Sono linguaggi liberi dal contesto in

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Le lingue senza contesto non sono chiuse sotto complemento, lo sappiamo.

Per quanto ho capito, le lingue senza contesto che sono un sottoinsieme di $a^*b^*$ per alcune lettere $a,b$ sono chiuse sotto complemento (!?)

Ecco il mio argomento. Ogni linguaggio CF $L$ ha un'immagine Parikh semi-lineare $\pi(L) = \{ (m,n) \mid a^mb^n \in L \}$ . I set semestrali sono chiusi sotto complemento. L'insieme di vettori che rappresentano l'insieme semi-lineare può essere facilmente trasformato in una grammatica lineare.

Domanda. C'è un riferimento facilmente accessibile a questo fatto?

Tecnicamente queste lingue sono chiamate delimitate , ovvero un sottoinsieme di $w_1^* \dots w_k^*$ per alcune parole $w_1,\dots,w_k$ .

La mia motivazione per questa domanda proviene da una recente domanda sulla mancanza di contesto di $\{ a^nb^m \mid n^2 \neq m \}$ . Il suo complemento all'interno di $a^*b^*$ sembra più facile da gestire.

— Hendrik Jan
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Hai controllato "La teoria matematica delle lingue senza contesto" di Ginsburg? Apparentemente, il Teorema 5.4.2 fornisce la caratterizzazione di linguaggi senza contesto limitati a cui ti riferisci, e scommetto che Ginsburg menzionerebbe le implicazioni per l'integrazione di linguaggi senza contesto limitati (nel caso bidimensionale).

— Yuval Filmus

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Questa caratterizzazione delle lingue limitate senza contesto è dovuta a Ginsburg ("La teoria matematica delle lingue senza contesto"), e appare come Corollario 5.3.1 nel suo libro. Per il generale $k$ ci sono alcune restrizioni sugli insiemi semilineari, ma per $k \leq 2$ queste restrizioni sono sempre soddisfatte, quindi è semplice dedurre che il complemento di tale linguaggio (entro $w_1^* w_2^*$ ) sia privo di contesto .

Ginsburg menziona queste implicazioni nel suo libro.

Corollario 5.6.1 Se e sono [context-free] lingue, e parole, allora è un [context-free] lingua. $M_1 \subseteq w_1^*w_2^*$ $M_2$ $w_1$ $w_2$ $M_1\cap M_2$

Corollario 5.6.2 Se e sono [context-free] lingue, e parole, allora e sono [context-free] le lingue. $M_1 \subseteq w_1^*w_2^*$ $M_2$ $w_1$ $w_2$ $M_1 - M_2$ $M_2-M_1$

— Yuval Filmus
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Un'altra prova utilizza la seguente caratterizzazione dimostrata in questa risposta :

Il linguaggio è privo di contesto se è definibile nell'aritmetica di Presburger. $\{ a^i b^j : (i,j) \in A \}$ $A$

Chiaramente è definibile nell'aritmetica di Presburger se è definibile nell'aritmetica di Presburger. $A$ $\overline{A}$

$L_i \subseteq a^*b^*$

— Yuval Filmus
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