Differenza tra le lingue accettate da due DFA con diverso stato iniziale / stati accettanti?

Di recente, ho posto una domanda su Math SE. Ancora nessuna risposta. Questa domanda è collegata a quella domanda, ma maggiori dettagli tecnici verso l'informatica.

Dati due DFA $A = (Q, \Sigma, \delta, q_1, F_1)$ e $B = (Q, \Sigma, \delta, q_2, F_2)$ dove l'insieme di stati, l'alfabeto di input e la funzione di transizione di $A$ e $B$ sono gli stessi, gli stati iniziali e gli stati finali (di accettazione) potrebbero essere diversi. Sia $L_1$ e $L_2$ le lingue accettate da $A$ e $B$ , rispettivamente.

Esistono quattro casi:

$q_1 = q_2$ e $F_1 = F_2$ .
$q_1 \neq q_2$ e $F_1 = F_2$ .
$q_1 = q_2$ e $F_1 \neq F_2$ .
$q_1 \neq q_2$ e $F_1 \neq F_2$ .

La mia domanda è

Quali sono le differenze tra $L_1$ e $L_2$ nei casi 2, 3 e 4?

Ho una domanda più specifica su questa linea,

Il monoide di transizione di un automa è l'insieme di tutte le funzioni sull'insieme di stati indotti dalle stringhe di input. Vedi la pagina per maggiori dettagli. Il monoide di transizione può essere considerato come un monoide che agisce sull'insieme di stati. Vedi questa pagina Wiki per maggiori dettagli.

In molte letterature, un automa è chiamato fortemente connesso quando l'azione monoide è transitiva, cioè c'è sempre almeno una transizione (stringa di input) da uno stato a un altro stato.

Se e sono automi fortemente connessi, quali sono le differenze tra e nei casi 2, 3 e 4 sopra? $A$ $B$ $L_1$ $L_2$

Qualche letteratura che discute di questi problemi in dettaglio?

Ho cercato molti libri e articoli e finora non ho trovato nulla di utile. Credo di non avere ancora le parole chiave appropriate. Quindi sto cercando aiuto. Eventuali puntatori / riferimenti saranno molto apprezzati.

formal-languages reference-request finite-automata

— scaaahu
fonte

Cosa intendi con "quali sono le differenze"? Volete sapere se

possono / devono differire nei casi 2,3,4?

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

— Hendrik Jan

@HendrikJan Se leggi la risposta Shaull fornita di seguito, capirai che

possono differire. (Ha usato

). Non so se debbano differire. Fa parte della mia domanda. Ho chiesto "quali sono le differenze?". Non ho implicato che debbano differire.

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

L (A)

$L(A)$

L (B)

$L(B)$

— scaaahu,

Poiché sono fortemente collegati, quindi se , esistono parole tali che e . $A,B$ $q_1\neq q_2$ $p_1,p_2$ $\delta(q_1,p_1)=q_2$ $\delta(q_2,p_2)=q_1$

Considerare il caso 2, quindi iff e iff . Quindi puoi aggiungere un prefisso per passare da una lingua all'altra. $w\in L(A)$ $p_2w\in L(B)$ $x\in L(B)$ $p_1 x\in L(A)$

Prendi in considerazione il caso 3, poi di nuovo: con una forte connettività al massimo le parole tale che per ogni hai quel , e similmente per l'altra direzione (da a ). $|F_1|$ $s_1,...,s_k$ $q_i\in F_1$ $\delta(q_i,s_i)\in F_2$ $B$ $A$

Pertanto, è possibile comporre suffissi per passare da una lingua all'altra.

Combinando queste puoi caratterizzare le differenze usando prefissi e suffissi. Ad esempio, nel caso 4, iff in per alcuni in un set finito predeterminato. $w\in L(B)$ $p_1 w s_i$ $L(A)$ $s_i$

In effetti, puoi anche dire qualcosa di interessante su queste parole: definisci come DFA dove è lo stato iniziale e è lo stato finale, quindi nel caso 2 hai (e similmente per l'altra direzione). $C$ $q_1$ $q_2$ $L(B)=L(C)\cdot L(A)$

Per quanto riguarda i suffissi, le cose sono più coinvolte, dal momento che non puoi predeterminare in quale stato finale finirai. Non sono sicuro che puoi scrivere questo come concatenazione, ma puoi scrivere dove è il DFA ottenuto da impostando ed è un DFA che inizia in con stati finali . $L(B)=\bigcup_{q\in F_1}L(A_q)\cdot L(E_q)$ $A_q$ $A$ $F=\{q\}$ $E_q$ $q$ $F_2$

Per il caso 4 è possibile combinare i due.

Potresti essere preoccupato che questa non sia una vera risposta, ma piuttosto solo una caratterizzazione delle proprietà usando parole piuttosto che stati, ma questa è una risposta tipica in questo campo (analogamente al teorema di Myhill-Nerode).

— Shaull
fonte

Capisco la tua risposta. Il mio problema è, ad esempio, che

non è unico, cioè ci sono molti

tali che

. Quindi ci sono molti prefissi nella differenza tra

. Abbiamo risposte più precise?

p_{1}

$p_1$

p_{1}

$p_1$

δ (q_{1}, p_{1}) = q_{2}

$\delta(q_1,p_1) = q_2$

L (A)

$L(A)$

L (B)

$L(B)$

— scaaahu,

Ho modificato la risposta con alcune informazioni più precise.

— Shaull

Ho veramente piace l'idea di che DFA

. Penso di avere un'idea approssimativa di come affrontare i casi 3 e 4. Grazie mille. Aspetterò un po 'prima di accettare questa risposta.

C

$C$

— scaaahu,

Si prega di notare ulteriori modifiche nel post.

— Shaull

Buona idea. Stai prendendo uno stato finale alla volta e poi prendendo il sindacato. Spero che la mia interpretazione sia corretta.

— scaaahu,