Sintesi del programma, decidibilità e problema di arresto

Stavo leggendo una risposta a una domanda recente e mi è venuta in mente una specie di pensiero strano ed effimero. La mia richiesta potrebbe tradire che la mia teoria non è seriamente carente (per lo più vera) o che è troppo presto per leggere questo sito. Ora, con il disclaimer fuori dai piedi ...

È un risultato ben noto la teoria della calcolabilità secondo cui il problema dell'arresto non può essere deciso per le TM. Tuttavia, ciò non esclude la possibilità che esistano macchine in grado di risolvere il problema di arresto per determinate classi di macchine (ma non tutte).

Considera l'insieme di tutti i problemi decidibili. Per ogni problema esistono infinite TM che decidono quella lingua. Potrebbe essere possibile quanto segue

Esiste una TM che decide il problema di arresto per un sottoinsieme di macchine di Turing; e $S$
Tutti i problemi decidibili sono decisi da almeno una macchina di Turing in ? $S$

Naturalmente, trovare la macchina di Turing in potrebbe non essere calcolabile da solo; ma ignoriamo quel problema. $S$

EDIT: Sulla base della risposta di Shaull di seguito, sembra che (a) questa idea sia troppo mal specificata per essere significativa o (b) il mio precedente tentativo non era del tutto corretto. Mentre cerco di elaborare nei commenti alla risposta di Shaull, il mio intento non è che stiamo garantito che la TM ingresso è in . Ciò che intendevo veramente con la mia domanda è se potesse esistere una simile , tale che l'appartenenza a fosse un problema determinabile . Il programma per risolvere il problema di arresto per dovrebbe, presumibilmente, scrivere "input non valido" sul nastro o qualcosa quando gli viene dato un input che riconosce come non essere in $S$ $S$ $S$ $S$ $S$ . Quando lo formulo in questo modo, non sono sicuro che questo ci consenta di risolvere il problema dell'arresto o meno, o se si applichi il teorema di Rice (la decidibilità è una proprietà semantica di una lingua scritta dal teorema di Rice?)

turing-machines undecidability halting-problem

— Patrick87
fonte

pensa che ci sia una domanda legittima / significativa ai confini della teoria in agguato qui da qualche parte ma non nella forma attuale, tuttavia +1 per provare [e che il disclaimer all'inizio è sorprendente considerando il tuo stato di rappresentante / moderatore] ... forse questo è la domanda che stavi leggendo? algoritmo per risolvere il problema di arresto

— turings

forse un altro modo per formulare la domanda, non so se questo era l'intento (che lo rende molto avanzato). considerare tutti i possibili "quasialgorithms" e i relativi insiemi riconosciuti . [vedi altra domanda per defn]. l'unione di tutti questi insiemi riconosciuti uguale all'insieme di tutte le TM ricorsive / decidibili?

S_{n}

$S_n$

S_{n}

$S_n$

— vzn

Penso che potrebbe esserci un problema con la formulazione del problema.

Considera l'insieme è un decisore della sua lingua . Il problema di arresto è decidibile per questo set (ovvero, se ci viene promesso che l'input è in questo set). In effetti, è banale (le macchine in si fermano sempre). $S=\{M: M$ $\}$ $S$

Inoltre, chiaramente ogni linguaggio decidibile è in . $S$

EDIT: in base ai cambiamenti nella domanda - in effetti, l'appartenenza a sarebbe indecidibile: se contiene una macchina per ogni lingua decidibile, allora . Così, per il teorema di Rice, se è decidibile, allora contiene ogni macchina, ma poi il problema della terminazione è indecidibile su . $S$ $S$ $S\neq \emptyset$ $S$ $S$ $S$

— Shaull
fonte

In altre parole, risponde banalmente alla domanda positivamente.

S = {⟨ A ⟩ ∣ \forall x . A (x) ↓, L (A) \in R}

$S = \{\langle A \rangle \mid \forall x. A(x) \downarrow, L(A) \in \mathrm{R}\}$

— Raffaello

@Raphael - no, perché mentre , non implica che sia un decisore. Ecco perché prendiamo esplicitamente i decisori.

L (A) \in R

$L(A)\in R$

A

$A$

— Shaull

Ah giusto. Risolto il commento.

— Raffaello

+1 Non sono sicuro di aver comunicato chiaramente il mio significato. Quello che veramente volevo chiedere è se è possibile che un tale

esiste, e noi può controllare un arbitrario TM per vedere se è in

. Non sappiamo a priori che è in

; solo che

è formulato in modo tale da poter verificare. In altre parole, è possibile che esista una

tale che l'appartenenza a

sia determinabile? Inoltre, la tua ultima frase è alquanto confusa;

è un insieme di macchine di Turing (beh, le loro rappresentazioni); non delle lingue che le TM decidono ... ma penso di sapere cosa intendi dire.

S

$S$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

S

$S$

— Patrick87,

(ps Mi dispiace di aver sbagliato il tuo nome nelle mie modifiche. È troppo presto per me fare CS.SE sta cominciando ad apparire sempre più probabile)

— Patrick87