$ .

Considera un percorso di tipo $N$ da $A$ a $B$ e denota i sottotiangoli agli angoli esterni $A,B,C$ per $T_A,T_B,T_C$ , rispettivamente. È chiaro che il percorso di tipo $N$ visiterà ogni sottotiangolo esattamente una volta a partire da $T_A$ su $T_B$ a $T_C$ . Consideriamo ora il nodo $Z$ in cui i $T_A$ e $T_C$ toccano. Esistono due possibilità, quando questo punto è visitato dal percorso, (i) prima di lasciare $T_A$ o (ii) dopo aver inserito $T_C$. In questi casi i tre percorsi secondari all'interno di $T_A,T_B,T_C$ sono dei tipi (i) $N,N,\bar{N}$ o (ii) $\bar{N},N,N$ , rispettivamente. Con questo in mente possiamo contare

$N(n+1)=N(n)N(n)\bar{N}(n)+\bar{N}(n)N(n)N(n)$ e con (b) arriviamo in alto ricorsione.

(d) Risolviamo la ricorsione (c) con $N(1)=1$ e otteniamo $N(n)=2^{3^0+3^1+...+3^{n-2}}$ .

(e) Considera un ciclo hamiltoniano nel grafico . Poiché ciascuno dei tre sottotiangoli è collegato agli altri solo tramite due nodi, è chiaro che il ciclo entrerà in ciascun sottotiangolo esattamente una volta attraverso un nodo di connessione, quindi lo "riempirà", lasciandolo infine attraverso l'altro nodo di connessione. Quindi il ciclo hamiltoniano in costituito da tre sottotracciati di tipo nei sottotiangoli che hanno tutti la struttura di . Possiamo concludere per il numero di cicli hamiltonianiS n N S n - $S_n$$S_n$$N$$S_{n-1}$

$C(n) = N(n-1)^3$ .

Tuttavia segue per$n=5$

$C(5) = N(4)^3 = 8192^3=549755813888 \neq 71328803586048$

dove quest'ultimo dovrebbe essere ottenuto in base alla pagina del problema (link sopra).

Grazie ancora per qualsiasi aiuto o commento.

Bella idea! Il problema sembra essere nel passaggio . Sostituendo ( X 1 , B , X 2 ) in un N path da ( X 1 , X 2 ) fornisce un ˉ N -path, ma non tutti ˉ N -path conterrà ( X 1 , X 2 ) . Quindi questa non è una biiezione. Questo dice solo N ( n ) ≤ ˉ N ( n ) .$(b)$$(X_1,B,X_2)$$N$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$\bar{N}$$(X_1,X_2)$$N(n) \leq \bar{N}(n)$

Oppure puoi infatti dimostrare che , risultando in N ( n + 1 ) = 3 N 3 .$\bar{N}(n) = 3N(n)/2$$N(n+1) = 3N^3$