Quante distanze più brevi cambiano quando si aggiunge un bordo a un grafico?

Sia un grafico completo, ponderato e non orientato. Costruiamo un secondo grafico aggiungendo i bordi uno per uno da a . Aggiungiamo i bordi a in totale. $G=(V,E)$ $G'=(V, E')$ $E$ $E'$ $\Theta(|V|)$ $G'$

Ogni volta che aggiungiamo un bordo a , consideriamo le distanze più brevi tra tutte le coppie in e . Contiamo quante di queste distanze più brevi sono cambiate come conseguenza dell'aggiunta . Lascia che sia il numero di distanze più brevi che cambiano quando aggiungiamo l' bordo e lascia che sia il numero di bordi che aggiungiamo in totale. $(u,v)$ $E'$ $(V, E')$ $(V, E' \cup \{ (u,v) \})$ $(u,v)$ $C_i$ $i$ $n$

Quanto è grande ? $C = \frac{\sum_i C_i}{n}$

Come , . Questo limite può essere migliorato? Nota che definisco come media su tutti i bordi che sono stati aggiunti, quindi un singolo giro in cui cambiano molte distanze non è poi così interessante, anche se dimostra che . $C_i = O(|V|^2)=O(n^2)$ $C=O(n^2)$ $C$ $C = \Omega(n)$

Ho un algoritmo per calcolare avidamente una chiave a T geometrica che funziona in tempo , quindi se è , il mio algoritmo è più veloce dell'algoritmo originale avido, e se è veramente piccolo, potenzialmente più veloce dell'algoritmo più noto (anche se ne dubito). $O(C n \log n)$ $C$ $o(n^2)$ $C$

Alcune proprietà specifiche del problema che potrebbero aiutare con un buon limite: il bordo che viene aggiunto ha sempre un peso maggiore rispetto a qualsiasi bordo già presente nel grafico (non necessariamente strettamente più grande). Inoltre, il suo peso è più breve del percorso più breve tra e . $(u,v)$ $u$ $v$

Si può presumere che i vertici corrispondano ai punti in un piano 2d e che le distanze tra i vertici siano le distanze euclide tra questi punti. Cioè, ogni vertice corrisponde a un punto nel piano e per un bordo suo peso è uguale a $v$ $(x,y)$ $(u,v)=((x_1,y_1),(x_2,y_2))$ $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2.}$

— Alex ten Brink
fonte

Prendi due cricche collegate da un percorso con due bordi. L'aggiunta di un bordo direttamente tra le cricche accorcia dei percorsi più brevi.

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Louis,

@ Louis: sì, ci sono esempi in cui un singolo spigolo fa cambiare molte distanze, ma esistono dei grafici in cui ciò accade per ogni spigolo che aggiungi, o almeno per molti di essi? Questo è esattamente il motivo per cui ho definito come media su tutti i fronti :)

C

$C$

— Alex ten Brink

La maggior parte dei bordi di questo grafico che è possibile aggiungere sono del tipo che ho descritto ...

— Louis

@Louis True. I cliques contengono , tuttavia, che è più di quanto io abbia mai aggiunto al mio grafico.

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Alex ten Brink,

Avevo avuto lo stesso problema in precedenza, ma il mio grafico era una specie di grafici sparsi con e dovrei dimostrare che le modifiche medie sono O (1) ma non sono riuscito a farlo :-). Ma per il tuo caso penso che se trovi una relazione tra questo e la soluzione di APSP puoi ottenere alcuni risultati.

| E | = O (| V |)

$|E|=O(|V|)$

Considera la seguente catena lineare con nodi, spigoli e pesi scelti con cattiveria: $n+1$ $n$

esempio
^{[ fonte ]}

Chiaramente, i bordi avrebbero potuto essere aggiunti in ordine di peso e ne sono presenti . L'aggiunta del bordo tratteggiato (che è legale) crea percorsi più brevi per tutte le coppie con . Come e supponendo che , sia la prima che l'ultima riga contengono molti nodi ciascuno e l'aggiunta causa molti cambiamenti di percorso più brevi. $n \in \mathcal{O}(|V|)$ $(u_i,b_j)$ $i,j = 1,\dots,k$ $k \approx \frac{n}{4}$ $n \in \Theta(|V|)$ $\Theta(|V|)$ $\Theta(|V|^2)$

Ora possiamo spostarci "verso l'esterno", cioè aggiungere il bordo successivo con peso tra e e così via; se continuiamo a in totale modifiche del percorso più breve. $n+2$ $u_{k-1}$ $b_{k-1}$ $(u_1,b_1)$ $\Theta(|V|^3)$

Se ciò non ti convince, nota che puoi effettivamente iniziare questo "processo" con e verso l'esterno; in questo modo aggiungi bordi che causano in totale molti percorsi più brevi modifiche --- questo è semplicemente impossibile disegnare per adattarsi su uno schermo. $(c_1,c_2)$ $\approx n$ $\approx \sum_{i=1}^{n}i^2 \in \Theta(n^3) = \Theta(|V|^3)$

— Raffaello
fonte

Funziona davvero, e inoltre, il tuo esempio può essere leggermente modificato per diventare euclideo. Grazie :)

— Alex ten Brink,