Equa divisione della torta bidimensionale

Sono interessato a procedure per un'equa divisione della terra (ovvero divisione senza invidia o almeno divisione proporzionale).

Contrariamente al ben studiato problema della divisione della torta, la divisione della terra è bidimensionale, cioè le preferenze degli utenti possono variare sia in orizzontale che in verticale. Pertanto, non è pratico limitare l'algoritmo ai tagli paralleli.

L'unico riferimento che ho trovato finora è Karthik Iyer e Michael Huhns, 2007 . Dicono che "Finora non abbiamo trovato soluzioni costruttive (algoritmiche) al problema generico della divisione del territorio. Tutti gli articoli hanno offerto soluzioni esistenziali a versioni qualificate del problema".

Essi stessi dimostrano un algoritmo O (n ^ 2) per la divisione terrestre proporzionale, con alcune limitazioni (ad esempio, ciascuno degli n agenti deve contrassegnare n regioni rettangolari con utilità 1 / n, e se i rettangoli non si sovrappongono troppo, l'algoritmo garantisce che ogni agente ottenga uno dei suoi rettangoli).

Sei a conoscenza di riferimenti più recenti su questo problema? Sono interessato specificamente agli algoritmi pratici e possono essere approssimativi.

Gli autori che citi hanno un altro articolo sull'argomento .

Saresti soddisfatto di un modello che presuppone che le proprietà delle superfici da allocare possano essere riassunte da un insieme arbitrariamente grande ma finito di parametri unidimensionali (diciamo lunghezza, profondità, punto più a nord, punto più a est, ... proprio come quanti ne vuoi ma finiti)?

Se questo è soddisfacente per te e sei d'accordo nel supporre che le persone abbiano preferenze sulle superfici, come descritto dai valori di questi parametri, potresti trovare utili spunti nella teoria della corretta allocazione di pacchi di più beni. Un'ottima (e gratuita) introduzione è "Fair Allocation Rules" di William Thomson .

Naturalmente quando le dimensioni rappresentano parametri che descrivono le forme da allocare, è probabile che si abbiano preferenze insolite con le quali è difficile lavorare e che non si adattano perfettamente ai risultati esistenti. Potrebbe valere la pena provarlo però ...

Suppongo che potresti affrontare il problema riducendo la dimensionalità del problema. Ad esempio, potresti dividere il terreno in aree discrete (manualmente o usando un algoritmo adatto). Quindi è possibile utilizzare qualsiasi algoritmo monodimensionale discreto come il metodo di offerta Sealed descritto in http://www.colorado.edu/education/DMP/fair_division.html .

Non ho trovato una risposta adeguata, quindi ho dovuto scriverne una io . Era la prima parte del mio dottorato di ricerca. tesi. Ci sono ancora molte domande aperte in questo campo.