Costruisci due funzioni

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Costruisci due funzioni soddisfacente: $f,g: R^+ → R^+$

$f, g$ sono continui;
$f, g$ stanno aumentando monotonicamente;
$f \ne O(g)$ e . $g \ne O(f)$

asymptotics landau-notation

— Jessie
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Hai considerato la possibilità che tali funzioni non esistano?

— jmite,

Se entrambi sono logaritmico-esponenziali, allora o . La maggior parte delle funzioni incontrate nella pratica sono di questa forma.

f, g

$f,g$

f = O (g)

$f=O(g)$

g = O (f)

$g=O(f)$

— Yuval Filmus

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Ci sono molti esempi per tali funzioni. Forse il modo più semplice per capire come ottenere un tale esempio è costruirlo manualmente.

Cominciamo con la funzione sui numeri naturali, in quanto possono essere continuamente completati ai reali.

Un buon modo per garantire che e sia di alternare tra i loro ordini di grandezza. Ad esempio, potremmo definire $f\neq O(g)$ $g\neq O(f)$

$f(n)=\begin{cases} n & n \text{ is odd}\\ n^2 & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

Poi, potremmo avere si comportano al contrario sulle pari e dispari. Tuttavia, questo non funziona per te, perché queste funzioni non stanno aumentando monotonicamente. $g$

Tuttavia, la scelta di era in qualche modo arbitraria e potremmo semplicemente aumentare le magnitudini in modo da avere la monotonia. In questo modo, potremmo trovare: $n,n^2$

$f(n)=\begin{cases} n^{2n} & n \text{ is odd}\\ n^{2n-1} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$ e $g(n)=\begin{cases} n^{2n-1} & n \text{ is odd}\\ n^{2n} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

Chiaramente queste sono funzioni monotone. Inoltre, , poiché sugli interi dispari, si comporta come mentre si comporta come e viceversa sui pari. $f(n)\neq O(g(n))$ $f$ $n^{2n}$ $g$ $n^{2n-1}=n^{2n}/n=o(n^{2n})$

Ora tutto ciò che serve è completarli nei reali (ad es. Aggiungendo parti lineari tra gli interi, ma questo è davvero accanto al punto).

Inoltre, ora che hai questa idea, potresti usare le funzioni trigonometriche per costruire `` formule chiuse '' per tali funzioni, poiché e sono oscillanti e raggiungono il picco su punti alternati. $\sin$ $\cos$

— Shaull
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Possiamo dire che e ? e sono come definito nella vostra risposta.

f (n) \in O (n^{2 n})

$f(n) \in O(n^{2n})$

g (n) \in O (n^{2 n})

$g(n) \in O(n^{2n})$

f (n)

$f(n)$

g (n)

$g(n)$

— maggio

Sì. Possiamo anche dire che (in modo simile per ), che è più forte di .

f (n) \leq n^{2 n}

$f(n)\le n^{2n}$

g

$g$

O

$O$

— Shaull

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Una buona illustrazione per me è: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%29%2B2x%2C+cos%28x%29%2B2x

f (n) = 2 x + s i n (x)

$f(n) =2x+sin(x)$

g (n) = 2 x + c o s (x)

$g(n) =2x+cos(x)$

f \neq O (g)

$f\neq O(g)$

g \neq O (f)

$g\neq O(f)$

— user15305
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In realtà sono entrambi uno dall'altro.

O

$O$

— Karolis Juodelė,