Esiste un codice binario con lunghezza 6, dimensione 32 e distanza 2?

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Il problema è provare o confutare l'esistenza di , st, ; ; . ( sta per distanza di martellamento) $C$ $|c| = 6,\forall c\in C$ $|C| = 32$ $d(c_i,c_j)\geq2,1\leq i<j\leq32$ $d$

Ho provato a costruire un codice soddisfacente. Il meglio che posso ottenere è lasciare che $C = C'\times C'$ , una concatenazione di $C' = \{000,011,110,101\}$ , che è di dimensione 16. 32 sembra essere il limite superiore teorico della dimensione, ora non so cosa fare dopo per risolvere il problema.

information-theory coding-theory encoding-scheme

— Miangu
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Sì, esiste un tale set. Sei effettivamente sulla strada giusta per trovare il seguente esempio.

Sia $C = \{c : |c|=6 \text{ and there are even number of 1's in c}\}$ . Puoi controllare quanto segue.

$|C|=32$ .
$d(u,v)\geq2$ per tutti , . (In effetti, o 4 o 6.) $u,v\in C$ $u\not=v$ $d(u,v)=2$

Ecco quattro esercizi correlati, elencati in ordine crescente di difficoltà. Come nella domanda, è interessato solo il codice binario.

Esercizio 1. Fornisci un altro esempio di un insieme di 32 parole di lunghezza 6 e distanza a coppie almeno 2.

Esercizio 2. Mostra che ci sono solo due di questi insiemi, come indicato nella risposta e nell'esercizio 1.

Esercizio 3. Generalizza quanto sopra a parole di qualsiasi lunghezza e distanza in coppia almeno 2 (Suggerimento, .) $32=2^{6-1}$

Esercizio 4. (ulteriore generalizzazione dichiarata nella risposta di Yuval) Se è la dimensione massima di un codice di lunghezza e distanza minima a coppie , quindi . $A(n,d)$ $n$ $d$ $A(d,2d)=A(n-1,2d-1)$

— John L.
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Penso che possa anche essere 6, in particolare per e , poiché sia che perché entrambi hanno un numero pari di 1. Oppure mi sfugge qualcosa?

d (u, v)

$d(u,v)$

u = 000000

$u=000000$

v = 111111

$v=111111$

u \in C

$u\in C$

v \in C

$v\in C$

— assedi

@siegi, grazie. Aggiornato.

— John L.,

@Miangu è la mia risposta utile? Hai pensato di accettarlo?

— John L.

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Tutte le parole di parità pari da un codice lineare con parole chiave e distanza minima . $2^{n-1}$ $2$

Più in generale, se è la dimensione massima di un codice di lunghezza e distanza minima , allora . $A_2(n,d)$ $n$ $d$ $A_2(n,2d) = A_2(n-1,2d-1)$

— Yuval Filmus
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Bel fatto, votato. A proposito, perché non solo invece di ? Oh, due lettere.

A (n, d)

$A(n,d)$

A_{2} (n, d)

$A_2(n,d)$

— John L.,

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Il pedice indica il campo .

F_{2}

$\mathbb{F}_2$

— Yuval Filmus,