Può un FSA contare?

Questa potrebbe essere una domanda sciocca. Sembra chiaro che un FSA, dato che è finito, può contare solo il numero di simboli nella sua stringa di input fino a un numero limitato dal numero dei suoi stati. Ma ora supponiamo di dotare l'FSA di funzionalità di output (ad es. Stampa). Sarebbe quindi molto semplice costruire una macchina in grado di stampare un simbolo per ogni simbolo che legge. Conterrebbe come contare? In caso contrario, perché no?

Per dirla in termini di FST: suppongo che non sia possibile costruire un FST in grado di mappare una stringa di lunghezza arbitraria su una rappresentazione binaria (cioè un numero nel sistema numerico base-2) della sua lunghezza. Ma è ovviamente banale costruire un FST in grado di mappare una stringa di lunghezza arbitraria su una stringa di detti zero (o uno) della stessa lunghezza. Ma ciò potrebbe contare come conteggio, no, perché ciò che sta facendo l'FST è costruire una rappresentazione della lunghezza del suo input. Una rappresentazione un po 'strana, ma comunque una rappresentazione, non è vero?

Questa domanda è un po 'vaga, quindi ecco una vaga risposta: tradurre unario in unario non conta esattamente, dal momento che la macchina in realtà non "conosce" quale fosse la dimensione dell'input "alla fine".

Ti rendi conto di questo, ovviamente, ed è per questo che metti in dubbio il fatto che stia davvero contando.

La traduzione da unario a binario, tuttavia, sembra un'operazione molto più avanzata, poiché non implica solo il conteggio, ma comporta anche l'aritmetica.

Quindi forse la nozione più precisa da guardare, invece di contare, è il confronto . Cioè, dati due numeri (in unario) e , determinare se .1 m n = $1^n$$1^m$$n=m$

La capacità di fare questo confronto è ciò che dà origine al famoso linguaggio non regolare . E l'incapacità di un NFA di contare è ciò che rende questa lingua non regolare.$\{a^nb^n: n\ge 0\}$

È interessante notare che questa lingua è un CFL. E in effetti, il corrispondente modello di automi - PDA, ha la capacità di fare un confronto limitato.

Quando parli di confronto, i trasduttori non ti danno più alcun potere aggiuntivo, quindi la domanda viene risolta in tal senso.

Una nota aggiuntiva: completamente informale, la possibilità di confrontare due numeri può spesso essere utilizzata per simulare una macchina Minsky a 2 contatori , che sono equivalenti alle TM.

No. Gli automi a stati finiti non contano. Possono fare cose che assomigliano, ma non possono contare. Possono anche fare piccoli calcoli (cablati) (come determinare se un numero binario è divisibile per tre ) ma questo non conta.

Una piccola storia Sei su una grande piazza rettangolare in una città famosa. La gente del posto ti dice che la piazza è in realtà quadrata. Se riesci a contare, controlla se i numeri orizzontali e verticali delle tessere corrispondono contando le tessere lungo i lati del quadrato. Se non riesci a contare puoi comunque verificare il reclamo: inizia da un angolo e cammina in diagonale. Se raggiungi esattamente l'angolo opposto hai un quadrato.

Nel tuo esempio, la fsa verifica se una stringa ha un numero uguale di ' e , calcolando questi numeri su due diversi nastri di output. Un altro dispositivo deve fare il confronto finale, a meno che tu non abbia un trucco per gestire le lettere e in coppia e che si sovrappongono l'una contro l'altra. Come in piazza.b a $a$$b$$a$$b$

Ora un modello più formale con cui confrontarlo. Secondo il teorema di Chomsky – Schützenberger ogni linguaggio senza contesto è un inverso di una trasduzione allo stato finito del linguaggio Dyck su due coppie di parentesi (non è dichiarato in questo modo su Wikipedia, ma devi credermi). Ora il trasduttore di stato finito può "accettare" il suo linguaggio senza contesto come segue (per ogni lingua il proprio trasduttore). All'ingresso trasforma la stringa nella serie (indovinata) di pop e push del pda per , quindi verifica se il risultato è un comportamento pushdown, ovvero il risultato è una stringa inT D 2 L = T - 1 ( D 2 ) T L T L D 2 w ∈ T $L$$T$$D_2$$L = T^{-1}(D_2)$$T$$L$$T$$L$$D_2$ . (Dettagli tecnici omessi, ma questo è come rivendicato dal Teorema di Ch-Sch: si ha iff )T(w)∈ D $w\in T^{-1}(D_2)$$T(w) \in D_2$

Il mio punto qui è che un certo "calcolo" viene eseguito dal trasduttore ma molta potenza viene nascosta nel test con . Allo stesso modo il tuo esempio, in cui due lettere sono ordinate su due nastri. $D_2$

@Shaull: grazie per la tua risposta! Sono nuovo su StackExchange e non so come commentare una risposta, quindi scelgo invece di scrivere una risposta, nella speranza di essere perdonato.

Hmm, mi sembra che contino un pastore che conta le sue pecore scrivendo un segno su un foglietto per ogni pecora che vede, o un prigioniero che conta i giorni in cui è stato in prigione scrivendo segni sul muro. Perché n segni su un foglietto o su un muro non valgono come rappresentazione del numero n? Non è quella che viene chiamata rappresentazione tally? AFAICS non è in alcun modo inferiore a (diciamo) una rappresentazione binaria, tranne per il fatto che utilizza più spazio.

Suppongo che per te allora "sapere" significhi che alla fine ha una rappresentazione interna del conteggio. Quindi, ovviamente, è ovvio che un FSA di FST non può calcolare la lunghezza di una stringa arbitraria. Ma se non abbiamo bisogno di conoscenza in questo senso, ma chiediamo solo che FSA o FST siano in grado di comunicare il risultato a un osservatore esterno, allora mi sembra che presentare il conteggio in un formato tally dovrebbe essere ok.

Inoltre, se un FSA è dotato sia di input che di output incrementali, in linea di principio dovrebbe essere in grado di utilizzare il suo ambiente esterno come memoria di lettura / scrittura, e quindi essere potente come una macchina di Turing. Giusto?

Grazie per aver sollevato il caso del confronto. Ora, sembra essere il caso che se solleviamo il requisito di una rappresentazione interna e richiediamo solo che la macchina sia in grado di presentare il risultato a un osservatore esterno, allora potremmo facilmente costruire un FSM che potrebbe produrre una sorta di presentazione grafica del risultato. Supponiamo che il FSM, su readins "aaaaaabbbbbb" abbia scritto

000000
000000

quindi, poiché le barre sono della stessa lunghezza, l'FSM ha accettato la stringa "aaaaaabbbbbb". Due barre della stessa lunghezza significano "sì", lunghezze diverse indicano "no".

Immagino che sto piegando le regole, ma è quello che voglio dal momento che sono interessato alle ipotesi più o meno implicite che vengono fatte nel campo della linguistica matematica.

Gli FSM possono "contare" in un intervallo / numero di passaggi finiti indicato dalle transizioni di stato. tuttavia, non possono contare oltre un numero finito di passaggi.

c'è un senso in cui una macchina simile all'FSA può contare. una macchina strettamente correlata viene chiamata trasduttore di stato finito . il trasduttore può effettivamente contare nel senso di input e output "convogliati". un singolo trasduttore può prendere una sequenza di input (diciamo in binario) e "trasdurla" in una sequenza di output che viene incrementata. quindi uno "incatena" i (identici) trasduttori count-by-1, ciascuno incrementando il proprio input di 1 e emettendolo. è anche come un rudimentale "algoritmo di streaming" .