Dato un grafico cordale

Un grafico è cordale se non ha cicli indotti di lunghezza 4 o superiore. Un albero cricca T di G è un albero in cui i vertici dell'albero sono le cricche massimali di G . Un bordo in T corrisponde a un separatore minimo. Il numero di distinti alberi di cricca può essere esponenziale nel numero di vertici in un grafico cordale.$G$$4$$T$$G$$G$$T$

La ridotta cricca grafico è l'unione di tutti gli alberi cricca di G . Cioè, ha tutti gli stessi vertici e tutti i bordi possibili. Qual è la complessità del calcolo di C r ( G ) per un dato G ?$C_r(G)$$G$$C_r(G)$$G$

Credo che una volta ho visto una presentazione sostenendo può essere calcolata in O ( m + n ) tempo senza prove. Ciò significa che è facile come calcolare un albero cricca di G . Esiste un riferimento che lo conferma o che fornisce un algoritmo più lento per il suo calcolo?$C_r(G)$$O(m+n)$$G$

La complessità è O (nm) ... da G calcola le cricche massime e rendile vertici nel tuo grafico H (inizialmente senza bordi) ... quindi calcola tutti i separatori minimi e ordinali per dimensione ... scegli il separatore più grande S e fai due cricche C, C 'adiacenti in H (collegale con un bordo con etichetta S) se C, C' contengono entrambe S e sono in diversi componenti collegati di H (inizialmente questo è ovviamente sempre vero, ma può non essere più tardi) ... quindi selezionare il separatore più grande successivo e fare lo stesso ... ripetere fino a quando tutti i separatori non vengono elaborati ... il grafico risultante H è il grafico a cricca ridotto di G ... il calcolo di cricche massime e separatori minimi prende O (n + m) ... ci sono O (n) cricche e O (n) separatori ... il resto della costruzione è O (nm) poiché l'elaborazione di ciascun separatore può richiedere O (m) tempo ... .. .questo non può essere migliorato sotto O (n ^ 2) a meno che non si riesca a risolvere il seguente problema: dato un grafico G trovare due vertici u, v tale che N (u) contenga N (v) ... quest'ultimo non è noto per avere Soluzione O (n + m) ... ... è quindi improbabile che sia possibile un algoritmo O (n + m) per il calcolo di grafici a cricca ridotti ...

vedere la Sezione 5 in M. Habib, J. Stacho: algoritmo del tempo polinomiale per il leafage dei grafici cordali, In: Algorithms - ESA 2009, Lecture Notes in Computer Science 5757/2009, pp. 290-300. ( http://www.cs.toronto.edu/~stacho/public/leafage-esa1.pdf )