Intuizione dietro autovalori di una matrice di adiacenza

Attualmente sto lavorando per comprendere l'uso del limite di Cheeger e della disuguaglianza di Cheeger e il loro uso per il partizionamento spettrale, la conduttanza, l'espansione, ecc., Ma faccio ancora fatica ad avere un'intuizione riguardo al secondo autovalore della matrice di adiacenza.
Di solito, nella teoria dei grafi, la maggior parte dei concetti che ci imbattiamo sono abbastanza semplici da intuire, ma in questo caso, non riesco nemmeno a pensare a quale tipo di grafici avrebbe un secondo autovalore molto basso o molto alto.
Ho letto domande simili fatte qua e là sulla rete SE, ma di solito si riferiscono a autovalori in diversi campi ( analisi multivariata , matrici di distanza euclide , matrici di correlazione ...).
Ma niente sul partizionamento spettrale e sulla teoria dei grafi.

Qualcuno può provare a condividere la sua intuizione / esperienza di questo secondo autovalore nel caso di grafici e matrici di adiacenza?

Il secondo autovalore (in magnitudo) controlla la velocità di convergenza della camminata casuale sul grafico. Questo è spiegato in molti appunti, ad esempio gli appunti di Luca Trevisan . In parole povere, la distanza L2 dall'uniformità dopo $t$ passi può essere limitata da $\lambda_2^t$ .

Un altro luogo in cui si manifesta il secondo autovalore è il problema della cricca piantata . Il punto di partenza è l'osservazione che una casuale $G(n,1/2)$ grafico contiene una cricca di dimensione $2\log_2 n$ , ma l'algoritmo greedy trova solo una cricca di dimensioni $\log_2 n$ , e non migliore algoritmo efficiente è nota. (L'algoritmo avido sceglie solo un nodo casuale, butta via tutti i non vicini e si ripete.)

Ciò suggerisce piantare un grande cricca in cima $G(n,1/2)$ . La domanda è: quanto deve essere grande la cricca, in modo che possiamo trovarla in modo efficiente. Se piantiamo una cricca di taglia $C\sqrt{n\log n}$ , quindi potremmo identificare i vertici della cricca solo per il loro grado; ma questo metodo funziona solo per cricche di dimensione$\Omega(\sqrt{n\log n})$. Possiamo migliorarlo usando tecniche spettrali: se piantiamo una cricca di taglia$C\sqrt{n}$ , quindi ilsecondo autovettorecodifica la cricca, comeAlon, Krivelevich e Sudakovhanno mostrato in un documento classico.

Più in generale, i primi autovettori sono utili per suddividere il grafico in un piccolo numero di cluster. Vedi ad esempio il capitolo 3 degli appunti di Luca Trevisan , che descrive le disuguaglianze di Cheeger di ordine superiore.

(Dichiarazione di non responsabilità: questa risposta riguarda gli autovalori dei grafici in generale, non il secondo autovalore in particolare. Spero che sia comunque utile.)

Un modo interessante di pensare agli autovalori di un grafico $G = (V, E)$ è quello di prendere lo spazio vettoriale $\mathbb{R}^n$ dove $n = |V|$e identificare ogni vettore con una funzione $f\colon V \to \mathbb{R}$ (cioè un'etichettatura dei vertici). Un autovettore della matrice di adiacenza, quindi, è un elemento di $f \in \mathbb{R}^n$ tale che esiste $\lambda \in \mathbb{R}$ (cioè un autovalore) con $A f = \lambda f$ , $A$essendo la matrice di adiacenza di $G$ . Si noti che $A f$ è il vettore associato alla mappa che invia ogni vertice $v \in V$ a $\sum_{u \in N(v)} f(u)$ , $N(v)$ essendo l'insieme dei vicini (cioè i vertici adiacenti a) $u$ . Quindi, in questa impostazione, la proprietà autovettore di $f$ corrisponde alla proprietà che sommando i valori della funzione (sotto $f$ )dei vicini di un vertice produce lo stesso risultato della moltiplicazione del valore della funzione del vertice con la costante $\lambda$ .

$G$

$G$$d$$G$$L= I - \frac1d A$$I$$n\times n$$A$$f: V\to \mathbb{R}$$\langle \cdot, \cdot \rangle$$L$

$$\langle f, Lf\rangle = \frac{1}{d} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}.$$

$A$$d$$L$$0$$\lambda_2$$A$$L$$1 - \frac{\lambda_2}{d}$

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f, f\rangle}:\sum_{v \in V}{f(v)} = 0, f \neq 0\right\}.$$

Si noti che non cambia quando si sposta della stessa costante per ogni vertice. Quindi, equivalentemente, puoi definire, per qualsiasi , la funzione "centrata" di e scrivi$\langle f, Lf\rangle$$f$$f:V \to \mathbb{R}$$f_0$$f_0(u) = f(u) - \frac{1}{n}\sum_{v \in V}{f(v)}$

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f_0, f_0\rangle}: f \text{ not constant}\right\}.$$

Ora un po 'di calcolo mostra che , e sostituendo sopra e dividendo numeratore e denominatore per , abbiamo$\langle f_0, f_0\rangle = \frac{1}{n}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}$$\frac{n}{2}$

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\frac{2}{nd} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}}{\frac{2}{n^2}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}}: f \text{ not constant}\right\}.$$

Ciò significa che, se posizioniamo ogni vertice di sulla linea reale nel punto , la distanza media tra due vertici casuali indipendenti nel grafico (il denominatore) è al massimo volte la distanza media tra i punti finali di un bordo casuale nel grafico (il numeratore). Quindi, in questo senso, un ampio gap spettrale significa che ciò che accade attraverso un bordo casuale di (comportamento locale) è un buon predittore di ciò che accade attraverso una coppia casuale non correlata di vertici (comportamento globale).$u$$G$$f(u)$$\frac{d}{d - \lambda_2}$$G$