Il calcolo SK2 è una base completa, in cui K2 è il combinatore K capovolto?

In particolare, se ho definito un nuovo come invece di il sarebbe una base competitiva?$K_2$

La mia ipotesi è "no" solo perché non riesco a costruire il combinatore K normale dai combinatori , e , ma non ho un algoritmo da seguire, né ho una buona intuizione sulla creazione di cose da questi combinatori.$S$$I$$K_2$

Sembra che tu possa definire con il normale -calculus, ma non potrei davvero lavorare all'indietro per ottenere una derivazione di in termini di e il resto.

Il mio tentativo di provare che non era funzionalmente completo essenzialmente tentò di costruire in modo esaustivo ogni funzione raggiungibile da questi combinatori al fine di dimostrare che si raggiunge un vicolo cieco (una funzione che si è già vista prima) indipendentemente dai combinatori che si utilizzano. Mi rendo conto che questo non sarà necessariamente vero per insiemi di combinatori funzionalmente incompleti (ad esempio il combinatore da solo non finirà mai quando applicato a se stesso), ma questo è stato il mio pensiero migliore. Sono sempre stato in grado di usare il combinatore per sgattaiolare fuori da quello che pensavo fosse finalmente un vicolo cieco, quindi non sono più così sicuro della fattibilità di questo approccio.$K$$S$

Ho fatto questa domanda su StackOverflow ma sono stato incoraggiato a pubblicarlo qui. Ho ricevuto alcuni commenti su quel post, ma non sono sicuro di averli compresi bene.

Bonus: se non è una base completa, la lingua risultante è comunque Turing completa?

Considera i termini del calcolo $S,K_2,I$ come alberi (con nodi binari che rappresentano le applicazioni e foglie $S, K_2$ che rappresentano i combinatori.

Ad esempio, il termine $S(SS)K_2$ sarebbe rappresentato dall'albero

        @
       / \
      /   \
     @    K2
    / \
   /   \
  S     @
       / \
      /   \
     S     S

Ad ogni albero $T$ associa la sua foglia più a destra, quella che ottieni prendendo il ramo giusto su ciascuna @. Ad esempio, la foglia più a destra dell'albero sopra è $K_2$ .

Come si può vedere dall'arte ASCII in basso, tutte le regole di riduzione in $S, K_2, I$ calcolo mantengono la foglia più a destra.

         @                           @
        / \                         / \
       /   \                       /   \
      @     g    [reduces to]     @     @
     / \                         / \   / \
    /   \                       e   g f   g
   @     f                 
  / \
 /   \
S     e

      @
     / \
    /   \
   @     f    [reduces to]   f
  / \
 /   \
K2    e

Da lì in poi, è facile vedere che se un termine $T$ riduce a $T'$ , allora $T$ e $T'$ hanno la stessa foglia più a destra. Quindi, non esiste un termine $T$ nel calcolo $S, K_2, I$ tale che $TK_2S$ riduca a $K_2$ . Tuttavia, $KK_2S$ riduce a $K_2$ , quindi $K$ non può essere espresso nel calcolo $S,K_2, I$

$S,K_2,I$

$A,B,C$

• $K: A \rightarrow B \rightarrow A$
• $K_2: A \rightarrow B \rightarrow B$
• $S: (A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C)$
• $I: A \rightarrow A$

$K$$I,S,K_2$$A \rightarrow B \rightarrow B, (A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C), A \rightarrow A$$A$$A \rightarrow B$$B$$A \rightarrow B \rightarrow A$

t,f,u$\rightarrow$$A \rightarrow B \rightarrow B$$(A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C)$$A \rightarrow A$t

A B | A -> B
t t | t
t f | f
f t | t
f f | t
t u | f
f u | t
u t | t
u f | f
u u | t

$K_2, S, I$tt$A \rightarrow B \rightarrow A$fu$A$t$B$$S, K_2, I$