Possiamo generare numeri casuali usando numeri irrazionali come π ed e?

I numeri irrazionali come , e hanno una sequenza univoca e non ripetitiva dopo il punto decimale. Se estraiamo l' -esima cifra da tali numeri (dove è il numero di volte in cui viene chiamato il metodo) e creiamo un numero con le cifre così come sono, non dovremmo ottenere un generatore di numeri casuali perfetto? Ad esempio, se stiamo usando , e , il primo numero è 123, il secondo è 471, il successivo è 184 e così via.$\pi$$e$$\sqrt{2}$$n$$n$$\sqrt{2}$$e$$\pi$

Lo svantaggio più evidente è la complessità non necessaria degli algoritmi PRNG basati su numeri irrazionali. Richiedono calcoli molto più per cifra generata di, diciamo, un LCG; e questa complessità in genere aumenta man mano che vai avanti nella sequenza. Il calcolo di 256 bit di π al bit di due quadrilioni ha richiesto 23 giorni su 1000 computer (nel 2010) - una complessità piuttosto proibitiva per un RNG.

Per ogni definizione ragionevole di perfetto, il meccanismo che descrivi non è un generatore di numeri casuali perfetto.

• Non ripetere non è abbastanza. Il numero decimale $0.101001000100001\dots$ non si ripete ma è un terribile generatore di cifre casuali, poiché la risposta è "sempre" zero, a volte una e mai nient'altro.

• In realtà non sappiamo se ogni cifra si verifica ugualmente spesso nell'espansione decimale di $\pi$ o  $\mathrm{e}$ (anche se sospettiamo che lo facciano).

• In molte situazioni, richiediamo che i numeri casuali siano imprevedibili (in effetti, se chiedessi a una persona casuale cosa significhi "casuale", probabilmente direbbero qualcosa sull'imprevedibilità). Le cifre delle costanti note sono totalmente prevedibili.

• Di solito vogliamo generare numeri casuali ragionevolmente rapidamente, ma generare cifre successive di costanti matematiche tende ad essere piuttosto costoso.

• È vero, tuttavia, che le cifre di $\pi$ ed  $\mathrm{e}$ sembrano statisticamente casuali, nel senso che ogni possibile sequenza di cifre sembra accadere tutte le volte che dovrebbe. Quindi, ad esempio, ogni cifra si verifica molto vicino a una volta su dieci; ogni sequenza di due cifre molto vicina a una su cento e così via.

È crittograficamente inutile perché un avversario può prevedere ogni singola cifra. Inoltre richiede molto tempo.

( aggiornato dopo che molte persone hanno sottolineato che il generatore di numeri casuali non è la stessa cosa di una singola sequenza normale)

Se chiedi se puoi ottenere una sequenza normale da $\pi$ (cioè, tutti i numeri appaiono uniformemente), allora ci sono diverse risposte su mathoverflow. Ad esempio, la risposta sulla distribuzione delle cifre di Pi dice:

... si ritiene che $\pi$ sia un numero normale (~ distribuzione uniforme di ogni sequenza di cifre).

Per i dati sulla distribuzione delle cifre, vedere ad esempio http://www.eveandersson.com/pi/precalculated-frequencies o https://thestarman.pcministry.com/math/pi/RandPI.html (prime 1000 cifre):

Su mathoverflow, ci sono anche belle risposte a:

• Qual è lo stato della nostra ignoranza sulla normalità di pi?
• Pi contiene 1000 zero consecutivi?

In generale, questo approccio non funziona: "casualità" non significa che ottieni molte cifre diverse, ma ci sono anche altri aspetti. Ad esempio, un test classico consiste nel vedere se tutte le combinazioni di due cifre, tre cifre ecc. Si verificano con la stessa frequenza. Questo sarebbe un test molto semplice, che può escludere evidenti risultati non casuali, ma è ancora troppo semplicistico per verificare un comportamento davvero casuale.

Vedi la pagina di Wikipedia sui test di casualità come una raccolta di collegamenti a fonti primarie al riguardo. Citano una buona quantità di concetti dal suono piuttosto complicato; non è così importante approfondire questo aspetto, ma è chiaro che non è intuitivamente possibile dichiarare un numero specifico come una buona fonte per tali cifre.

Una nota positiva: per un numero irrazionale specifico, sei ovviamente libero di provarlo; vale a dire, calcolare il numero su un grado sufficientemente elevato di cifre ed eseguirlo attraverso tutti i test noti (ci sono strumenti per questo, vedere il link sopra). Se la misura è abbastanza buona per il tuo caso d'uso e se sei consapevole che questo è ovviamente inutile per le applicazioni crittografiche e ottieni sempre gli stessi numeri se dovessi ricominciare da capo e che la qualità potrebbe peggiorare se superi la nscelta per testare la casualità, potresti usare quei numeri. Ma sarà molto meglio usare un generatore di numeri casuali dedicato (pseudo-); e niente batte una buona fonte fisica di casualità.

Fornisce un buon numero casuale fino a quando non ti rendi conto di come è stato prodotto, come con molti numeri pseudo casuali. I numeri irrazionali (non algebrici e non trascendentali) che hai scelto sono comuni e quindi più facili da indovinare di altri. Non riesco a vedere alcun problema con questo metodo purché tu scelga generatori meno comuni.