Star lingua libera vs. lingua normale

Mi chiedevo, poiché è esso stesso un linguaggio senza stelle, esiste un linguaggio normale che non è un linguaggio senza stelle? Potresti fare un esempio?$a^*$

(da wikipdia ) Lawson definisce le lingue senza stelle come:

Si dice che un linguaggio regolare sia privo di stelle se può essere descritto da un'espressione regolare costruita con le lettere dell'alfabeto, il simbolo del set vuoto, tutti gli operatori booleani - compresa la complementazione - e la concatenazione ma nessuna stella di Kleene.

Ecco la prova di stelle:$a^*$

$\emptyset$ è senza stelle è senza stelle Se quindi è senza stelle If quindi è privo di stelle$\Longrightarrow$
$\Sigma^*=\bar{\emptyset}$$\Longrightarrow$
$A\subseteq\Sigma$$\Sigma^*A\Sigma^*$$\Longrightarrow$
$A\subseteq\Sigma$$A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$

Nell'ultima riga abbiamo , perché qualsiasi parola che non è in forma contiene una lettera in e viceversa.$A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$$A^*$$\Sigma \setminus A$

Le lingue regolari sono quelle che possono essere descritte da una logica monadica di secondo ordine (WMSO) debole [1].

Le lingue senza stelle sono quelle che possono essere descritte dalla logica del primo ordine con$<$ (FO [<]) [2].

Le due logiche non sono ugualmente potenti. Un esempio per un linguaggio definibile da WMSO ma non da FO [<] - definibile è (che è chiaramente regolare³); questo può essere mostrato usando i giochi Ehrenfeucht-Fraissé ⁴.$(aa)^*$

1. Debole aritmetica del secondo ordine e automi finiti di Büchi (1960)
2. Automi contro-liberi di McNaughton e Papert (1971)

3. Una formula WMSO per è$(aa)^*$

   $\ \begin{align} \bigl[ \forall x. P_a(x)\bigr] \land \Bigl[ \exists x. P_a(x) \to \bigl[ \exists X. X(0) &\land [\forall x,y. X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to \lnot X(y)] \\ &\land [\forall x,y. \lnot X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to X(y)] \\ &\land [\forall x. \operatorname{last}(x) \to \lnot X(x)] \bigr] \Bigr] \;. \end{align}$

   (Se la parola non è vuota, è l'insieme di tutti gli indici pari.)$X$

4. Vedi anche qui .

Schützenberger (1965) ha dato una caratterizzazione algebrica delle lingue senza stelle: una lingua normale è senza stelle se e solo se il suo monoide sintattico è aperiodico. Contrariamente alla caratterizzazione logica (senza stelle = FO [<]), questa caratterizzazione algebrica fornisce un algoritmo per decidere se un determinato linguaggio regolare è privo di stelle (il linguaggio normale può essere dato da un automa finito, un'espressione regolare o un grammatica regolare). Utilizzando la caratterizzazione logica (dovuta a McNaughton e Papert) si può quindi decidere il seguente problema: data una formula WMSO, esiste una formula FO che descrive la stessa lingua?

M.-P. Schützenberger, Sui monoidi finiti con solo sottogruppi banali, Informazione e controllo 8 (1965), 190-194.

R. ~ McNaughton e S. ~ Papert, automi Counter-free, The MIT Press, Cambridge, Mass.-London, 1971.

Una prova completa del teorema di Schützenberger può essere trovata in vari libri di testo o documenti di indagine. Per una presentazione elementare dell'algoritmo corrispondente (senza una prova), vedere

J.-E. Pin, semigruppi finiti e lingue riconoscibili: un'introduzione, nei semigruppi dell'Istituto di studi avanzati della NATO, lingue e gruppi formali , J. Fountain (éd.), 1-32, editori accademici Kluwer, (1995).

I linguaggi liberi da stelle sono descritti da espressioni regolari che includono concatenazione, complementazione, unione, intersezione, ma nessuna stella di Kleene.

Dal momento che le lingue regolari sono chiuse in tutte queste operazioni (in cui la complementarità è il punto cruciale), anche ogni lingua senza stelle è regolare.

Forse intendi il contrario? Tutte le lingue normali sono prive di stelle? La risposta a quest'ultima è no. Vedi questo documento per i dettagli.

Un semplice esempio di separazione è (aa) *. Più sofisticato: tutte le stringhe binarie con parità pari (o dispari).