Data una costante k, trova l'albero radicale più grande possibile, se per ogni percorso dalla radice alla foglia, la somma dell'arità dei suoi nodi è uguale a k?

Ad esempio, qui ci sono tutti gli alberi possibili per il caso : su ogni nodo scritto è la sua arità (= il numero di figli).$k=3$

Mentre questo dovrebbe essere risolvibile con la programmazione dinamica, penso che ci sia stato un risultato combinatorio su questo (o limite superiore esatto o piuttosto fine). Qualcuno lo sa?

Modificare:

La dimensione dell'albero è il numero di nodi che ha, quindi l'albero più grande sarebbe quello con il numero massimo di nodi.

Sia la dimensione dell'albero più grande, dove le arità di ciascun percorso dalla radice alla foglia si sommano a .$B(n)$$n$

Se la radice di un tale albero ha arità $k$, quindi i percorsi per ciascuno dei $k$ i sottotitoli devono aggiungere fino a $n-k$. Poiché i sottotitoli devono essere ottimali, l'albero ha dimensioni$1+k\cdot B(n-k)$.

Una formula per $B(n)$ massimizza solo quell'espressione $k$, utilizzando i valori precedenti $B(n-1), B(n-2),\dots$.

Ho provato a farlo a mano e ho trovato (con l'aiuto di @Sudix, grazie) $1,2,3,5,7,11,16,23,34,\dots$. Questo sembra essere A239288 nell'enciclopedia online delle sequenze di numeri interi di Sloanes. La ricorsione fornita è simile, ma non esattamente la stessa.

La spiegazione della sequenza è: "Somma massima di x0 + x0 * x1 + ... + x0 * x1 * ... * xk su tutte le composizioni x0 + ... + xk = n". Questa è davvero la stessa sequenza: se la sequenza di arità lungo il percorso dalla radice è x0, x1, ..., xk queste dovrebbero essere sommate a n, e il numero di nodi è davvero la formula data.

Un'altra osservazione a Sloane è interessante: "Per n> = 8 la soluzione diventa ciclica: a (3n + k) = 3 + 3a (3n - 3 + k)". Ciò sembra suggerire che per valori superiori a 24 la radice dell'albero abbia sempre tre figli.